高中数学导数、微积分测试题

导数、微积分

1.(2012德州二模)如图，在边长为"的正方形内的正弦曲线轴围成的区域记为M(图中

阴影部分)，随机往正方形内投一个点P,则点P落在区域M内的概率是

A.B.

C.D.

答案：B

解析：区域M的面积为：SM==-cosx=2,而正方形的面积为S=,所以，所求概

率为P=,选B。

2、(2012济南三模)已知函数,若成立，则=.

答案：|

解析：因为f(x)dx=(3x2+2x+l)dx=(x3+x2+x)|=4,所以2(3a2+2a+l)=4=a=-

1或a=.

3.(2012莱芜3月模拟)函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为.

【答案】-

6

【解析】^f(x)dx=+J~(2-x)fZr=-x3|^+(2x--x2)j=—

4.(2012济南三模)已知、是三次函数的两个极值点且，，则的取值范围是()

A.B.C.D.

答案：B

解析：因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几

何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经

过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选

B.

5.(2012临沂3月模拟)函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于；

4

【答案】一

3

【解析】函数的导数为，所以，即切线方程为，整理得。由解得交点坐标为，所以

切线与函数围成的图形的面积为。

6、(2012临沂二模)已知，是由直线，和曲线围成的曲边三角形区域，若向区域

上随机投一点，点落在区域内的概率为，则的值是

(A)—(B)-(C)-(D)-

64842

【答案】D

【解析】区边三角形的面积为，区域的面积为1,若向区域上随机投一点，点落在区域

内的概率，所以，所以，选D.

7、（2012青岛二模）设,则二项式展开式中不含项的系数和是

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】，所以，二项式为，展开式的通项为，令，即，所以，所以的系

数为，令，得所有项的系数和为，所以不含项的系数和为，选C.

8、（2012青岛二模）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如

图所示.下列关于的命题：

①函数的极大值点为

②函数/⑴在［0,2］上是减函数；

③如果当时，的最大值是2,那么的最大值为4；

④当时，函数有个零点；

⑤函数的零点个数可能为0、1.2.3.4个.

其中正确命题的序号是

【答案】①②⑤

【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递

减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，所以①正确；②正

确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4,当，所

以的最大值为5,所以③不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有

几个零点，所以④不正确：根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只

代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分或两种情况，由图象知，函数和

的交点个数有0,1,2,3,4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤。

9、（2012青岛3月模拟；直线与抛物线所围成封闭图形的面积是A.B.

C.D.

答案：C

【解析】联立方程求得交点分别为（-1,2）,（3,10）.

所以阴影部分的面积为S=，x4x(2+10)-［卜2+1)公=24—弓二?.

10、(2012日照5月模拟)如图，由曲线，直线与袖围成的阴影部分

的面积是

(A)1

(B)2

(C)272

(D)3

答案：D

【解析】由定积分的几何意义，阴影部分的面积等于选D.

II、(2012泰安一模)已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P,则

点P落入区域A的概率为

1c111

A.-B.-C.-D.—

34812

【答案】D

【解析】本题为几何概率.区域的面积为.区域A的面积为，所以点P落入区域A的概

率为,选D.

12.(2012滨州二模)已知函数f(x)=,g(x)=elnxo

(I)设函数F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的单调区间；

(H)若存在常数k,m,使得f(x)2kx+m,对x£R恒成立，且g(x)Wkx+m,对

Xe(0,+8)恒成立，则称直线丫=10<+>1］为函数f(x)与g(x)的“分界线”，试问：f

(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明

理由。

解析：(I)由于函数f(x)=,g(x)=elnx,

因此,F(x)=f(x)—g(x)=—elnx,

则==,

当OVxV时，VO,所以F(x)在(()，)上是减函数;

当x>时，>0,所以F(x)在(，+)上是增函数;

因此，函数F(x)的单调减区间是(0,),单调增区间是(，+)。

(II)由(D可知，当乂=时,F(x)取得最小值F()=0,

则f(x)与g(x)的图象在乂=处有公共点(，)。

假设f(X)与g(X)存在“分界线”，则其必过点(，)。

故设其方程为：，即，

由f(x)2对x£R恒成立.

则对x£R恒成立，

所以，W0成立，

因此k=,“分界线”的方程为:

下面证明g(x)£对xG(0,+8)恒成立，

设G(x)=,则，

所以当OVxV时，，当x>时，<0,

当乂=时.G(x)取得最大值0,则g(x)W对x£(0,+8)恒成立,

故所求”分界线”的方程为：

13.(2012德州二模)设函数

(I)求函数f(x)在点M(e,/(e))处的切线方程；

(II)设F(x)=ax2-(a+2)x+f(x)(a>0),讨论函数F(x)的单调性;

(III)设函数，是否同时存在实数m和，使得对每一个，直线都有公共点？

若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。

解析：⑴解：=lnx+l(x>0),则函数在点处的斜率为=2,f(e)=e,所以,

所求切线方程为y-e=2(x—e),即y=2x—e

(II)F(x)=ax2-(iz+2)x+Inx+l(x>0),

F\x）=2公-（a+2）+工=2次-（"+2）'+1='L-l）（工>口。>,

XXX

令=0,则x=或，

①当0V<2,即时，令>0,解得OVxV或x>

令V0,解得VxV

所以,F(x)在(0,),(,+)上单调递增，在(,)单调递减。

②当=2,即时，20恒成立，

所以,F(x)在(0,+)上单调递增。

③当>2,即时，

所以,F(x)在(0,),(,+)上单调递增，在(，)单调递减

(III)，令=0,则x=l,

当X在区1。*)

间回内变

化时,0

的变化

情况如

下表：

X

—

H\x)0+

单调递减极小值单调递增

H(x)2--12

e

又的值域为［1,2］。

据经可得，若，则对每一个，直线y=l与曲线都有公共点。

并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。

综上.存在实数m=l和M=2,使得对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。

14.（2012德州一模）己知函数•

⑴求/（切的单调区间;

（1【）设，若对任意，总存在［0,1］,

使得,求实数a的取值范围.

解析：（D

①当时,由于x>0,故ax+】>0,>0,所以f（x）的单调递增区间为（0,+）。

②当时,由=0,得，在区间（0,）上，>0,

在区间（一，+)上：<0,

所以，当时,所以f（x）的单调递增区间为（0,+）o

当时，f（x）的单调递增区间为（0,）,f（x）的单调递减区间为（一，+）

（II）由己知,转化为：又=g（0）=1

由（I）知,当时，f〔X）在（0,+）递增，值域为R,故不符合题意。

当时，f（x）在(0,）递增，在（一，+）递减,

故f（x）的极大值即为最大值,

所以—l—(-a),解得：a<-

15.（2012济南3月模拟）已知函数f（x）=ax+lnx,其中a为常数，设e为自然对数的

底数.

（1）当a=-l时，求f（x）的最大值；

（2）若f（x）在区间（O.e］上的最大值为-3,求a的值；

（3）当a=l时，试推断方程=是否有实数解.

【答案】解:（1）当a=-l时,f（x）=-x+lnK,f'（x）=—1+...............................1

分

当0<x<l时，f'（x）>0；当x>l时,f'（x）V0.

・・.f〔x）在（0,1）上是增函数，在（1,+8）上是减函数........3分

/（x）z寸（I）=-«....................................................................................4分

(2)Vff(x)=a+,x^(O,e］,£.................................................5分

①若a"则f-0,从而f(x)在(0,e］上增函数

AfMmax=f(e)=的+120,不合题意...........................6分

②若a<,则由f'(x)>0>0,即0<xv

由f(x)<0<0,即vxWe.

从而加)在((),—-)上增函数，在(-:，为减函数

•••f-1=-1+lnf-->1..............................................................8分

Ic)Ia)

令-1+ln=-3,则In=-2

/.=，即a=.V<,a=为所求..........9分

(3)由(I)知当a=-l时=f(1)=-l,

/.［/,(.v)|21...............................................................................................10分

又令g(x)=,g'(x)=，令g'(x)=0,得乂=露

当Ovxve时，g'(x)>0,g(x)在(0,e)单调递增;

当x>e时,g'(x)<0,g(x)在(e,+8)单调递减.....................11分

•••gWrnax招(6)=，+!〈I，・・・g(X)<l.............................................12分

e2

，If1x)|>g(x),即|/U)|>：..........................................................13分

x2

・・・方程|/(x)|=盟+1没有实数解............................14分

x2

16.(2012莱芜3月模拟)已知函数

(I)若函数在［1,2］上是减函数，求实数a的取值范围；

(II)令是否存在实数a,当(e是自然常数)时，函数的最小值是3,若存在，求

出a的值；若不存在，说明理由；

(III)当时,证明：

(22).解：#¥:(1)在［1,2］上恒成立,

令，有得........3分

所以......................4分

(II)假设存在实数a,使有最小值3,

.....................................5分

①当时,g(x)在［0,e］上单调递减，

4

gmin(M-g(e)-ae-l-3,a-一(舍去).

e

②当时,g(x)在上单调递减，在上单调递增，

所以，满足条件.

③当时,g(x)在［0,e］上单调递减.(舍去).

综上，存在实数,使得当时,g(x)有最小值3...................10分

(IH)令，由(2)知

，令，，

当时，，在上单调递增，

所以。3)=/)=5|<?|=3.

所以，即...............14分

17、(2012青岛二模)已知函数/'(x)=/〃(2+3x)-彳/

(I)求函数)，=〃x)的极大值；

(II)令(为实常数)，试判断函数的单调性；

(III)若对任意，不等式均成立，求实数的取值范围.

解：(I),的定义域为；

由于，由，

当时，;当时，,

在上为增函数；在上为减函数，

从而.......................................3分

(II),

①

,.............................4分

当，即时，，

(?、

在一工,+8上为增函数；..............................................5分

I3/

②当，即时,

2用+1

由g'(x)=0=>犬=

3(/??-1)

2机+1](2]_1

3(〃1)厂「丁—1

(i)若，贝IJ,时,

二.g(x)在(-*|,+8上为增函数;

7分

(ii)若，则

时,时,

2m+12/n+l

••・g(x)在上为增函数，在,+8上为减函数.

3(/??-1)3(/77-1)

综上可知：当时，在上为增函数;

当时，在上为增函数,

在上为减函数.

9分

3

(III)由/〃x|+/〃[r(x)+3x]>0=>\a-lnx\+ln>0,

2+3x

,而

要对任意，不等式均成立，必须:

与不同时为0.................................................................................11分

因当且仅当时，=0,所以为满足题意必有，

即...........................................................12分

18、（2012青岛3月模拟）已知函数/（x）=%3.

（I）记，求的极小值；

（II）若函数的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数的值及相应的切点坐标.

解：（I）由已知：，，

由，或，

当时，，在为增函数.此时不存在极值：

当时，

变化时，/2f、_2r

(一8,——)(--,0)0(0,+oo)

变化如下：333

X

”(x)+0—01

9（月极大极小

由上表可知：

当时，

变化时，（。，-当_2r（一日,+00）

0

变化如下：333

X

”(x)+0—01

。（力1极大极小

由上表可知:

(II)/?(x)=3Aji+sinx=>/?,(x)=3A+cosx

设两切点分别为，则

即(34+cos^)(3/1+cosf2)=-l

2

=>92+3(8sf]+COS/2)2+(COS/]cos/2+1)=0■••(*)

,方程的判别式，

即，又，

从而可得：

上式要成立当且仅当，或

此时方程(*)的解为4=0.

,存在，此时函数的图象在点处的切线和在点处的切线互相垂直.

19、(2012口照5月模拟)已知二次函数的一个零点是，函数，是自然对数的底

数.设函数.

(【)过坐标原点0作曲线的切线，证明切点的横坐标为1；

(H)令，若函数在区间(0,1]上是单调函数，求的取值范围。

解：(I)・・•-a是二次函数的一个零点，・・・b:0.

f(x)=x2+ax-Inx,

...............................................................................2分

设切点为P(x0,y。),则切线的斜率k=2xo+a--=,

X0%

整理得.显然，是这个方程的解…............4分

又因为在(0,)上是增函数，

所以方程x2+lnx-l=0有唯一实数解。故x°=l.................................6分

一\f(x)x2+ax-lnx

F(x)=-T-=---------；--------，

ee

(ID,1.........................................7分

-x*+(2-a)x+a——+lnx

F'(x)=-------------------——X--------

设h(x)=-x?+(2-a)x+a」+lnx,则h，(x)=-2x+，+L2-a...........................8分

XX-X

易知在上是减函数，从而.

(1)当2-a0,即时，，h(x)在间(0,1)上是增函数。

V在上恒成立，即在上恒成立。

•••F(x)在区间上是减函数。所以，满足题意......................10分

(2)当2-a<0,即a>2时，设函数的唯一零点为,

则在(0,)上递增，在上递减。又：.

XVh(e-a)=-e-2a+(2-a)ea+a-ea+Ine-a<0,

・・・h（x）在（0,1）内有唯一一个零点，

当时，h（x）<0,当时,h（x）>0.

从而F（x）在（0,）递减，在（，1）递增，与在区间上是单调函数矛盾。

•••a>2不合题意.

综合（1）（2）得，.即a的取值范围是.......................14分

20、（2012威海二模）已知函数.

（I）当时，求在区间上的最值；

（II）讨论函数/（幻的单调性；

（III）当时，有恒成立，求的取值范围.

解：（I）当时，，

x2-l

一