基于ARIMA-GARCH模型的黄金价格实证分析

III基于ARIMA-GARCH模型的黄金价格实证分析一、引言1.1研究背景及意义黄金，作为一种特殊商品，兼具商品属性和货币属性。在当今复杂的世界经济环境中，从国家层面来说，黄金成为其发行信用货币的基础；从个人层面来说，黄金成为投资者规避风险和保值（升值）的工具。当世界经济不稳定时，黄金对冲通货膨胀的职能就会凸显出来，投资者为了避免货币贬值和投资效益降低，转而大量投资黄金，以保障自己财富的保值和升值。近年来，国际金价不断上涨，黄金投资和保值（升值）效应受到市场的广泛关注。无论是基于投机、投资还是对冲目的，黄金已被众多投资者纳入资产配置，成为除外汇、基金、股票、证券外的另一项重要投资。2020年初的新冠疫情将全球经济拉入泥潭，中国、欧盟、英国、美国等重要经济体先后出现经济停滞的现象，有些地区甚至出现政治动荡的局面。受到疫情的影响，金融市场出现大幅波动，股价持续下跌，致使黄金硬通货性能凸显，黄金价格大幅上涨，其中，2020年8月黄金价格达到人类历史巅峰，超过2000美元/蛊司。随后在疫情慢慢好转的提振下，经济有好转的趋势，此时利率上升，持有黄金的机会成本上升，因此投资者会选择抛售黄金，黄金价格一度下跌。2021年下半年在各种消息交织的作用下，黄金价格反复横跳，徘徊在1800美元/蛊司附近。为此，本文通过构建ARIMA-GARCH模型对2020-2021年的黄金价格数据进行分析，并且基于此对未来几日的黄金价格进行预测，以便了解未来黄金价格走势，为专家和投资者提供参考。1.2文献综述黄金价格时间序列是一种金融时间序列，对黄金价格的预测，基于传统的统计方法，一般构建ARIMA模型，ARCH类模型、主成分分析等回归分析的方法。近年来，有很多学者基于机器学习的方法对时间序列数据的预测，尤其是以神经网络模型为主。还有一类是将机器学习和传统的方法结合在一起，用来预测时间序列。基于传统的时间序列，RakeshKumarSharmaREF_Ref2630\r\h[1](2016)构建ARIMA模型来预测黄金价格的走势。MehmetBalcilarREF_Ref2754\r\h[2](2017)等人应用非参数因果关系的分位数检验来研究汇率波动与黄金价格波动的因果关系。研究发现，对于大多数国家来说，加入黄金价格这个变量，更有利于预测汇率的收益和波动性。相反，汇率的变动虽然能预测黄金的波动性，但并不能预测黄金的回报。丁磊REF_Ref2797\r\h[3]（2019）等收集2018年日度黄金收盘价数据，构建ARIMA模型，并针对序列中存在的异方差性，建立GARCH、TARCH等模型来预测。结果表明，ARIMA-TARCH模型的预测能力优于ARIMA-GARCH模型的预测能力。潘雪艳REF_Ref2817\r\h[4]（2020）通过对2015-2019年的日度黄金收盘价数据建立ARIMA(3,1,1)-GARCH(1,1)模型，来预测接下来10天的黄金价格。结果表明，模型的预测精度较高，能够很好的预测短期内的黄金价格走势。顾聪、许韬等REF_Ref2879\r\h[5、6]（2021）构建ARIMA-GARCH模型分别对中国大豆价格和中美汇率进行预测。在机器学习方面，ChingpeiLinREF_Ref2950\r\h[7]（2015）构建包括反向传播神经网络、主成分回归以及多元回归在内的三个预测模型对黄金价格进行预测。研究表明，反向传播神经网络的预测能力优于其他模型。AlevDilekAydinREF_Ref2973\r\h[8]（2015）等人采用人工神经网络与向量自回归模型，估算黄金价格、汇率与BIST100指数之间的关系。研究表明，人工神经网络具有优于向量自回归方法的预测能力。刘璐REF_Ref3202\r\h[9]（2021）建立E-BiLSTM网络模型和E-CBiLNN网络模型对未来黄金价格的走势进行预测。王瑞REF_Ref3241\r\h[10]（2019）爬取黄金的相关文本，构建SGLS-Logistic模型来对黄金价格进行预测。袁东方REF_Ref3261\r\h[11]（2021）引入CEEMDAN方法，分解出一系列的特征，通过主成分分析，得到最主要的特征。最后建立LSTM网络模型，提取序列中的长短期依赖关系，从而实现对黄金价格进行预测。在二者结合方面，DenizAlptekinREF_Ref3290\r\h[12](2017)等人在粒子群优化算法的基础上，结合模糊时间序列，预测黄金价格，提高了预测效果。赵晨宇REF_Ref3306\r\h[13]（2020）从两个视角对黄金价格进行预测。一是通过向量自回归模型得到对黄金价格有影响的因素，如美元指数波动率，原油价格收益率等，基于这些变量，构建BSTS模型；二是基于黄金价格历史数据的单变量预测，构建STL-ETS、神经网络、ARIMA和ETS等模型。结果表明，BSTS模型的预测精度较高。何桂烨REF_Ref3326\r\h[14]（2021）将误差协整模型与神经网络模型结合在一起，将新冠疫情的确诊人数作为变量添加到模型中，研究疫情下黄金价格的走势。二、模型介绍2.1ARIMA模型求和自回归移动平均模型ARIMA（p,d,q），是一种用来拟合和预测时间序列的模型。该模型中包含了自回归模型（AR），移动平均模型（MA）以及差分方法。其中自回归模型是从自身挖掘信息，使用变量滞后期的线性组合来预测变量未来值。移动平均模型是使用过去预测误差的线性组合来预测变量未来值。而ARIMA模型在ARMA模型的基础上引入了差分方法，为不平稳时间序列的建模、估计、检验以及预测提供了方法。ARIMA(p,d,q)模型的形式表示如下：(1−其中，随机扰动项εt的均值为0，方差为常数，任意两期不相关，是白噪声序列。p,d,q都是非负整数，∆2.2ARCH类模型建立的ARIMA模型，有一个前提条件，即随机扰动项需要满足均值为零，方差是一个不随时间和变量变化的常数，任意两期不相关的假设。然而在许多金融时间序列中，建立模型后并不满足随机扰动项同方差的假设，序列的条件方差是不断变化的，并且具有波动集群性。为了准确的刻画这种异方差性，Engle(1982)提出同时对一个时间序列的均值和方差建模，用估计的残差平方和代表条件方差，对其建立AR(q)模型，即ARCH(q)模型，方程的形式表示如下：x其中，εt是残差，ℎt是εtBollerslev(1986)扩充了Engle(1982)的工作，考虑了异方差函数的p阶自相关，方程的形式表示如下：x其中，εt是残差，ℎt是εt实证分析3.1数据来源本文数据来源于国泰安数据库，以世界黄金市场现货价格中的卖出价为研究对象，单位为美元/蛊司。选取2020年1月1日至2021年12月31日，除去周六周日以及节假日的黄金价格样本，共523条数据。其中训练集为2020年1月1日至2021年12月21日的样本数据，共515条数据；测试集为2021年12月22日至2021年12月31日的样本数据，共8条数据。3.2基本统计描述特征3.2.1时序图绘制有关2020年1月1日至2021年12月31日的黄金价格的时序图，结果如图1所示。图1黄金价格时序图从图1可以看出，黄金价格在2020-2021年整体上呈现出上涨的趋势。其中在2020年1月至2020年8月上涨幅度较大，从1500美元/蛊司上涨至2060美元/蛊司，增长率约为37.33%。原因在于一是与新冠疫情有关，在疫情影响下，经济发展受到了显著的冲击，在这种情况下，投资者纷纷投资黄金来规避风险，避免可能发生的不利影响。二是为应对新冠疫情的冲击，美联储采取宽松的货币政策，美元随之贬值，在通胀的情况下，投资黄金能达到保值的目的，这就会推动着黄金价格的上涨。在2020年8月达到最高点后，黄金价格连续7个月下跌，直至2021年3月初达到1700美元/蛊司，下跌了19.1%。在2021年期间，黄金消费开始复苏，黄金价格整体上稳定，保持在1800美元/蛊司左右。3.2.2描述性统计分析下表是基于Eviews软件对黄金价格时序计算的基本描述统计量，并绘制时序的直方图，结果如表1和图2所示。用Gold表示黄金价格的时间序列。表1黄金价格的描述性统计序列样本数均值标准差偏度峰度J-B统计量p值Gold5231784.79106.69-0.493.1721.600.00002图2黄金价格序列分布图在表1中，黄金价格的均值为1784.79美元，标准差为106.69美元。结合图2的直方图来看，价格大多分布在1700-2000美元，低于1700美元以及高于2000美元的数据个数较少，说明在2020-2021年，黄金的价格变化较平稳，在1785美元附近波动。偏度为-0.49，小于0，说明黄金价格的时间序列是左偏分布。峰度为3.17，说明该序列存在“尖峰厚尾”的特征。3.2.3白噪声检验对序列进行白噪声检验，只有序列通过了检验，才能认为该序列各期值之间存在密切的相关关系，历史期数值对未来有一定的影响，才能进行后续建模，挖掘数据中的有效信息，去预测未来值。结果如图3所示。图3Gold的自相关、偏自相关图在图3中，p值均约为0.000，小于1%的显著性水平，拒绝序列值直至18阶不存在相关性的原假设，认为序列是非白噪声的，可以进行后续建模。3.3平稳性检验只有序列是平稳的，才能进行后续建模，否则要对序列进行差分处理，将其转化为平稳序列，再建立ARMA模型。结果如表2所示。用Gold表示黄金价格的时间序列，dGold表示一阶差分后的时间序列。表2单位根ADF检验表变量T检验统计量p值结果Gold0.57970.8413不平稳dGold-21.25200.0000平稳在表2中，原序列的p值为0.8413，大于5%的显著性水平，表明序列是非平稳的。对其进行一阶差分后再进行平稳性检验，检验的p值约为0.0000，在1%的显著性水平下认为一阶差分后的序列为平稳序列，时序图见图4。因此建立的ARIMA模型中的差分阶数d应为1。图4一阶差分后的时序图3.4建立ARIMA模型3.4.1模型定阶由上一节可知，对黄金价格序列建立ARIMA（p,1,q）模型。根据自相关图和偏自相关图确定模型中的p和q的值。结果如图5所示。图5dGold序列的自相关、偏自相关图由图5可以看出，p值在滞后4阶之后约为0.03，小于5%的显著性水平，认为序列值直至12阶是存在相关性的，dGold序列不是白噪声序列，可以进行后续的建模。自相关图和偏自相关图都在k=1,4,5处位于2倍标准差之外，因此p值和q值可尝试取1，4,建立ARIMA(1,1,1)、ARIMA(1,1,(1,4))、ARIMA((1,4),1,1)、ARIMA(4,1,(1,4))等疏系数模型。根据模型系数t检验统计量的p值和AIC、SC、HQ等信息准则来确定p和q。检验的结果如表3所示。表3ARIMA模型定阶过程模型系数的显著性AICSCHQARIMA(1,1,1)均不显著8.67328.70638.6862ARIMA(1,1,(1,4))均显著8.66198.69498.6748ARIMA((1,4),1,1)均显著8.65978.69278.6727ARIMA((1,4),1,4)均显著8.65908.69218.6720ARIMA(4,1,(1,4))均显著8.65708.69008.6699在表3中，尝试建立的ARIMA(1,1,1)模型，AR(1)和MA(1)的系数均不显著。在ARIMA(1,1,(1,4))、ARIMA((1,4),1,1)、ARIMA((1,4),1,4)、ARIMA(4,1,(1,4))等疏系数模型中，系数均通过了显著性检验，比较这4个模型的AIC、SC等值，可以看出，ARIMA(4,1,(1,4))模型中的信息值均为最小，因此选择ARIMA(4,1,(1,4))建立模型。3.4.2参数估计通过上面的模型定阶及模型的确定，确定ARIMA(4,1,(1,4))作为黄金价格序列的较优模型。由最小二乘法，来估计模型中未知参数的值，得到模型的表达式为：dGold3.4.3残差检验图6残差序列图图7残差平方序列图对建立ARIMA(4,1,(1,4))后的残差以及残差平方和作序列图，结果如图6和图7所示。可以看出，残差的波动大小不一致，在2020年3月-2020年4月、2020年7月-2020年9月、2020年11月等时间区间内波动程度较大，其他时间区间内波动程度较小，可以判断残差具有波动聚集性，初步判断序列具有异方差性。因此需要对序列进行ARCH检验。3.5建立ARIMA-GARCH模型3.5.1ARCH检验对残差序列进行异方差性检验，结果如表4所示。表4异方差性检验p值F-statistic4.28440.0143Obs*R-squared8.47670.0144从表4可以看出，两个检验的p值均小于5%的显著性水平，认为残差序列存在异方差性，故建立GARCH模型。为了确认残差序列是否服从正态分布，绘制残差序列的直方图，计算其偏度、峰度、J-B检验统计量等，结果如图8和表4所示。图8残差序列直方图表4残差序列的描述性统计序列偏度峰度J-B统计量p值Resid-0.94397.2492463.010.0000在表4中，偏度为-0.9439，小于0，是左偏分布；峰度为7.2492，大于3，表明该分布存在“尖峰厚尾”的特点。J-B检验统计量为463.01，对应的p值约为0，在1%的显著性水平上认为残差序列不服从正态分布。3.5.2建立ARCH模型基于以上检验对残差序列建立GARCH模型。由于GARCH（1，1）是最常用的一种GARCH模型，故本节采用广义误差分布（GED），建立GARCH(1,1)模型。具体形式如下：σ其中εt−12是第t-1期的残差平方和，σt表5GARCH模型参数估计结果变量估计值估计标准差统计量值p值C18.316912.11851.51150.1307ε0.07520.03332.26230.0237σ0.86990.061114.23500.0000表6GARCH模型参数估计的ARCH-LM检验p值F-statistic1.19300.2752Obs*R-squared1.19490.2743表5是建立GARCH模型后的参数估计结果，包括了参数估计值、估计标准差、统计量的值和对应的p值。从中可以看出，常数的估计值为18.3169，对应的p值为0.1307，表明在10%的显著性水平上不能拒绝原假设，该估计值没有通过显著性检验。ARCH项（εt−12）和GARCH项（表6是建立GARCH模型估计序列后的ARCH-LM检验。其p值分别为0.2752和0.2743，均大于0.05，说明建立模型后的残差序列中不存在ARCH效应，GARCH（1，1）模型消除了原序列存在的异方差效应。在方差估计方程中，σt−12的系数为0.8699，ε3.5.3ARIMA-GARCH模型将建立的均值方程ARIMA(4,1,(1,4))与方差方程GARCH(1,1)组合，形成ARIMA(4,1,(1,4))-GARCH(1,1)模型，具体形式如下：dGoldσt2=18.3169+0.0752εt−123.6模型预测运用ARIMA(4,1,(1,4))-GARCH(1,1)模型对2021年12月22日至2021年12月31日的黄金卖出价进行预测，并与实际价格作比较，给出相对误差，结果如表7所示。表7样本外黄金价格预测效果日期真实值预测值相对误差2021/12/221803.401787.050.0090662021/12/231807.911803.310.0025442021/12/241808.111809.10-0.0005482021/12/271810.901805.700.0028722021/12/281805.371812.54-0.0039712021/12/291803.661805.12-0.0008092021/12/301815.011802.570.0068542021/12/311828.391817.810.005787从表7中可以看到，用经过训练后的模型去预测12月22日至31日这8日的黄金卖出价，得到相对误差，相对误差的绝对值都小于0.01，说明该模型能够很好的预测短期内的黄金卖出价，建立的ARIMA-GARCH可以用于黄金价格预测。四、结论本文选取2020年1月1日至2021年12月31日的黄金卖出价作为研究对象，首先描述了近两年黄金价格的变化趋势，然后通过构建ARIMA-GARCH模型对黄金价格进行实证分析。基于以上检验得到的主要结论如下：黄金价格在2020年1月至2020年8月上涨幅度较大，在2020年8月达到最高点后，黄金价格连续7个月下跌，直至2021年3月初达到1700美元/蛊司，随后，黄金消费开始复苏，黄金价格整体上稳定，保持在1800美元/蛊司左右。从基本的统计特征来看，黄金价格序列的分布不服从正态分布，具有“尖峰厚尾”的特点，并且具有非对称性。从均值估计模型来看，均值方程采用ARIMA(4,1,(1,4))，表明黄金价格时间序列是非平稳序列，且经过检验知序列具有波动集群性，存在异方差性。从方差估计模型来看，方差方程采用GARCH(1,1)，经过检验可知，该模型较好的解释了黄金价格序列的波动聚集现象和条件异方差性。五、参考文献RakeshKumarSharma,ForecastingGoldpricewithBoxJenkinsAutoregressiveIntegratedMovingAverageMethod,JournalofInternationalEconomics,Volume7,Issue1,January-June2016:32-61MehmetBalcilar,RanganGupta,Christianpierdzioch.Onexchange-ratemovementsandgold-pricefluctuations:evidenceforgold-producingcountriesfromanonparametriccausality-in-quantilestestIntEconEconpolicy2017.14:691-700丁磊,郭万山.基于ARIMA-GARCH族混合模型的黄金价格预测研究[J].许昌学院学报,2019,38(06):124-129.潘雪艳.基于ARIMA-GARCH模型的黄金价格实证分析[J].商讯,2020(20):155-156.顾聪,东梅.基于ARIMA-GARCH模型的中国大豆价格分析与预测[J].中国物价,2021(12):89-91.许韬,张赢杰,周子游.基于ARIMA-GARCH模型对中美汇率的组合预测[J].商场现代化,2021(15):126-128.DOI:10.14013/ki.scxdh.2021.15.046.ChingpeiLin.BuildpredictionModelsforGoldpricesBase