直线的倾斜角和斜率教学设计

“直线的倾斜角和斜率”教学设计九江市同文中学蔡宝胜教材：北师大版普通高中课程标准实验教材数学（必修2）一教材分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚定的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念.学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.本节首先利用直角坐标系中不同直线的图形，让学生直观地感知确定直线的两个主要几何要素—一个点和一个方向，引出直线倾斜角的概念，并以此为基础引出解析几何解决问题的基本方法—坐标法.利用代数方法刻画直线的方向，从而定义直线的斜率.最后推导过两点直线斜率的计算公式.探索确定直线的几何要素主要意图在于突出解析几何直观性，让学生在充分把握几何特征的基础上学习如何利用代数方法刻画几何问题.二教学目标理解直线倾斜角和斜率的概念，分别从几何直观和代数数值两个方面刻画了直线的方向.掌握直线两点的斜率公式，进而确定直线的倾斜角.培养学生相互合作意识、自主探索能力，注意思维的严谨性，认识事物之间的相互联系.三重点、难点重点:直线倾斜角和斜率的概念及斜率公式.难点:用直线倾斜角和斜率刻画直线方向的科学性及斜率公式的推导.四教学用具:计算机五教学方法:启发式引导，分组讨论法，多媒体辅助教学.六教学过程:一、问题情景(1)图片展示拱形桥、流星、神七运行轨迹、天体运行轨迹、双螺旋DNA、过山车等等，直线是最简单的几何图形.问：()确定一条直线，过一点有()条直线.设计意图：通过新颖的图片展示，吸引学生的注意力，了解解析几何产生的根源是对于复杂曲线的研究.明确本文研究的主要内容是直线，那么确定直线位置的几何要素是什么？(2)观察下图，过一点还需什么条件才能确定一条直线的位置?yl3yl3ll4Ox图1yl3l2l130º30º30ºOx图2学生：观察、思考、交流.回答：这条直线的方向或者说倾斜程度.设计意图：引导学生发现直线的位置可以由一点和直线的方向或倾斜程度确定.[导入]今天我们共同来研究如何刻画直线的方向.二、直线的倾斜角(1)方向可以用角度来描述，我们用什么角度来刻画直线的方向?学生：分组讨论.yOxyOxyOx图3图4定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴(正方向)按逆时针绕着交点旋转到和直线重合时所形成的角，叫做直线的倾斜角，当直线和轴平行时，它的倾斜角为0°，通常倾斜角用来表示.老师强调(相交正方向逆时针)设计意图：探索描述直线倾斜程度的几何要素，表明倾斜程度可以由一个角来表示，（直线与轴所形成的四个角之一）由此引出倾斜角的概念.[随堂练习]指出下列图中直线的倾斜角：yy120°Oxy120°OxyOxyOx设计意图：理解倾斜角的定义，每一条直线都应该有唯一的倾斜角.[教学实践]两个学生为一组，已知直线上一点的坐标和倾斜角，作出该直线，并标出倾斜角.设计意图：增加教学实践这一环节，引导学生加深对倾斜角概念的认识，即增强了课堂的互动性，体现了课改的理念.①认识到每一个倾斜角都确定一条直线的方向，倾斜角从几何直观上刻画了直线对轴正方向的倾斜程度.②认识到直线的倾斜角能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角?(2)倾斜角的取值范围如何?设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是.[思考]平行的两条直线倾斜角的关系?设计意图：理解仅仅倾斜角确定，直线的位置不是确定的，同时为后面求不过原点直线的斜率作好准备.三、直线的斜率(1)在平面直角坐标系中，直线倾斜角刻画了直线倾斜的程度，如何用坐标的方法刻画直线的倾斜角?斜率楼梯或山坡的倾斜程度可用坡度来刻画两个楼梯的宽度一样，但高度不一样，高度和宽度的比可以反映楼梯顶点的连线倾斜程度不一样.0.01km0.01km1km0.01km1km（坡度=）为一个比值.相当于在水平方向移动1，在垂直方向上升或下降的数值()这个比值就表示了坡度的大小.yxOyxO(2)观察类比，求过原点直线的斜率①的直线的斜率?观察图中直线上的点、当横坐标从0到1增加一个单位时，纵坐标从0增加到，称为这条直线的斜率，记作，即，不同的倾斜角对应不同的斜率.yByBCOX如图：△∽△∴==这样可以用来计算：A（直线上两点的垂直增量与水平增量的比就是斜率，此时不必一定要求水平增量为单位增量）.yOx学生共同讨论得出：斜率就是这条直线倾斜角的正切值，通常把也叫做直线的斜率.例如：直线的倾斜角分别为，，，其斜率为：，，yOx②的直线的斜率?在以后的学习中我们将知道的直线的斜率也可以用它倾斜角的正切值表示.yOyOx斜率不存在，（初中介绍过没有意义）设计意图：通过老师的启发，与学生共同探究，理解斜率的定义。yyOx，，用直线(4)斜率与倾斜角的变化关系?[演示动画]直线过点，观察当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化?当直线的斜率变化时，直线的倾斜角如何变化？①直线变化倾斜角变化斜率变化②斜率变化倾斜角变化直线变化学生分组讨论，抽象概括：1、当倾斜角时斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大.2、当倾斜角时斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大.3、当时，斜率不存在.设计意图：1、平面直线坐标系的每一条直线倾斜角都是唯一的，当倾斜角不为90º时，斜率也是唯一确定的.2、倾斜角是从几何直观上反映直线的倾斜程度，斜率是从代数数值上反映了直线的倾斜程度.3、直线的倾斜角和斜率都是反映直线的倾斜程度，从而确定直线的方向，那么两者之间的关系如何.[课堂练习]1、你能作出如下直线吗？(1)已知直线过点，且直线的倾斜角为.(2)已知直线过点，且直线的斜率为1、.2、直线的倾斜角和直线的斜率是一一对应关系吗?四、直线过两点斜率公式的推导(1)两点确定一条直线，如果已知直线上的两点坐标，怎样求出直线yP2(xyP2(x2,y2)△yP1(x1,y1)△xP(1,k)OxA(1,0)学生共同讨论：设，，由相似三角形的关系可得：.(纵坐标改变量与横坐标改变量比值)设计意图：根据演示的图形，结合前面所学，让学生自己探索出斜率公式。[思考]斜率公式中的条件()是不是多余的？为什么？设计意图：培养学生数学思维的严谨性，提醒学生要注意特殊情况。[理解应用]1、求过已知两点的直线的斜率.(1)直线过点.(2)直线过点.设计意图：加深对斜率公式的记忆，学会运用公式计算直线的斜率。2、过点画直线，使直线的斜率分别为(1)0(2)不存在(3)1(4)设计意图：直线的方向可以由一点和直线的斜率确定。3、斜率为4的直线，经过点，，，则,的值为5、已知三点,且，求证：这三点在同一条直线上.设计意图：理解斜率公式中，选取的两点可以是直线上任意不同的两点.[变式训练]若三点共线，求实数的值.五、回顾反思1、直线的方向可以由倾斜角和斜率确定，前者是从几何直观上刻画，后者是从代数数值上刻画