2024北京首师大附中初三3月月考数学试题及答案

试题试题2024北京首都师大附中初三3月月考数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）1.如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（）A. B. C. D.2.党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A. B. C. D.4.如图，在中，是直径，，则等于（）A. B. C. D.5.正比例函数y=kx和反比例函数（k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是A. B. C. D.6.若，则的结果是（）A.7 B.9 C.﹣9 D.117.已知：中，是中线，点在上，且．则的值为（）A. B. C. D.8.对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共9小题，共21分）9.半径为2且圆心角为90°的扇形面积为_______．10.从张上面分别写着“学”“生”“学”“数”“学”这个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“数”字的概率是______．11.分解因式：=____.12.如图，是的直径，弦于点，，则______°．13.如图，点A，B，C，D在上，，，则_________．14.如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为______．15.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，，PA，PC是⊙O的切线．∠P＝___°．16.为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某校初三（5）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小王、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一、二、三名（没有并列），对应名次的得分分别为，，（且，，均为正整数）分，选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小恩同学第三轮的得分为_______．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮总分小恩27小王11小奕10三、计算题（本大题共1小题，共8分）17.计算（1）（2）四、解答题（本大题共10小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.计算：．19.已知：如图1，直线AB及AB外一点．求作：直线，使得．作法：如图2，①在直线上任取一点C，连接；②C为圆心，长为半径作弧，交直线于点D；③分别以点P，D为圆心，长为半径作弧，两弧在直线外交于一点Q；④作直线．直线就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．__________，四边形是__________形（__________）（填推理的依据）．20.已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．21.如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．22.如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式（2）求当为何值时，23.在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点，，且，．①当时，比较，的大小关系，并说明理由；②若对于，，都有，直接写出t的取值范围．24.在中，，，过点A作的垂线，垂足为D，E为射线上一动点（不与点C重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点G．（1）如图1，当点E在线段上时，①依题意补全图形；②求证：点G为的中点．（2）如图2，当点E在线段的延长线上时，用等式表示之间的数量关系，并证明．25.如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．（1）若，①求此抛物线的对称轴；②当时，直接写出m的取值范围；（2）若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由．27.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点．（1）若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；（3）已知的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合．若线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）1.【答案】B【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，可得答案．【详解】解：从左边看，上面一层是一个正方形，下面一层是两个正方形，故选B【点睛】本题考查了简单组合体三视图，从左面看得到的图形是左视图，掌握三视图的有关定义是解题的关键．2.【答案】C【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此解答即可．【详解】解：二万八千亿写作，，故选：C．3.【答案】C【分析】直接根据从正面看到的图形即可求解．【详解】解：从正面看到的图形为，故选：C【点睛】本题考查了立体图形的三视图，理解三视图的概念是解题的关键．4.【答案】C【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数，又由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案．【详解】解：∵，∴，∵是直径，∴，∴．故选C．【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．5.【答案】C【分析】首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx所过象限，进而选出答案．【详解】反比例函数（k是常数且k≠0）中，＜0，图象在第二、四象限，故A、D不合题意，当k＞0时，正比例函数y=kx的图象在第一、三象限，经过原点，故C符合；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，经过原点，故B不符合；．故选C．6.【答案】D【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-)2+2，最后整体代入进行计算可得结果.【详解】解：∵，∴＝（a﹣）2+2＝（﹣3）2+2＝9+2＝11，故选：D．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．7.【答案】B【分析】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系等知识点，先利用等腰三角形的性质及外角与内角的关系说明，再判断，利用相似三角形的性质用表示出，最后代入比例可得结论．【详解】解：是的中线，，，，，，，又，，，，，，故选B．8.【答案】C【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得-2＜c＜．【详解】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，

∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，

∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，

设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1•a2=c，

∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，

∴Δ=1-4c＞0①，且（a1-1）+（a2-1）＜0②，（a1-1）（a2-1）＞0③，

由①得c＜，

∵a1+a2=-1，

∴②总成立，

由③得：a1•a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，

∴c＞-2，

综上所述，c的范围是-2＜c＜，

故选：C．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、一元二次方程解的判定、韦达定理等知识，解题的关键是根据已知得到关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1．二、填空题（本大题共9小题，共21分）9.【答案】π【分析】根据扇形面积公式求出即可．【详解】扇形的面积是=π，故答案为π．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．10.【答案】【分析】直接利用概率公式求解即可．【详解】解：张卡片中有张写有“数”字，抽取一张恰好写有“数”字的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．11.【答案】【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．【详解】．故答案为：12.【答案】【分析】先根据由垂径定理得，，再由得到，进而得到，从而可计算．【详解】解：，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查垂径定理及角的三角函数值，解题关键是熟练应用垂径定理．13.【答案】【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内．利用同弧上的圆周角相等得到，然后利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故答案为：．14.【答案】6【分析】利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到、的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积的面积，从而可计算出的面积．【详解】解：由作法得平分，则点D到、的距离相等，∴的面积的面积，∵的面积为4，∴的面积是6．故答案为：6．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．15.【答案】40【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP=∠OCP=90°，从而得到∠P+∠AOC=180°，再由圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=140°，即可求解．【详解】解：如图，连接OC，∵PA，PC是⊙O的切线．∴∠OAP=∠OCP=90°，∴∠P+∠AOC=180°，∵，∴∠AOC=2∠ABC=140°，∴∠P=40°．故答案为：40【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．16.【答案】5【分析】根据三位同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合且a，b，c均为正整数确定a，b，c的值，从而确定小恩同学第三轮的得分．【详解】解：由题意可得：，∴，∵a，b，c均为正整数，若每轮比赛第一名得分a为5，则最后得分最高的为，∴，又∵，∴最小取3，∴，∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；小王同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；又∵表格中第二轮比赛，小王第一，小奕第三，∴第二轮比赛中小恩第二，∴第三轮中小恩第一，小奕第二，小王第三，∴小恩的第三轮比赛得5分，故答案为：5．【点睛】本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．三、计算题（本大题共1小题，共8分）17.【答案】(1);(2).【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则即可求解；（2）根据平方差公式与完全平方公式即可求解.【详解】（1）解：原式（2）解：原式【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知多项式的乘法与公式的运算.四、解答题（本大题共10小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.【答案】【分析】先用负整数次幂、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简，然后再进行计算式即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数的运用，掌握零次幂、负整数次幂以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．19.【答案】（1）见解析（2），菱，四边相等四边形是菱形【分析】（1）根据题意，按照步骤补全作图即可；（2）根据菱形的判定与性质求解即可．【小问1详解】解：直线如下图所示：【小问2详解】证明：连接．，四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形）．．故答案为：，菱，四边相等的四边形是菱形．【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质，解题的关键是根据作图方法判断出．20.【答案】（1）证明见解析（2）3【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可；（2）设方程两个根分别为，利用根与系数的关系得到，由此建立关于m的方程求解即可．【小问1详解】证明：由题意得，，∴关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：设方程的两个根分别为，∴，∴，∴，∴，解得，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．21.【答案】【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出是等腰直角三角形，进而得出答案．【详解】解：半径弦于点，，，，是等腰直角三角形，，，．【点睛】此题主要考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，解题的关键是正确得出是等腰直角三角形．22.【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为；（2）当时，【分析】（1）根据A点坐标求出反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式求出B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式．（2）令，然后解不等式即可．【小问1详解】解：把代入得，反比例函数解析式为，把代入得，，把代入得，解得，一次函数解析式为．【小问2详解】解：当时，即，解得，当时，．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，涉及到用待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23.【答案】（1）（2）①，理由见详解；②或【分析】（1）对于抛物线，令，可得，可知点（0，2）在抛物线上，根据点也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；（2）根据题意，大致画出抛物线图象．①当时，根据题意可计算、的取值范围，再结合抛物线图象判断，的大小即可；②分情况讨论，当、、三种情况下，区域和区域的位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围．【小问1详解】解：对于抛物线，令，可得，即该抛物线与y轴的交点为点（0，2），又∵点也在抛物线上，∴根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；小问2详解】根据题意，大致画出抛物线图象，如下图，①当时，根据题意可知，，，，即有，，由图象可知，；②若对于，，都有，可分情况讨论，如下图：当时，，，由图象对称性可知，成立；当时，区域向左移动，区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知，成立；当时，区域、区域相向移动，两区域相遇时，有，解得，在时，成立；相遇后，再继续运动，两区域分离时，有，解得；分离后，即时，随着t的增大，由图象对称性可知，成立；综上所述，满足条件的t的取值范围为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应用，解题关键是根据题意画出图形，用数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题．24.【答案】（1）①见解析；②见解析（2），理由见解析【分析】（1）①根据题意画图即可；②由条件可证,得到,从而有，再通过平行线分线段成比例即可证出为的中点；（2）由(1)知,可得为的中点仍然成立,设,表示出即可发现它们之间的数量关系．【小问1详解】解：①如图，②如图，连接，，，在和中，，，，，，，，，，，，，G为的中点．【小问2详解】解：．理由如下：如图，连接，由（1）可知：，，为的中点仍然成立，且，设，，则，，，中，由勾股定理可得：，，，，．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出的长度是解决问题的关键．25.【答案】（1）∠D＝90°﹣2α；（2）⊙O的半径为2．【分析】（1）连接OE，OF，如图，利用等腰三角形的性质得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，所以∠DOF＝2α，再根据切线的性质得∠OFD＝90°．从而得到∠D＝90°﹣2α；（2）连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°．再证明OM∥AE得到∠MOB＝∠A＝30°．而∠DOF＝2∠A＝60°，所以∠MOF＝90°，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得OM＝BM＝r，然后根据勾股定理得到即（r）2+r2＝（）2，再解方程即可得到⊙O的半径．【详解】解：（1）连接OE，OF，如图，∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴∠DOF＝∠DOE．∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，∴∠DOF＝2α，∵FD为⊙O的切线，∴OF⊥FD．∴∠OFD＝90°．∴∠D+∠DOF＝90°，∴∠D＝90°﹣2α；（2）连接OM，如图，∵AB为⊙O的直径，∴O为AB中点，∠AEB＝90°．∵M为BE的中点，∴OM∥AE，∵∠A＝30°，∴∠MOB＝∠A＝30°．∵∠DOF＝2∠A＝60°，∴∠MOF＝90°，设⊙O的半径为r，在Rt△OMB中，BM＝OB＝r，OM＝BM＝r，在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2．即（r）2+r2＝（）2，解得r＝2，即⊙O的半径为2．【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知切线的判定定理及勾股定理的应用.26.【答案】（1）①；②或（2），理由见解析【分析】（1）①把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；②求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解；（2）把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解．【小问1详解】解：①当时，点，把点代入得：，解得：，∴该函数解析式为，∵，∴抛物线的对称轴为直线；②令，则，解得：，∴抛物线与x轴的另一个交点为，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，m的取值范围为或；【小问2详解】解：，理由如下：把点代入得：，∵，∴，∴，∴，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴，∵，∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．27.【答案】（1），证明见解析；（2）AB=AM+AE，证明见解析．【分析】（1）连接CM，由AB＝AC，D是BC中点得AD垂直平分线段CD，，从而有BM=CM=ME，于是得，，即可得；（2）AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，AB＝AC，D是BC中点，∠BAC＝120°得，进而证明是等边三角形，得AG=AM=MG，从而证明，即可证明AB=AM+AE，【小问1详解】解：，理由如下：如下图1，连接CM，AB＝AC，D是BC中点