高中数学常用公式及结论

高中数学常用公式及结论

1.包含关系

AOB=A＜^AUB=B=Aq8=G，.A

=AGQB=①＜=＞CuAUB=R

2.集合｛4M,M｝的子集个数共有2"个；真子集有2”-1个；非空子集有T-1个；非空的真子集有

I2n

2”-2个.

3.充要条件

若p〉q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p足q的充分不必要条件pnq旦夕分〃

〃是4的必要不充分条件p#q且qnp

P是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件p令q且q^p

4.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称语言表示符号表示命题的否定

对M中任意一个xf

全称命题M,「/?(沏)

有p（x）成立

存在M中的一个超，

特称命题p(xo)PxEM,㈱p(x)

使〃（.⑹成立

5.函数的单调性

（1）设X］•々力］,］尸X］那么

（A--A-）［/（A-）-/（A-）］＞0如L2辿＞0。/（X）在曾力］上是增函数；

再一々

（x-x）［f（x）-f（x）］＜0^＞/（再）一/（々）＜（）=在「4.51上是减函数.

占一电

⑵设函数＞=/（©在某个区间内可■导，如果广（/）＞（）,则/（龙）为增函数；如果（（幻＜。，则

为减函数.

6.如果函数f(X)和g(X)都是减函数，则在公共定义域内，和函数g(X)也是减函数；如果函数

)，=/(〃)和〃=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数)，=是增函数.

7.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果•个函数的图象关于原点对称，

那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

8.若函数)，=/(x)是偶函数，则/(x+〃)=若函数y是偶函数，则

/(》+〃)=/(T+Q).

a+b

9.对于函数y=f(x)(xeR),fa+a)=/(/?一1)恒成立，则函数/(x)的对称轴是函数1=;两个函

a+h

数y=/(x+〃)与y=/(Z?-x)的图象关于直线1=2对称.

10.若f(x)=-f(-x+a)，则函数y-fM的图象关于点(；0)对称；若f(x)--f(x+a)，则函数

)，=/(x)为周期为2。的周期函数.

11.函数y=/(为)的图象的对称性

(1)函数)，=/(x)的图象关于直线x=。对称=f(a-¥x)=f(ci-x)<=>f(2a-x)=f(x).

a+b

(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=——对称

2

of(a+nix)=f(b-nix)=f(a+b-nix)=f(inx).

12.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)=cx(2)指数函数/(x)=as⑶对数函数/(x)=log.X(4)幕函数/(x)=产,.

(5)余弦函数/(x)=cosx，正弦函数g(x)=sinx

13.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)fa)=/(x+4)，则f(x)的周期T=a；

(2)f(x)=-f(x+a),或/(x+a)=一!—(/W*0)>或/(x+a)=——!—(/(工)工0),则/。)的周

fMfM

期T=2a；

⑶=1--!—(/(X)/0),则的周期T=3a；

/(x十。)

14.分数指数幕

5]拿

an=—j=(a>0,m,nwN,且〃〉］).(2)an=(a>O,m,nwN，且〃>1).

Nd”

an

15.根式的性质

(1)(杨)”=〃.(2)当〃为奇数时，必=。；当〃为偶数时，47=\^1\=\~\-

-a,a<(J

16.指数式与对数式的互化式

log,,N=bod=N(a>a,a于T,N>(».

17.对数的换底公式

logN-N(。>0,且。工1,机>0,且〃？工1,N>0).

“log,”。

n.

推论logmbn=—log〃(。>0,且。>1,m,〃>0,且〃zwI,〃w1,N>0).

“m

18.对数的四则运算法则

若a>0,存1,M>0,N>0,则

M

(l)log(MN)=logM+logN;(2)log_=logM-logN;(3)logM"=nlogM(neR).

aaa"R"”""

19.设函数/(x)=lognl｛ax-+灰+(?)(。工0),记/\=62-4ac.若/(九)的定义域为/?,则。>0,且△<();

若f(x)的值域为R，则。〉()，且△N0对于。=0的情形，需要单独检验.

20.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值)，，有j，=N(l+p)1

21.数列的同项公式与前n项的和的关系

4，n=\(数列｛〃｝的前n项的和为5=。+〃++a).

、cnnI2n

‘一$”T，〃>2

22.等差数列的通项公式a=a+(/?-\)d=dn+a-d(〃wN')；

〃*'d、，1,

=_〃-+(〃-_d)xn

212

其前n项和公式为5=〃(％+«，，)=na+2一3一

“212

23.等比数列的通项公式a=aqQ=上q"(〃£N”)；

nI

q

4（1一口小

----，什1延3

其前n项的和公式为s“="q,或％=<l—q

nci,q=1\na^q=\

24.常见三角不等式

7171

（1）若x£（0._）,则sinxvx<lanx.⑵若x£（0,_）,贝U1<sinx+cosxW

22

25.同角三角函数的基本关系式

sin2分cos20=1,tan必

cos。

26.正弦、余弦的诱导公式

公式—二三四五六

7C

角2E+a（A£Z）兀+a—aTt-a—a-+a

22

正弦sina一sina一sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina一sina

正切tanalana一tana—tana

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变,符号看象限

27.和角与差角公式

sin（atp）=sincucos阶costzsin夕；8s（at/3）=cosczcos内sinasin优

tancchtan/?

tan（砒P）-

1+tanBan0

asina+bcosa=7^77rsima+协（辅助角9所在象限由点（a,。）的象限决定,tan街-）.

a

28.二倍角公式

sin2g2sin«cosa

cos2a=cos2a-sin'a=2cos2a-1=1-2sin2<7（升幕公式）

cos2a="c°s/；sin2a1—cos2a（降轻公式）

22

km2g2tana

1-tan2a

29.三角函数的周期公式

函数y=sin（&r+9）,xGR及函数y=cos（3t+夕），x£R（A,co,9为常数，且A#0,co>0）的周期

T=函数产tan(初+夕)，人工公计：2生2行,(0,0为常数，且A和，co>O)的周期7="._

co20)

30.正弦定理

b=C=2R.

sinAsinBsinC

31.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA-,b2=(T+a2-2cacosB;c2=a2+/72-2abcosC.

32.面积定理

111

(1)S=2血=?bhb=2丸(%、/“、儿分别表示a、b、c边上的高).

1121

(2)S=_absinC=_bcs\nA=_casinB.

222

33.三角形内角和定理

C冗A+B

在aABC中，有A+8+C=2C=L(A+8)==--------=2C=2k2(A+8).

222

34.平面向量基本定理

如果0、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数箱、

心，使得a=Xiei+X?e2.

不共线的向量6、七叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

35.。与b的数最积(或内积)

a-b=|a||b|cos0.

36.a-b的几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.

37.平面向量的坐标运算

a=®，M),b=(R2，y2)，a+b=U,

⑴设则+x2,y1+y2).

⑵设a=(x„y),b=(x2，%)，则a-b=(再一x2,%一%)•

(3)设A用),B(x,乃),则

2AB=OB-OA=(x2-xi,y2-yi).

(4)设a=(x,y),&R，则Aa=(Ax,Ay).

(5)设a=区,y),b=(x则ab=(x/2+

2,%)，yt%).

两向量的夹角公式

cos®中廿）f（。=a,）'）,b=a,y））.

I->>>/,>2]]22

JX+y,收

平面两点间的距离公式

dAB=\AB\=4AB^AB

二J（x「xj2+（为_）,/（A-,）2,

向量的平行与垂直

设3=（尢2|）力=（%2，%），且bHO，则

a||b<=>b=Xa<=>七％一=。•

aJLb(aW0)=ab=0oxix24-y2=0.

38.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(X[,y)、B(X2,y2)、C(x2,丫3),则aABC的重心的坐标是

G卢+%+与y+M+)’3)

39.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为A48C所在平面上一点，角48,。所对边长分别为Ac,则

(1)O为MB。的外心=OC：

(2)。为A4BC的重心=Q4+O8+OC=0.

(3)。为A48C的垂心=。4。8=。8。。=。。。4.

(4)O为AA8C的内心。aOA+〃O8+cOC=().

(5)。为A48C的乙4的旁心=。。4=方。3+。。。.

40.基本不等式：

(1)£R=>"+从之2R?(当且仅当a=b时取"=”号).

(2)a,bwR=竽2疝(当且仅当a=b时取"=”号).

注：已知X,)，都是正数，则有

(1)若积xy是定值〃，则当x=y时和x+y有最小值2、万；

(2)若和x+y是定值s,则当犬=y时积xy有最大值_s2.

4

41.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

\x\<a<=>JC<a2。一。<x<〃.

凶>〃=f>42=工>4或工<_a.

42.指数不等式与对数不等式

⑴当〃>1时：af{x}>aK(x><=>/(x)>g(x);

/«>()

loga/(x)>log,gMok(x)>0•

[/W>gW

f{x>

(2)当0<。<1时:a>a*a)<=>f(x)<g(x);

/«>()

loga/(x)>log,g(x)O，g(x)>°

fW<g(x)

43..斜率公式

Z二必一'(p(x,y).P(x,)，)).

X-XIII；22

2I

44.直线的五种方程

(1)点斜式y-y.=k(x-Xi)(直线/过点且斜率为A).

(2)斜微式y二丘+"b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式)'—y一无一"(V7,v)(PCx,.v)、P(X,y)(x)).

y—yX—XI211122212

2I2I

(4)截距式-+-=K«>”分别为直线的横、纵截距，。、bw°)

ab

(5)一般式Ax+3y+C=0(其中A、B不同时为0).

45.两条直线的平行和垂直

，：，，

⑴若iy=Kx+/2:y=k2x+b2

①L||4o匕=七.〃产&；②i4o=—1•

⑵若/i:A]X+61y+G=。4：42%+82)，+。2=0,且Ai、A?、Bi、B2都不为零，

ARC

①/I"0，=，工二②/_L/=AA+BB=0；

12121212

77B2cT

46.常用直线系方程

⑴平行直线系方程：直线)，=履+〃中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线

Ax+8y+C=0平行的直线系方程是Ax+8y+&0(&0),人是参变量.

⑵垂直直线系方程：与直线AT+B)，+C=()(A，0,B翔)垂直的直线系方程是Bx-A.y+&。入

是参变量.

47.点到直线的距离

d=।坐+8)，o+C|(点p®,九)，直线/：Ax+By+C=0).

十厅

48.圆的方程

(1)圆的标准方程(x-a)2^-(y-h)2=r2.

(2)圆的一般方程+y2^-Dx+Ey-^-F=0(D2+E2-4F>0).

x=t/+rcos^

(3)圆的参数方程八.0即三角换元

y=b-rs\nO

49.点与圆的位置关系

点P(Xo，yo)与圆(工一。)2+(y-b)2=/'的位置关系有三种

若d=Jg—Xo'+S—%)2,则

d>ro点、尸在圆外;d=r=点P在圆上;d</•0点P在圆内.

50.直线与圆的位置关系

直线Ar+8.y+C=0与圆(4一。)2+(丁一与2二,2的位置关系有三种：

相离U>A<0；d=r=相切=△=();cl<r<=><=>A>0.

|A〃+劭+q

其中d=

+^2

51.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为01,O2,半径分别为ri，r2,\0102\=d

d>A+G=外离<=>4条公切线；d=。+G=外切o3条公切线；

卜］-々|<门<=>相交=2条公切线；d=h内切=1条公切线；

0<4<卜-目=内含=无公切线.

52.圆的切线方程

⑴已知圆x1+y2+Dx+Ey^F=0.

①若已知切点（看,.%）在圆上，则切线只有一条，其方程是

D（x）

xox+yoy+y+"Uy田+尸=0.

当（x,），）圆外时，xx+），）：++幻+七（%+）'）+广"0表示过两个切点的切点弦方程.

oooo22

②过圆外一点的切线方程可设为），-%=女。-%）），再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注

意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为），二日Th,再利用相切条件求b,必有两条切线.

⑵已知圆x2+y=r2.

①过圆上的P（x,y）点的切线方程为xx+），），=产;

00000

②斜率为k的圆的切线方程为y=kx±r>!\+k2.

53.椭圆的概念

平面内与两个定点R,B的距离的和等于常数（大于尸尸2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的建

直，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

集合P={MIMQ|+|MBI=2。},匹匹|=2。<2小其中。>0,c>0,且a,c为常

数.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

(a>b>0)(a>b>0)

y

图形Ju

rA

-a<x<a-b<^<b

范围

~b<y<b—a<y<a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点4(一«0),AK4O)4(0,—a),A：(0,a)

坐标8(0,—b),&(0,b)%(b,0)

性

轴长轴AN?的长为2a；短轴S分的长为2b

质

焦距|F|F2|=2C

离心率e=£w(0,l)

a

a,b,c

〃2=/«+/

的关系

椭圆的切线方程

（1）椭圆£+£=1（。>人>0）上一点P（X,），）处的切线方程是+里=1.

购户00万〃

■>

（2）过椭圆工+

7+*=1（。>6>0）外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是

54.双曲线的概念

平面内与两个定点Fl,心的距离的差的绝对值等于常数（小于IREI）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫

做双曲线的焦点,两佳点间的距离叫做双曲线的隹距.

集合尸={MIIMQLIMBI|=2a},旧Fd=2c>2m其中小c为常数且。>0,c>0.

双曲线的标准方程和几何性质

.u

渐近线三

ab~

离心率e=-”£(1,+8),其中c=炉+公

at

线段4A2叫做双曲线的实轴，它的长|人质2|=%,线段

实虚轴8出2叫做双曲线的虚轴，它的长B以|=@；。叫做双曲

线的实半轴长，。叫做双曲线的虚半轴长

a,bic

c2=a2+b2(c>«>0,c>b>0)

的关系

双曲线的方程与渐近线方程的关系

22^22.

（1）若双曲线方程为三一22=1n渐近线方程：土—21=0o）,=±2x.

a，b-crhra

bxy22

⑵若渐近线方程为），=±_工。_±_=0=＞双曲线可设为土一2_=入.

aaba2b2

⑶若双曲线与;.一二二1有公共渐近线，可设为二一二二九（九＞o,焦点在x轴上，九＜0,焦

crb-crb-

点在y轴上）.

双曲线的切线方程

（1）双曲线工-£=1（。＞0力〉0）上一点P（x,y）处的切线方程是JL-^=1.

庐庐00"加

fyr

（2）过双曲线=一尸-=1（〃＞（）方〉（））外一点P（X。,），。）所引两条切线的切点弦方程是

ab"

55.效物线的概念

平面内与一个定点b和一条定直线/（/不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的能

点，直线/叫做抛物线的准线.

抛物线的标准方程和几何性质

)r=2px)r=—2px炉=2〃.vx2=~2py

标准

(P>0)(P>0)(P>0)(p>0)

方程

〃的几何意义：焦点/到准线/的距离

图形4/

rr

顶点

0(0,0)

坐标

对称轴X轴y轴

八隹、、占J、》、，。尚2

坐标

离心率e=\

准线=p

x=一?x_y=--

2

方程22,2

范围x>0,3ER烂0,y£Rv>0,x£R><0,x£R

开口

向右向左向上向卜

方向

沏+2-Xo+C州+C一当+,

焦半径

2222

通径长2p

抛物线），2=2px的焦半径公式

=x+

抛物线/=2px(p>0)焦半径|CF|0y

PP

过焦点弦长|(7Z)|=X|4-—+X2+~=X|+X2+P.

抛物线），2=2px上的动点可设为P｛上°）或P（2pf22pf）或p（x,），3其中乂=2〃工.

2p。

56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

也…

22P+T）

H冏=7（1+Z：）l（xi+x2）—4A-|X2］=Vl划［6，［+），2）2—46以］伏为直线斜率）.

57.（1）线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此平面内的l//a

判定定理一条直线平行，则该直线与此白aua=/〃。

平面平行（简记为“线线平行=l<ta.

线面平行”）

一条直线与一个平面平行，则

l//a

过这条直线的任一平面与此平

性质定理=/〃〃

面的交线与该直线平行（简记

aCB=b.

为“线面平行=线线平行”）

（2）面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相

a〃B

交直线与另一个平面b//fi

=(又〃B

判定定理平行，则这两个平面平aC\b=P

行（简记为“线面平行=口aua

bua

面面平行”）

如果两个平行平面同/rfna//[i1

性质定理时和第三个平•面相交,any=J="〃/26ch

那么它们的交线平行

（3）直线与平面垂直判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面

/a,bua7nb=

内的两条相交直线都

判定定理

垂直，则该直线与此平7IVa

面垂直LLb

ab

垂直于同一个平面的aA-(A

性质定理\=>a//b

两条直线平行27b_l_d

（4）平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一

判定定理个平面的垂线，则=a_L4

/MJ

这两个平面垂直

58.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b?O),a〃1)=存在实数九使2=如.

P、A、8三点共线oAP||AB。AP=/A8=OP=(1-。OA+/O3.

481|CO=AB、C。共线且4B、CO不共线0AB=/CD且AB、C。不共线.

59.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的<=>存在实数对.%j,使〃=ax+by.

推论空间一点P位于平面MAB内的O存在有序实数对工,);使加2=工加4+

yMB,或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使。尸=0M+xMA+yMB.

60.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=

xa+yb+zc.

推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使

OP=xOA+yOB+zOC.

61.空间向量的直角坐标运算

设一=(4,02M3)，b=(A也也)则

(l)a+b=(ai+bl,a2+b2,a3-b3)；(2)a—b=(4一一％2，%一仄)；

⑶布=(加[，加2,助J(人WR)；(4)ab=ah+a力2+a3b3；

62.设A(M，y”Z]),B(x2,y2,z2),则

AB=()B-OA=(x,-%j-y,z?-Z]).

63.空间的线线平行或垂直

设4=（x”y”zJ,8=。2,%二?）,则

X)—A4X2

+zz

。Phoci=Ah(b0)u>Ly1=2^2；alb<^>ab=0<^>x^x2+必必\i=0.

I12

64.夹角公式

设aKa-%%),b=(4也也),则

ah+afia+afi?

cos(a,b)=

65.(1)异面直线所成角

rr访办

cos^=|cos(a,b)\=-^—?

(其中。(0,<%90‘)为异面直线a,8所成角，。力分别表示异面直线凡〃的方向向量)

(2)直线/与平面0所成角

(其中直线的方向向量为，，平面的法向量为〃，与所成的角为‘，/与〃的夹角为0)

(3).二面角a—/—例勺平面角

——♦一——•

%•〃2

%IM

(其中勺，〃2是二面角-mJ两个面a，乃的法向量，则向量/，%的夹角(或其补角)就是二面

角的平面角的大小.若二面角aT-Q的平面角为)

66.(1)空间两点间的距离公式

若A(F，y,zJ,，则

一一一T

222

dAR=|AB|=yjABAB=yl(x2-x})+(y2-y\)+(z2-zJ.

(2).异面直线间的距离

[CD-«T

d=一一是两异面直线，其公垂向量为〃，C、。分别是/上任一点，d为/间的距离)•

1〃1

(3)点8到平面a的距离

d=一一（〃为平面a的法向量，A8是经过面a的一条斜线，Aea）.

67.球的半径是R,则

其体积砒'，其表面积5=W.

3

68.球的组合体

⑴球与长方体的组合体：

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

（2）球与正方体的组合体：

正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外

接球的直径是正方体的体对角线长.

69.柱体、锥体的体积

V柱体=巾（S是柱体的底面积、力是柱体的高）.

v（S是锥体的底面积、〃是锥体的高）.

锥体3

70.分类计数原理（加法原理）N=叫+/++mn

分步计数原理（乘法原理）Nxm2xxmH

71.排列数公式

11I

Am=n（n-1）（«-w+I）=.（n,〃2£N“，且〃24〃）.注:规定0!=l.

”（H-tri）!

72.组合数公式

A"1n(n-1)(/?-/?!+1)n\

==(〃£N",mwN,且"2«〃).

"A：；lx2xxm加•(〃一/〃)！

73.组合数的两个性质

(l)CM,=C,Hm；(2)C=c，".注:规定C°=1

L”n+1n

(3)C0+C+C2++C,++C"=2”.

(4)C+。3+。5+=C°+C2+C4+2〃」.

nnnnnn

(5)C1+2c2+3。3++nCn=

nnnn

74.排列数与组合数的关系

4"=加!Cm.

nn

rnrrnn

75.二项式定理3+加"+ca-b++Cb；

nnnn〃

二项展开式的通项公式

7；+1=C^/X(r=O,1,2,力.

76.n次独立重复试验