四川省南充市2025年中考真题数学试题（含答案）

第第页四川省南充市2025年中考真题数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．下列计算正确的是（）A．2a+a=3 B．2a-a=2 C．2a⋅a=2a2 D．2a÷a2．如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°3．2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒.用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（）A．8.5×102米/秒 B．8.5×103米/秒C．8.5×104米/秒 D．85×103米/秒4．一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：个数69111215人数25832则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（）A．6 B．9 C．11 D．155．我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何?”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体共有多少个?设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（）A．3x+2=5y+3 B．5x+2=3y+3 C．3x-2=5y-3 D．5x-2=3y-36．如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A对应的数是（）A．2-2π B．π-2 C．5-2π D．2-π7．如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（） A．12 B．83 C．16 D．128．已知abc=bA．2 B．3 C．4 D．69．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（）A．4 B．27 C．6 D．10．已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y=x2−2x;当x＞2时，y=2x-4.若直线y=x+bA．−14<b<0C．−14≤b≤0 D．b≤−二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．计算：aa−3−12．不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是.13．不等式组x−3＞−1,−x<−m+1的解集是x＞2，则m的取值范围是14．如图，∠AOB=90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1，则OE的长是. 第14题图 第16题图15．已知直线y=m（x+1）（m≠0）与直线y=n（x-2）（n≠0）的交点在y轴上，则nm+m16．如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N.给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45°；④ANCN=三、解答题（本大题共9个小题，共86分）17．计算：π−202518．如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC.（1）求证：△ABC≌△AED.（2）求证：∠BCD=∠EDC.19．为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班.学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图.（1）求问卷调查的总人数，并补全条形图.（2）若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数.（3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率.20．设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.（1）当x1=-1时，求x2及m的值.（2）求证：x21．如图，一次函数与反比例函数图象交于点A（-3，1），B（1，n）.（1）求一次函数与反比例函数的解析式.（2）点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D，CD=722．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME=MD.（1）求证：ME是⊙O的切线.（2）若CF=3,sinB=23．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.材料一租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.材料二A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200-50m）元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.材料三租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.（1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少?24．矩形ABCD中，AB=10，AD=17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处.（1）【初步感知】如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP=FC.（2）【深入探究】如图2，点M在线段CD上，CM=4.点E在移动过程中，求PM的最小值.（3）【拓展运用】如图2，点N在线段AD上，AN=4.点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长.25．抛物线y=ax2+2ax−（1）求抛物线的解析式及点B的坐标.（2）如图1，抛物线上两点P（m，y1），Q（m+2，y2），若PQ∥BN，求m的值.（3）如图2，点M（-1，-5），如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN=∠HMN.探究直线l是否过定点?若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵2a+a=3a≠3，

∴此选项不符合题意；

B、∵2a-a=a≠2，

∴此选项不符合题意；

C、∵2a·a=2a2，

∴此选项符合题意；

D、∵2a÷a=2≠2a2，

∴此选项不符合题意.故答案为：C.【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；

B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；

C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；

D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得：

∠α=90°+60°=150°.故答案为：D.【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.3．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，

用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为：

25×340=8500=8.5×103（米/秒）.故答案为：B.【分析】由题意，先将单位马赫化为米/秒，再根据科学记数法“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.4．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得，

数据11出现了8次，是出现次数最多的数据，

∴这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数为11.故答案为：C.【分析】根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合表格中的信息可求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，

3x+2=5y+3.故答案为：A.【分析】根据题中的相等关系“每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”可列方程，结合各选项可求解.6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得：AA´=π×1=π，

设滚动前点A对应的数为x，

∴2−x=π，

解得：x=2-π，

∴滚动前点A对应的数为：2-π.故答案为：D.【分析】根据题意求出AA´的值，设滚动前点A对应的数为x，根据数轴上两点间的距离等于两点对应值之差的绝对值可得关于x的方程，解方程即可求解.7．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

∵正六边形与矩形叠拼成一个组合图形，且正六边形的边长为2，

∴∠BCD=120°，∠A=90°，BC=CD=2，

∴∠ACB=60°，

∴AB=BC×sin∠ACB=2×32=3，AC=BC×cos∠ACB=2×12=1，

同理可得：BF=3，DE=1，

∴AF=23，AE=4，

∴矩形的面积=AE×AF=4×23=83故答案为：B.【分析】根据正六边形与矩形的性质可得∠ACB=60°，解直角三角形可求得AB、AC、BF、DE的值，根据线段的和差AF=AB+BF、AE=AC+CD+DE求出AF、AE的值，然后根据矩形的面积=AE×AF可求解.8．【答案】D【解析】【解答】解：∵abc=bac=cab=2，

∴a2abc=b2abc=c2abc故答案为：D.【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.9．【答案】C【解析】【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM、PF、OF，

∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，

∴AC⏜=CF⏜=BF⏜，

∴∠AOC=∠COF=∠BOF，

∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，

∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，

∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，

∴点F关于AB的对称点为点M，

∴PM=PF，

∴PE+PF=PE+PM≥EM，

当E、P、M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，

∵∠AOC=60°，AD⊥AB，

∴∠D=30°，

∴OD=2OA，

∵CD=4，

∴OD=OC+4=2OA=2OC，

解得：OC=4，

∴OC=OA=OB=OM=OF=4，

∵AF⊥OC，∠AOC=60°，

∴∠OAE=30°，

∴故答案为：C.【分析】延长DO交⊙O于点M，连接PM、PF、OF，由垂径定理得AC⏜10．【答案】A【解析】【解答】解：∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y=x2-2x，

∴当-2≤x＜0时，y=x2+2x；当x＜-2时，y=-2x-4.

如图，

当0≤x≤2时，y=x2-2x=（x-1）2-1，这是一个开口向上、顶点为（1，-1），与x轴交点为（0，0），（2，0）的抛物线的一部分.

当x＞2时，y=2x-4，是一条k为2且过点（2，0）的射线.

根据对称性画出x＜0时的函数图象.

联立y=x2+2xy=x+b−2≤x<0可得x2+x-b=0，

当△=1+4b=0，即b=−14时，直线与y=x2+2x（-2≤x＜0）相切；

当直线过点（0，0）时，b=0，

结合图象可得：当11．【答案】-3a【解析】【解答】解：原式=a2-3a-a2=-3a.故答案为：-3a.【分析】根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"和合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解.12．【答案】1【解析】【解答】解：由题意得，

随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率为：22+4=13.

故答案为：1313．【答案】m≤3【解析】【解答】解：x−3>−1①−x<−m+1②，

不等式①的解集为：x＞2，

不等式②的解集为：x＞m-1，

∵不等式组的解集为：x＞2，

∴m-1≤2，

解得：m≤3.

故答案为：m≤3.

14．【答案】3【解析】【解答】解：如图，连接OD，

由作图可得：OD=OC=CD，

∴△OCD是等边三角形，

∴∠OCD=60°，

∴OE=OC×tan∠C=1×3=3.故答案为：3.【分析】连接OD，根据作图并结合等边三角形的定义可得△OCD是等边三角形，由等边三角形的每一个角都等于60度可得∠OCD=60°，然后根据锐角三角函数tan∠C=OEOC15．【答案】−【解析】【解答】解：由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）得，

m(x+1)=n(x-2）

解得：x=2m+nn−m，

∵两条直线的交点在y轴上，

∴2m+nn−m=0，

∴n=-2m，

∴nm+mn=故答案为：−5【分析】由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）可得关于x的方程，根据两条直线的交点在y轴上可得x=0，由此可将n用含m的代数式表示出来，然后把n代入所求代数式计算即可求解.16．【答案】①③④【解析】【解答】解：①∵把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，

∴△CBE≌△ABF，

∴CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

又∵∠AEM=∠BEC，

∴∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°，

∴∠AMC=90°，

即CM⊥AF，

∴此结论正确，符合题意；

②∵在△ABF中，AB+BF＞AF，

且CF=BC+BF=AB+BF，

∴CF＞AF，

∴此结论错误，不符合题意；

③∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=45°，

∴∠AMC=∠ABC=∠ADC=90°，

∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，如图，

∵CD⏜=CD⏜，

∴∠CAD=∠CMD=45°，

∴此结论正确，符合题意；

④如图，过点N作NG⊥AC，交AD于G，

∵CE平分∠ACB，∠ACB=45°，

∴∠ACM=22.5°，

∵AM⏜=AM⏜，

∴∠ACM=∠ADM=22.5°，

∵∠CAD=45°，

∴∠AGN=90°-∠CAD=45°，∠DNG=180°-∠CAD-∠ANG-∠ADN=22.5°，

∴∠CAD=∠AGN=45°，∠GDN=∠DNG=22.5°，

∴AN=NG=GD，

设AD=CD=BC=a，

在Rt△ANG中，由勾股定理得：

AN2+NG2=AG2，

∴2AN2=（a-AN）2，

∴AN=（2-1）a，AN=-（2-1）a（舍去），

∵AC=AD2+CD2=2a，

∴CN=AC-AN=2a-（2-1）a=a，

∴故答案为：①③④.【分析】①由旋转的性质可得△CBE≌△ABF，根据全等三角形的对应边（角）相等可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，再根据角的构成并结合垂直的定义可判断求解；

②根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可判断求解；

③由题意，易得A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，画出图形，根据圆周角定理可判断求解；

④设AD=CD=BC=a，在Rt△ANG中，由勾股定理可将AN用含a的代数式表示出来，在Rt△ACD中，由勾股定理可将AC用含a的代数式表示出来，根据线段的和差CN=AC-AN将CN用含a的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解.17．【答案】解：原式=1+2=1+2=1.【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-2025）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（12）-1=2，由特殊角的三角函数值可得sin45°=22，由算术平方根的意义可得18．【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.∴∠BAC=∠EAD.在△ABC与△AED中，

AB=AE,∴△ABC≌△AED.(SAS)（2）证明：∵△ABC≌△AED，

∴∠ACB=∠ADE.∵AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC.∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，

∴∠BCD=∠EDC【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，结合已知，用边角边可求证；

（2）由（1）中的全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等边对等角可得∠ACD=∠ADC，然后根据角的和差即可求解.19．【答案】（1）解：问卷调查的总人数：26÷26%=100(人).D木偶班人数：100-26-24-20=30(人)，

补全条形图：

（2）解：最希望增设“木偶班”的学生人数：800×30（3）解：列表如下：男男男女女男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（男，女）（女，女）由图可知：共有20种等可能结果，其中恰好选中一男一女的情况(记为事件M)共有12种，则PM【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得问卷调查的总人数；根据样本容量等于各小组频数之和可求得D木偶班人数；然后可将条形图补充完整；

（2）用样本估计总体可求解；

（3）根据题意列表，由表格中的信息可知：共有20种等可能结果，其中恰好选中一男一女的情况(记为事件M)共有12种，然后根据概率公式计算即可求解.20．【答案】（1）解：把x1=-1代入方程x−1x−2=m2得：∴(x-1)(x-2)=6，

即：x解方程得，x1=-1，x2=4.

∴x2（2）证明：方程(x−1x−2=△=4m2+1＞0,由根与系数的关系得xx∵−m2【解析】【分析】（1）根据方程的解的定义，将x1=-1代入关于x的方程，可得关于m的方程，解方程求出m的值，把m的值代入原方程，解这个方程即可求解；

（2）由题意，先将原方程化为一般形式，然后计算b2-4ac的值，结合偶次方的非负性可判断b2-4ac＞0，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2、x1x2的值，根据多项式乘以多项式将代数式（x1-1）(x2-1)去括号，再整体代换并结合偶次方的非负性可求证.21．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y=∵经过点A(-3，1)，

∴k1=-3.

∴反比例函数为y=−∵B(1，n)在y=−3x图象上，n=-3.

设一次函数解析式为y=列方程组−3k2+b=1,k2（2）解：∵CD⊥x轴，

∴c(a，-a，−3a∵CD=72,

∴∴a1=−6,a2=【解析】【分析】（1）设反比例函数解析式为y=k1xk1≠0.由题意，将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得k1的值，再将点B的坐标代入反比例函数的解析式可求得n的值；设一次函数解析式为y=22．【答案】（1）证明：连接OE.在△ODM与△OEM中，

OD=OE∴△ODM≌△OEM.(SSS)∴∠OEM=∠ODM=90°，

∴ME为⊙O的切线.（2）解：连接DF.∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°.∴∠B=∠ACD.

∴sin∠ACD=∵CD为直径，∴∠CFD=90∘,

设DF=4x,CD=5x,C∴∴x=1,CD=5,OD=∵△ODM≌△OEM，

∴∠1=∠2.∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠3=∠4，

∴∠1=∠3，

∴OM∥CB.∴sin∠OMD=si【解析】【分析】（1）连接OE，由题意，用边边边即可求证；

（2）连接DF，由同角的余角相等可得∠B=∠ACD，由直径所对的圆周角是直角可得∠CFD=90°，根据

锐角三角函数sin∠ACD=DFCD=sin∠B=45，于是可设DF=4x，CD=5x，在Rt△CFD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，由（1）中的全等三角形可得∠1=∠2，由三角形外角的性质并结合等式的性质可得∠1=∠3，根据平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可得OM∥CB，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠B=∠OMD，然后根据锐角三角函数sin∠OMD=23．【答案】（1）解：设A型客车每辆载客量为x人，由题意得：

600解之得：x=60.经检验：x=60是方程的根.

∴B型客车每辆载客量为：60-15=45（人），答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；（2）解：设租A型客车m辆，B型客车(10-m)辆，租车总费用w，则60m+45(10-m)≥530解之得m≥w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m)=−50m2+800m+24000

∵对称轴为m=8，a=-50＜0，

∴m≤8时，w随着m的增大而增大.∵m取正整数，且m≥163.∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元.【解析】【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，根据题中的相等关系“A型客车载客600人的车辆数=用B型客车载客450人的车辆数”可列关于x的分式方程，解这个方程并检验即可求解；

（2）设租A型客车m辆，B型客车(10-m)辆，租车总费用w，根据题意“学校参加研学活动师生共有530人”列关于m的不等式，解不等式可得m的范围；根据租车总费用w=m辆A型车的费用+(10-m)辆B型车的费用可得w与m之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解.24．【答案】（1）证明：连接EF，由折叠可得∠APE=∠B=90°，PE=BE.∵四边形ABCD为矩形，∠C=90°.∵E为BC的中点，BE=EC，

∴PE=EC.在Rt△EPF与Rt△ECF中，PE=CE∴Rt△EPF≌Rt△ECF(HL)，

∴FP=FC.（2）解：AP=AB=10，点E在移动过程中，AP=10不变.∴点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上.∴连接AM，当点P在线段AM上时，PM有最小值.∵AD=17，AB=CD=10，CM=4，

∴DM=6.∴AM=A∴PM的最小值为AM−AP=513（3）解：P在矩形内部，过点P作PH⊥AD于H，交BC于点G.∵∠NPD=90°，即∠1+∠2=90°，

∴∠1+∠3=90°.

∴∠3=∠2.∵∠PHN=∠DHP，

∴△PHN∽△DHP，∴HPHD=AN=4，AD=17，

∴DN=13.设HN=x，HD=13-x，

∴AH=x+4，

HP2=x(13-x).∵AB=10，

∴AP=AB=10，

∵HP2=AP2-AH2，

∴HP2=102-(x+4)2.∴x(13-x)=102-(x+4)2，

解得：x=4.∴HP=6，AH=8.HG