2.高一下学期期中模拟试卷（解析卷）

第第页保密★启用前2024-2025学年高一年级下学期期中模拟试卷数学答案解析考试范围：人教A版2019必修第二册（第6章~第8章）；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知复数z1=2+i，z2=a−i(a∈R)，若复数zA．1 B．0 C．−12 【答案】C【解析】因为z1⋅z2=2a+1+故选：C若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 （A．e1与e1+e2C．e1−2e2与e1【答案】D【解析】由题意知向量e1，e对于A中，设e1=λ(e1+e2对于B中，设e1−2e2=μ(2e1对于C中，设e1−2e2=m(e1对于D中，由e1−e2=−故选：D.如图所示的正方形O′A′C′B′的边长为A．42cm2 B．8cm2 【答案】C【解析】由正方形O′A′C′根据斜二测画法的规则，平面图形OACB中，可得OC=42如图所示，所以原图形OACB的面积为S=OA×OC=2×42故答案为：C.若ΔABC的内角A，B，C的对边a，b，c为满足a2=b2+c2−bc，A．π6 B．π3 C．2π【答案】B【解析】由余弦定理得cosA=b2+c2−a如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是 （

）A．AB与HG相交 B．AB与EF平行C．AB与CD相交 D．EF与CD异面【答案】D【解析】由图可知AB与HG异面，AB与EF异面，AB与CD异面，EF与CD异面.故选：D为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度AB，如图所示，可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD=20m，在点C测得“使命塔”塔顶A的仰角为60°，则“使命塔”高AB= （

A．30m B．206m C．20【答案】B【解析】

在△BCD中，∠BCD=15°，∠BDC=135°，可得∠CBD=30°，由正弦定理得：CDsin∠CBD=可得：BC=40×2再在直角△ABC中，AB=tan故选：B.设向量α,β的夹角为θ，定义：α⊗β=αβsinθ．若平面内不共线的两个非零向量a,b满足：a=b=1A．32 B．3 C．12 【答案】A【解析】设向量a,b的夹角为θ，因为所以a⋅由a−b2=a−b又a−b与b的夹角为5π6，所以a−所以cosθ−121−cosθ=−因为向量a,b不共线，所以又θ∈0,π所以a⊗b=故选：A已知点O为△ABC的外心，且向量AO=λAB+1−λAC，λ∈R，若向量BA在向量BC上的投影向量为15BC，则A．32 B．55 C．25【答案】B【解析】因为AO=λ所以CA+即CO=λCB，所以O在BC上，故△ABC的外接圆以O为圆心，所以△ABC为直角三角形，且AC⊥AB，O为BC中点，因为向量BA在向量BC上的投影向量为15故BAcos由于B为锐角，所以cosB=故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．已知复数z=3−4i（i为虚数单位），则下列说法正确的是 （

A．zB．复数1z的虚部为C．若z对应的向量为OA,1+i对应的向量为OB，则向量ABD．若复数z是关于x的方程x2+px+q=0【答案】ACD【解析】A选项，z=B选项，1z=13−4iC选项，由题意OA=3,−4，又OB=故向量AB对应的复数为−2+5iD选项，若复数z=3−4i是关于x的方程x则z=3+4i，故z=3−4i和z故z+z=−p所以z+z=3−4故p=−6，q=25，p+q=−6+25=19，D正确.故选：ACD在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c=2，则下列选项正确的是 （

A．若B=π4,1<b<B．若sin2A=sin2BC．若△ABC为锐角三角形，且B=2C，则sinD．若A+B=2C，则a+b的最大值为2【答案】ACD【解析】对于选项A，因为B=π4,1<b<2，所以csin对于选项B，由sin2A=sin2B可得，2A=2B+2kπ或2A+2B=π+2kπk∈Z对于选项C，由0<π−3C<π20<2C<因为asinA=对于选项D，因为A+B=2C，所以C=π3所以a=2a+b==2由0<A<2π3所以当A+π6=π2，即A=故选：ACD.如图，ABCD是边长为2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且DD1=32AA1A．A1，B1，C1B．该几何体的体积为8C．过四点A1，C1，B，DD．截面四边形BED【答案】BCD【解析】对于A，取AA1中点M，取DD1靠近易知四边形NMB1C所以MN//A1D1，所以A1，B1，C1，D对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以V=2×2×4×1对于C，过四点A1，C1，B，D构造正方体所以，外接球直径为正方体ABCD−A所以2R=23，则R=3，所以此四点的外接球表面积为对于D，由题意，平面ADD1A1//平面BCB1C1所以D1F//BE，同理可得所以四边形BED1F沿CC1将相邻两四边形推平，当B，E，D1所以周长的最小值为10，故D正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分如图，已知正方形ABCD的边长为3，且BF=12BC+BD，BF与AC【答案】3【解析】因为BF=12BC+则△ABE∽△FCE，则BEFE则BE=则BA⋅故答案为：3.给出下列命题：①若直线l与平面α有两个公共点，则直线l在平面α内；②若直线l上有无数个点不在平面内，则l//α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线必与该平面相交；⑤若直线l/平面α，则l与平面α⑥若平面α/平面β，直线a⊂α，直线b⊂β．则a//b其中正确的有（只填序号）．【答案】①【解析】①根据公理1可知，①正确；②若直线l上有无数个点不在平面内，直线l与平面α可能相交，也可能平行，所以②不正确；③直线l与平面α相交，则在平面α内过交点的直线与直线l相交，所以③不正确；④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与该平面可能相交，也可能平行，还有可能直线在面内，所以④不正确；⑤根据线面平行的性质定理可知，直线l与平面α内的任意直线不可能都平行，所以⑤不正确；⑥若平面α/平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，直线a,b所以⑥不正确．已知四棱锥P−ABCD的5个顶点都在球O的球面上，且PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,AD=7，则球O的表面积为．【答案】196【解析】根据题意可知四边形ABCD的顶点在同一个圆上，连接BD，如下图所示：易知∠BAD+∠BCD=180∘，又在△ABD中，由余弦定理可得BD在△CBD中，由余弦定理可得BD又易知cos∠BCD=−cos∠BAD解得cos∠BAD=12，又∠BAD∈可得BD2=65−56设四边形ABCD的外接圆半径为r，由正弦定理可得BDsin解得r=37又PA⊥平面ABCD，且PA=4，设四棱锥P−ABCD的外接球半径为R，可得2R2=2r因此外接球的表面积为S=4π故答案为：196四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（13分）已知向量a=(3,2)，b(1)当2a−b(2)当c=(−8,−1)，a//(b+c)，求向量【答案】(1)x=1或x=5(2)α=【解析】（1）向量a=(3,2)，b=(x,−1)，则由2a−b即6−xx−5×1=0，即x2−6x+5=0，解得x=1（2）由c=(−8,−1),b=(x,−1)，a由a//(b+c)所以|a|=13,|b又α∈0,π，所以（15分）如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO上的一点O′（1）若O′是PO（2）当OO【答案】（1）表面积为5+24πa2，体积为5【解析】（1）设圆柱的底面半径为r，由三角形中位线定理可知，r=a4，圆柱母线长而圆锥的母线长为l=a圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，即S=π×a圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，即V=1（2）设OO′=x，由平面几何知识可知，a−x故被挖去的圆柱的侧面积为S=2πr×x=πxa−x≤πx−a−x22=π（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2为菱形，∠DAB=60∘,△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形，F,G(1)求证：GF//平面PAD；(2)设E为AB的中点，过E,F,G三点的截面与棱PC交于点Q，指出点Q的位置并证明.【答案】(1)证明见解析(2)Q为PC的中点，证明见解析【解析】（1）如图，取PA中点H，连接FH,HD，因为F为PB中点，所以HF//AB，且HF=1又因为四边形ABCD为菱形，且G为CD中点，所以DG//AB，且DG=1所以HF//DG，且HF=DG，所以四边形HDGF为平行四边形，所以GF//HD，因为GF⊄平面PAD,HD⊂平面PAD，所以GF//平面PAD；（2）Q为PC的中点，因为CG//BE且CG=BE，故BCGE为平行四边形，故EG//BC，EG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故EG//平面PBC，又EG⊂平面EFQG，平面EFQG∩平面PBC=FQ，所以EG//FQ，又EG//BC，所以FQ//BC，因为F为PB的中点，所以点Q为PC的中点.（17分）在斜△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin2C+ccos(1)求sinA(2)若点M为AC中点，且BM=1，求△ABC的面积．【答案】(1)sinA=1314(2)【解析】（1）因为asin所以sinA所以sinA所以2sin因为cosC≠0，sin所以sinC=12，所以C=当C=5π6所以B>π6，此时所以C=π6，因为所以sinB=43（2）先证明以下定理：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，如图，AI是△ABC中线，AH是△ABC高线，因为AB2=AH2+BH所以A=2AI回到题目中，设asin所以a=1314k，b=所以a:b:c=13:83设a=13m，b=83m，因为a2+c所以b=818361所以S△ABC（17分）如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，OA=4cm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设(1)当α=π3时，求四边形(2)克罗狄斯⋅托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求∠AOC．(3)当α为多少时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．【答案】(1)6+43cm(2)∠AOC=π3(3)【解析】（1）△ABO中，OA=4，OB=2，∠AOB=α=π由余弦定理得AB即A