2024北京四中初三（上）开学考数学试题及答案

试题试题2024北京四中初三（上）开学考数学一、选择题（共20分，每小题2分）1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.2，3，4 B.，， C.5，6，7 D.5，12，133.如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）A. B. C. D.4.某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：尺码39404142434445平均每天销售数量/件1023303528218该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（）A.中位数 B.平均数 C.方差 D.众数5.已知关于x的一次函数，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（）A.1 B.2 C.1.5 D.2.57.如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A.x＜﹣1或x＞1 B.x＜﹣1或0＜x＜1C.﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D.﹣1＜x＜0或x＞18.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A. B. C.，且 D.，且9.保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是（）A. B.C. D.10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）A.当时， B.Q随I的增大而增大C.I每增加1A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多二、填空题（共16分，每小题2分）11.一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：x…0y…97531那么关于x的不等式的解集是________．12.若反比例函数的图象经过点和，则的值为_____．13.某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按、面试成绩按计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为___________分；14.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为_____．15.如图，正方形的中心在原点上，且正方形的四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象上的四个分支上，则______．16.已知实数，满足，则的最大值为______.17.如图，四边形是边长为12的正方形，点C、D在边AB上，且，点P是线段CD上的动点，分别以、为边在线段AB的同侧作正方形和正方形，E、F分别为、的中点，连接，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长等于_____．18.甲乙两人玩一个游戏：将n（n为奇数）个数排成一列，记作，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．（1）对于，被删除一次后可以成为或以及一些其他情况，写出未列举的其他情况_____；（写出一种即可）（2）对于，最后剩下的数为_____．三、解答题（共64分，第19、20题每题6分，第21、22、24、26、27题每题8分，第23题7分，第25题5分）19.解方程：（1）；（2）．20.某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个三角形（三边均不相等），以一边的端点为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点，则以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空．如图，在中，点为边上的中点，连接．（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程）证明：∵点为边上的中点，∴，在和中，∴________，∴________，∵，∴________．∴四边形是平行四边形．兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是________．21.如图，在中，，点D，E分别是的中点．连接DE并延长至点F，使得.连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接．若，，求的长．22.如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交点为．．（1）求a的值与一次函数的解析式；（2）在y轴上求一点P，使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．23.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．（1）求该函数的表达式及点的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围．24.如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．（1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长；（2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）25.商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：，；．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：甲商品的成本与售价信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本售价mnp乙商品的成本与售价统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________；（2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；（3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）．26.如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：时间(t/s)12345678水位高度(h/cm)2463根据以上信息，解决下列问题：（1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点；（2）当t=s时，杯中水位最高，是cm；（3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为；（4）求停止注水时t的值；（5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时s．27.如图，在中，，，点D为线段的延长线上一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段．（1）如图1，当，且点B与点D关于点C对称时，求证：；（2）如图2，若点C关于点D的对称点为点F，连结，依题意补全图形，求证：．四、附加题（共10分）28.有如下的一列等式：，，，，，若将记为，其中为正整数，的各项系数均不为0．那么以下说法正确的是_____．①若，则；②若，那么的所有系数之和为1；③若，那么当时，．29.对于平面直角坐标系中的点Px1,y1和Qx2,y2，我们称为P和Q两点的“亚距离”．进一步，对于平面中的点R和图形Φ，Ψ，我们给出如下定义：点R到图形Φ上各点的最短亚距离为d，点R到图形Ψ上各点的最短亚距离为，若，则称点如图，已知，点A、C、D关于y轴的对称点分别为点，将正方形向上平移8个单位得到正方形．（1）①；②在点中，哪个点是点A和点的亚等距点；（2）在坐标系中，画出正方形和正方形的亚等距点所组成的图形；（3）已知线段上恰好存在3个线段和线段的亚等距点，直接写出k的取值范围．

参考答案一、选择题（共20分，每小题2分）1.【答案】B【分析】本题考查了最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母，根据最简二次根式的定义即可求解．【详解】解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；．是最简二次根式，故该选项符合题意；．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；故选：B．2.【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】解：∵，∴A不可以组成直角三角形；∵，∴B不可以组成直角三角形；∵，∴C不可以组成直角三角形；∵，∴D可以组成直角三角形，故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3.【答案】C【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD∥AB，再证明∠DEA=∠DAE，所以DA=DE=CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE=BE，则可对C选项进行判断．【详解】解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，CD∥AB，∴∠BAE=∠DEA，∴∠DEA=∠DAE，∴DA=DE，所以B选项不符合题意，∴CD=DE，所以D选项不符合题意，不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．4.【答案】D【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：D．5.【答案】B【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质可得，即可求解．【详解】解：∵关于x的一次函数，y随x的增大而增大，∴，∴，故选：B．6.【答案】A【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案．【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，∴，D是AB的中点，∵∠AFB=90°，∴，∴EF=DE-DF=1，故选A．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7.【答案】D【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．【详解】由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．8.【答案】D【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，，，解得：，且故选：D．9.【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并正确的列出方程．根据题意两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子即可列出方程．【详解】解：∵两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子，，故选：D．10.【答案】C【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；故选：C．二、填空题（共16分，每小题2分）11.【答案】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由表格得到函数的增减性后，再得出时，对应的x的值即可．【详解】解：当时，，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，∴不等式的解集是．故答案为：．12.【答案】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，并求解，即可解题．【详解】解：反比例函数的图象经过点和，，，即，∴，故答案为：．13.【答案】81【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．【详解】解：∵笔试成绩按、面试成绩按，∴总成绩是（分），故答案为：81．14.【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．根据题意可知，，根据勾股定理可求得的长，进而得到的坐标，从而可求得的坐标．【详解】解：由题可知：，的中点是坐标原点O，，在中，，,,故答案为：．15.【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解反比例函数的几何意义是解题关键．连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，由题意可知点在函数图象上，则点在函数图象上，证明，根据的几何意义即可求解．【详解】解：如下图，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意，点在函数图象上，则点在函数图象上，∵四边形为正方形，轴，轴，∴，，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∵点在第二象限，∴．故答案为：．16.【答案】4【分析】根据已知等式，可用表示出．再利用二次函数的性质可求得其最大值．【详解】解：，，，当时，有最大值4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查二次函数的最值，用表示出是解题的关键，注意函数性质的应用．17.【答案】4【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理，设的中点为S，连接、、、、和，由三角形相似，结合E为的中点，S为的中点可得A、E、S共线，F为的中点，S为的中点得B、F、S共线，再由三角形相似得到：，，结合G为的中点，可得G为的中点，即G的移动路线为的中位线，由三角形的中位线长是底的一半得答案．【详解】解：设的中点为S，连接、、、、和，如图，则，∵E为的中点，S为的中点，∴，∴A、E、S共线∵F为的中点，S为的中点，∴B、F、S共线，∵，，∴，∴，则，∴，同理，得，∴，则四边形为平行四边形，则G为的中点∴点G移动路径为的中位线，∵，∴点G移动路径长为．18.【答案】①或（写出一种即可）②.3【分析】（1）若删3，4，或删4，5，则有另两种情况；（2）按照甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化，操作即可解答．本题考查了数字的变化规律，理解题意并按题意规则操作是解题关键．【详解】解：（1）依题意，若删3，4，结果为若删4，5，结果为故答案为：和（写其中一种即可）；（2）甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化，第一次甲删1，7，剩第二次乙删8，6，剩第三次甲删2，9，剩第四次乙删4，5，剩，故答案为：3．三、解答题（共64分，第19、20题每题6分，第21、22、24、26、27题每题8分，第23题7分，第25题5分）19.【答案】（1），（2），【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【小问1详解】∴，；【小问2详解】或∴，．20.【答案】（1）见解析（2）；；；菱形；【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，尺规作图—作与已知角相等的角：（1）根据尺规作图—作与已知角相等的角的作图方法作图即可；（2）证明得到，再证明．即可证明四边形是平行四边形；根据有一组邻边相等的四边形是菱形可得答案．【小问1详解】如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：∵点为边上的中点，∴，在和中，∴，∴，∵，∴．∴四边形是平行四边形．如图所示，当时，则，故平行四边形是菱形．故答案为：；；；菱形．21.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键.（1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证；（2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解．【小问1详解】证明：∵点E是的中点，∴．∵，∴四边形是平行四边形．∵在中，，点D是的中点，∴．∴四边形是菱形．【小问2详解】解：过点F作交的延长线于点G．∴．∵四边形是菱形，，∴．∴．∴．在中，，∴．∴．∵．∴．在中，，∴．22.【答案】（1），（2）点P的坐标为或或或【分析】（1）将点代入正比例函数解析式求得的值，进而根据的坐标待定系数法求解析式；（2）分三种情况：当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．【小问1详解】解：∵点在正比例函数图像上，∴，解得：，∵点，一次函数图像上，∴，解得，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】∵点C坐标为，∴，设点P的坐标为当时，三角形是等腰三角形，∴点P的坐标为或；当时，是等腰三角形，∴，∴，解得，∴点P的坐标为；当时，∴，解得或（舍去），∴点P的坐标为；综上所述，当点P的坐标为或或或时，三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，直线交点坐标，等腰三角形的定义以及两点之间距离等知识，综合性较强，正确把握并能熟练运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用．23.【答案】（1）；（2）【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考虑本题是解答本题的关键．（1）将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将代入解析式即可求出点坐标；（2）根据题意将代入求出的最小值，再根据题意将代入求出的最大值，即为本题答案．【小问1详解】解：∵函数的图象经过点和，∴将点和代入中，，解得：，∴该函数的表达式为：，∵与过点且平行于轴的直线交于点，∴将代入中，得，∴；【小问2详解】解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，，通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，，当函数值大于函数的值将代入中，，∴的取值范围为：．24.【答案】（1）（2）不能，理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．（1）设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长；（2）根据题意可得方程，将其转化为一般形式，再利用根的判别式即可判断．【小问1详解】解：设矩形花园，则，则有，解得：或，墙最长可利用28米，，，的长为；【小问2详解】解：不能，理由如下：根据题意则有，即，，不能围成500平方米的矩形花园．25.【答案】（1），（2），四（3）【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可；（2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可；（3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可．【小问1详解】解：由题意知，成本从小到大依次排序为；∴甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数即中位数是，故答案为：，；【小问2详解】解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为，∴第二周售价的涨跌幅为，解得，；同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为，解得，；第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为，解得，；∵，∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高，故答案为：，四；【小问3详解】解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，∵，∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键．26.【答案】（1）见解析（2）3；6（3）2（4）6（5）【分析】本题考查表格表示了变量间的关系，在平面直角坐标系中描点，观察表格并从中获取信息是关键．（1）描点即可；（2）由表格即可求解；（3）由表格即可求解；（4）由表格即知；（5）由表知，经过4秒排了一半，则经过8秒排完，再加上注满水的时间，即可求得总时间．【小问1详解】解：描点如下【小问2详解】解：由表格知，当时，杯中水位最高，最高水位为；故答案为：3；6；【小问3详解】解：由表知，自动排水前，每经过1秒钟，水位上升，即杯中水位上升的速度为；故答案为：2；【小问4详解】解：设从开始向外排水到停止注水，h关于t函数表达式为，把代入，即，解得：，，由表知，排水的速度为，∵当时，，当时，，可求得，停止注水后，h关于t的函数表达式为，可得方程组，解得：，时，停止注水，停止注水时t的值为6；故答案为：6；【小问5详解】解：由(4)知，停止注水时t的值为6，此时水位的高度为，所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时；故答案为：．27.【答案】（1）见详解（2）见详解【分析】（1）由点对称可得出，由旋转的性质可得出，，连接，证明为等边三角形，由等边三角形的性质可得出，由等腰三角形三线合一的性质可证．（2）找到点C关于点D的对称点为点F，连结，补全图形，延长和交于点Q，连接交与点O，连接，，由对称和旋转的性质证明，由全等三角形的性质可得出，再证明，再证明，由相似三角形的性质得出，最后根据角的和差关系以及等量代换可得出．【小问1详解】证明：∵点B与点D关于点C对称，∴，∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，∴，，如图，连接，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∵C为的中点，∴．【小问2详解】证明：如图，找到点C关于点D的对称点为点F，连结，补全图形，延长和交于点Q，连接交与点O，连接，，∵，∴，∵，∴，∴，∵点C关于点D的对称点为点F，∴，∴，又∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，则，∴【点睛】本题主要考查了对称的性质，旋转的性质，等边三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，正切的定义等知识，本题综合性较强，掌握这些性质，作出辅佐线是解题的关键．四、附加题（共10分）28.【答案】①②③【分析】①时代入到中计算即可．②令即可计算出结论．③当时代入得，再令，得两式再相加即可．本题考查了整式中规律问题，解题关键在于读懂题意．【详解】解：①若，，故①正确，②若，则，令，则的所有系数之和为1．故②正确，③若，那么当时，，，，，令得，，令得，，两式相加的，．故③正确．故答案为：①②③29.【答案】（1）①；②（2）见解析（3）或【分析】（1）①直接根据“亚距离”的定义求解即可；②先求出，再分别求出分别到点A和点的“亚距离”，看是否相等即可；（2）分别取，连接，设点P为上一点，作轴交于Q，则点P到正方形上一点T的“亚距离”最小时，点T一定会在或上，当在上时，过点T作于S，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而求出，则点P到线段上一点的“亚距离”等于，即点P到正方形的“亚距离”