高中数学讲义专项复习（二）高考精讲

高中数学讲义专项复习（二）

目录

第1讲向量运算法则+题型拓展+大招.....................................................4

版块二经典例题.....................................................................4

题型1平行四边形法则及三角形法则..............................................4

题型2共线问题.................................................................5

题型3等和线问题...............................................................7

第2讲向量数量积几何意义+题型拓展+大招...............................................9

版块二经典例题.....................................................................9

题型1基本公式的套用...........................................................9

题型2建系坐标运算.............................................................9

题型3转换基底................................................................10

题型4投影....................................................................10

题型5极化恒等式..............................................................11

第3讲向量中的最值十三角形四心核心知识...............................................13

版块二经典例题....................................................................13

题型1面积问题................................................................13

题型2三角形四心..............................................................13

题型3模长问题转化为轨圆问题求最值...........................................15

第4讲等差等比数列知识清单+技巧大全.................................................16

版块二经典例题....................................................................16

题型I等差数列基本量的求解...................................................16

题型2等差数列的性质..........................................................16

题型3等差数列前〃项和经典结论...............................................16

题型3证明等差数列............................................................17

题型4等比数列的基本量及性质.................................................18

题型5等比数列的单调性........................................................19

题型6等比数列的证明..........................................................19

第5讲数列求通项最全方法汇总+技巧大全...............................................20

版块二经典例题....................................................................20

题型1累加法..................................................................20

题型2累乘法..................................................................20

题型3隔项成等差、等比.......................................................20

题型4%和5”的关系式.........................................................21

题型5带省略号................................................................22

题型5构造数列................................................................22

第6讲数列求和最全方法汇总+题型拓展+秒杀............................................25

版块二经典例题....................................................................25

题型I分组求和................................................................25

题型2等差绝对值求和..........................................................25

题型3错位相减................................................................25

题型4讨论奇偶................................................................26

题型5裂项相消................................................................27

第7讲数列综合拓展+放缩+大题难题.....................................................29

版块二经典例题....................................................................29

第8讲立体几何（一）：几何体性质+三视图+计算体积....................................32

版块二经典例题....................................................................32

第9讲立体几何（二）：线面关系判断与证明+书写规范...................................36

版块二经典例题....................................................................36

第10讲立何几何（三）：球体系列+最全秒杀技巧..........................................41

版块二经典例题....................................................................41

题型1正方体、长方体问题.....................................................41

题型2柱......................................................................41

题型3正棱锥..................................................................42

题型4找球心的万能分析法.....................................................43

第II讲立何几何（四）：空间中的角+最值+（理）空间向量................................44

版块二典型例题....................................................................44

题型1角......................................................................44

题型2最值问题................................................................45

题型3二面角解答题............................................................46

第12讲解析几何（一）：直线+圆知识清单+技巧.........................................48

版块二经典例题....................................................................48

题型1倾斜角和斜率之间的关系.................................................48

题型2直线的方程..............................................................48

题型3直线平行垂直的充要条件.................................................48

题型4对称问题................................................................48

题型5直线与圆的，立置关系.....................................................49

2

题型6圆与圆的位置关系.......................................................50

第13讲解析几何（二）：圆锥曲线小题（1）.........................................51

版块二经典例题....................................................................51

题型1圆锥曲线的定义..........................................................51

题型2焦点三角形..............................................................52

题型3最值问题................................................................53

第14讲解析几何（三）：圆锥曲线小题.................................................54

版块二经典例题....................................................................54

题型1双曲线经典结论..........................................................54

题型2抛物线焦点弦经典结论...................................................54

题型3中点弦..................................................................56

第15讲解析几何（四）：圆锥曲线初阶大题解题技巧.....................................57

版块二经典例题....................................................................57

题型1硬解定理的记忆..........................................................57

题型2高考常考的三个点.......................................................57

题型3简单弦长问题............................................................58

第16讲解析几何（五）：圆锥曲线大题之弦长面积问题..................................60

版块二经典例题....................................................................60

题型1弦长公式................................................................60

题型2简单面积问题............................................................61

3

第1讲向量运算法则+题型拓展+大招

版块二经典例题

题型1平行四边形法则及三角形法则

例1【★・2014•全国卷I】已知A,B,。为圆。上的三点，若=则AB与4c的

夹角为.

例2[★]a,匕为非零向量，

①若|a+M=|a-H，则<%〃>=.

②若|a|=倒=|。一力|，则va,b>=.

③若同==|a+力],则va.)>=.

④若|a|=|/>|=|a-Z>|,则.

例3[**】已知。为八45。所在平面内一点，满足|。8-0(?|=[08+0€-204，则445。一定是

().

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

例4【★★】在AA8C中，若4/=48・AC+B4・8C+CB.CA,则AA5C是().

A.等边三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.直角三角形

例5(★★]已知△WC满足41=284・。，则三角形一定为().

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

例6【★★】设.，人是两个非零向量().

A.若|〃+叫=同一|同,则aJ_b

B.若a_L),则|a+b|=|4T"

C.若|。+n=同-网，则存在实数2,使得》=及

D.若存在实数九使得b=则,+)|=同-例

例7[★★]已知向量awe,M=1,对任意fwR,恒有卜一e|2|a-e|,则().

A.akeB.a±(o-e)

C.e_L(。一e)D.(a+e)_L(a-e)

4

题型2共线问题

例11★】下列命题正确的是

（1）若向量。，方共线，则存在唯一的实数2,使〃=劝：

（2）若°=劝，则向量4〃共线；

（3）若ab,hc,则〃c；

（4）若向量a,力不共线，则向量a/都是非零向量.

例2【★★】平面向量。泊共线的充要条件是（）.

A.«方方向相同B.a力两向量中至少有一个为零向量

C.存在/IcR,使）=加D.存在不全为零的实数44,4。+45=0

例3【★★,2015,新课标I】设向量。〃不平行，向量九z+b与a+4平行，则实数4

例《【★★】设色,6是不共线的向量，已知向量AB=2q+40，Cl3=ei+3e2,CD=2e,-e2,若A,

B,。三点共线，则Z的值为__________.

例§【★★】在△ABC中，已知。是A2边上一点，若AO=2D3,CD=-CA+ACB,则2二（）.

3

2口1

A.

33

-1D.二

C.

33

例6【★★】在AABC中，AB=c,4?=力.若点/)满足8Q=2QC,则40=().

9]5

A.-b+-cB.

3333

2.i、1,2

C.—bf—cD.—b+—c

3333

例7【★★・2015•全国卷1】设。为ZWQ所在平面内一点，8C=3CO,则（）.

1414

A.4。=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

-41-41

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

例・2012•全国I理】AA8C中，AB边的高为C£>,若CB=a,CA=b,ah=0.=

时=2,则AO二().

11「22入

A.-a——btB.—a——b

3333

3344n

C.-a—bt—a—b

5555

例9【★★・2010•全国H】在△ABC中，点Q在AB上，8平分NAC5.若CR=a,CA=b,

5

a1=1,例=2,则CD=().

A.jB.-a+-b

3333

C.-a+-bD.-a+-b

5555

1..9

例10【★★】如图,在△A3C中,AN=-NC,点P是BN上的一盘,若AP=〃?A5++AC,则实

39

数利的值为（)

A

B

1_

A.1B.

3

0ID.3

例11[★★・2008•广东理】在平行四边形A4C。中,AC与比）交于点O,E是线段OD的中点,

AE的延长线与CD交于点?若AC=a,BD=b,则A尸二（).

21

A.-a+-bB.-a+-b

4233

C.-a+-hD.-a+-b

2433

例12[★★•2018•全国卷I]在△ABC中，AD为次?边上的中线，E为4）的中点，则=

).

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

例已知点G是BC的重心，过G作直线与AB,4。两边分别交于M,N两点,且

AM=xABtAN=yAC,则△-).

x+y

A.3B.

3

C.2D.

2

6

例14【★★】已知在ZMAC内有一点尸，满足PA+P8+PC=0,过点尸作直线/分别交A4,AC

于M,M若AN=nAC(m>0,n>0),则"?+/?的最小值为().

A.-B.-

33

C.2D.3

例15【★★】在△ABC中，点P满足BP=2PC,过点尸的直线与AB,AC所在直线分别交于点

M,N,若八”=〃*8,A/V=HAC(W>0,/2>0),则mi筋的最小值为__________.

例16【★★】在边长为1的正△A6C中，E,产分别为边相，AC上的动点，且满足=

AF=nAC,其中八〃c(D,l),m+n=\,M,N分别是EF,8c的中点，则“网的最小值为

题型3等和线问题

例11★★】给定两个长度为1的平面向星OA和08,它们的夹角为120。.如图所示，点C在以O

为圆心的圆弧48上运动.gOC=xOA+yOB,其中x,yeR,则x+)，的最大值是

例2【★★・2017•全国HI】在矩形ABCD中，AB=i,4)=2,动点P在以点C为圆心且与切

相切的圆上.^AP=AAB+pAD,则〃的最大值为().

A.3B.2及

C.75D.2

例-2017•江苏】如图，在同一个平面内，向量。4,OB,OC的模分别为I,I,a,

04与OC的夹角为a,且tana=7,08与OC的夹角为45°.OC=mOA+nOB(m.eR),

则m+n=______.

7

C

B

例4【★★】平行四边形ABCD中，N4")=60。，AB=\,AQ=应，P为平行四边形内一点，且

AP=—,若=+则4+向/的最大值为___________.

2

8

第2讲向量数量积几何意义+题型拓展+大招

版块二经典例题

题型1基本公式的套用

例1【★・2018•全国卷II】已知向量“2满足同=1,以力=一1，则。・(2ad)=().

A.4B.3

C.2D.0

例21★•2017•新课标I】已知向量a〃的夹角为60。，同=2,同=1,则同+2村二

例31★•2011•新课标理】知a⑦均为单位向量，其夹角为。，有下列四个命题

-2笈、

〃［：［a+母>1=。£0,—:|a+">1o，e

.3）

■\

p3:|«-/>|>1<=>^e0.—，乃

3，

其中真命题的是（）.

A.PLB.R，IA

C•P?>〃3D.〃2，P-

例《【★★】如图，已知平面四边形48cL>,AB1.BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与/"）交

于点O,记/2=OBOC,h=OCOD,则（）.

A./.</,<L

c./3</,<12

题型2建系坐标运算

例I【★・2017•山东】已知3%是互相垂直的单位向量，若小/％与勺+&2的夹角为60°，则实

数A的值是.

9

例2【★★】已知。=(42),8=(-3,-6),且。与人的夹角为钝角，则4的取值范围.

例・2009•全国理】已知o."c是单位向量，且“力=0,则(。-。)传-c)的最小值为：).

A.-2B.y/2-2

C.-1D.1-V?

例4【★★】在直角梯形A4CO中，AB1AI),DC//AB,AD=IX：=\,AB=2,E,F分别为

AB,8c的中点，点P在以A为圆心，40为半径的圆弧OE上变动(如图所示).若

=+其中24-〃的取值范围是__________.

题型3转换基底

例1【★】已知向量A8,4c的夹角为120°,且|阴=3,|AC|=2.若AP=%A8+/MC,且

AP1BC,则实数2的值为__________.

例2【**】尸为4403所在平面上一点，向量。4=°,08=6,且为线段AA的垂直平分线，

M为垂足，向量OQ=c，同=3,同=2,则c.(a-8)的值为().

A.5B.3

C.-D.-

22

例3【★★・2014•江苏】在平行四边形ABCD中，已知AB=S,AD=5,CP=3PD,

APBP=2,则48•AO的值是.

题型4投影

例在RtZVWC中，ZBC4=90°,AC=8C=6,M为斜边AB的中点，N为斜边A£?上一点，

且MV=20,则CMCV的值为().

A.!8x/2B.16

C.24D.18

例如图，A是半径为5的圆。上的一个定点，单位向量A4在A处与圆。相切，点。是

圆。上的一个动点，且点P与点A不重合，则的取值范围是().

10

AB

A.(-5,5)B.[-5,5]

C.\D.[0,5]

例如图，。为△ABC的外心，AB=4,AC=2,ZBAC为钝角，M为边8C的中点，则

AM-AO的值为.

例4【★★★】菱形八HC。的边长为2,ZA=60。，M为QC的中点，若N为菱形内任意一点(含

边界)，则4VTAN的最大值为__________.

题型5极化恒等式

例1[★,2014,新课标2]设向量”,方满足心+力|=JF5,|«-ft|=6»则°.6二().

A.IB.2

C.3D.5

例21★-2012•浙江】在Z^ABC中，M是3C的中点，AM=3,3c=10,则

AB-AC=__________.

例3【★★・2016•江苏】在AABC中，。是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，

BACA=4t3/。尸=-1,贝IJBECE的值是

11

E

叶--------5---------

例4【★★★・2018•天津】如组，在平面四边形AAC。中，AB上BC,AD±CD,ZR4D=120°,

AB=AD=1.若点、E为边CD上的动点、,则AE.8E的最小值为（）.

C

16

例5【★★・2017•全国II】已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面A8C内一点，则

EV（PB+PCj的最小值是（）.

A.-2

12

第3讲向量中的最值+三角形四心核心知识

版块二经典例题

题型1面积问题

例1平面上。，A,8三点不共线，设OA=a,OB=8,则的面积等于（）.

A.J同2时一（e4B.Ja『时十（.•4

C.时一（“炉D.时+（°6）2

例2【★★・2013•北京文】已知点A。,-1）,3（3,0）,C（2,l）.若平面区域D由所有满足

AP=AAB+〃AC（144W2,（）K〃S1）的点P组成，则D的面积为_____.

例3【★★★】在平直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,8满足|。4卜|。8卜。4。8=2,则

点集

{P|OP=/IO4+〃O8,风+|”41,44WR）所表示的区域的面积是（）.

A.2x/2B,28

C.4夜D.473

例4【★★】点。为△AfiC内一点，且。4+08+00=0,则zMOB,△AOC,△HOC的面积之

比为.

例5【★★】设?为△ABC所在平面上点，且满足3P八十4PC=〃*6（〃i>0）.若zMSP的面积为

8,则△/18c的面积为.

题型2三角形四心

例1【★★】0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足

OP=Q4+；l（A8+AC）,2e[0.+oo）,则P的凯迹一定通过AABC的（）.

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

例2【★★】0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点尸满足

/\

OP=OA+A।平+_狂_,2e[0,+oo）,则尸的轨迹一定通过AABC的（）.

jAqsinBACjsinCj

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

13

例3（★★]己知A4BC和点朋满足MA+MB+MC=O.若存在实数m使得AB+AC=〃*M成立,

则m=（）.

A.2B.3

C.4D.5

ABAC4/?AC1

例M★★】已知非零向量AB与AC满足・80=0,1―—=一，则/\43。为（）.

<M+HMri|阂[2

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.不确定

例5在四边形A8CO中，AB=DC=（1,1）,冬+恶=石笛，则四边形ABC。的面积

为

ARCABACB

例6【★★】若三个不共线的向量,0B,OC,满足。i~|+|一7=OB-

1网WH'H

BCCA

OC=0,则。点是△ABC的）.

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

例7★★]已知O是△ABC所在平面上点，若

（OA+OB）-4B=（OB+OC）.BC=（OC4-OA）C4=0,则O是AABC的（）.

A.夕卜心B.内心

C.重心D.垂心

例8【★★】已知M是△ABC所在平面内一点，N是8c边的中点，如果2AM•^。二卜^之一卜耳?则

直线MN一定通过ZVIBC的（）.

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

例9[**】已知。是△ABC所在平面上一点，若Q40B=0B♦0CAC=0CO4,则。是△ABC

的（）.

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

例1（）【★★】已知O是AABC所在平面上一点，满足则

。是△43C的（）.

14

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

题型3模长问题转化为轨圆问题求最值

例1【★★★】已知平面向量〃ec满足同=例=|〃-同=|a+b-c|=l,则同的最大值为.

例？【★★・2009•全国I】设a,4c是单位向量，且°g=0,则(。-。)他-。)的最小值为().

A.-2B.V2-2

C.-1D.l-x/2

例3[***・2()11・全国理12】设向量4,方工满足同=网=1,ab=(a-c,b-c)=60°,则同的

最大值为().

A.2B.石

C.V2D.I

例4【★★★】设a,4c均为单位向量，且a•力=0,(a-c)(/>-c)<0,则|a+力+c|的最大值为

().

A.V2-1B.1

C.x/2D.2

例5【★★★】已知同=例=2,|c|=l,(a-c>(b-c)=0,求卜-闿的取值范围.

例6【★★★・2016•四川】在平面内，定点A,B,C,满足,《=,@=,4,

DA-DB=DBDC=DCDA=-2,动点P,M满足„=1,PM=MC,则『的最大值是

例-2018•浙江】已知aho是平面向量，。是单位向量.若非零向量〃与。的夹角为工，

3

向量〃满足力2-4人力+3=0,则|。-囚的最小值是().

A.73-1B.G+I

C.2D.2-73

15

第4讲等差等比数列知识清单+技巧大全

版块二经典例题

题型1等差数列基本量的求解

例11★•2018•全国卷I】记"为等差数列｛〃“｝的前〃项和，^353=S2+S4,4=2,则%=

().

A.-12B.-10

C.10D.12

例？【★・2019•全国H】记S.为等差数列｛〃“｝的前〃项和.若〃产0,%=34，则率=().

题型2等差数列的性质

例11★】在等差数列｛4｝中，已知/+4=1°，贝113%+%=.

例21★】在等差数列｛%｝中，若生+4+6+4<)+4?=120，则为一；%=-

例3【★】下面关于公差d>0的等差数列｛3｝的四个命题

P.：数列｛/｝是递增数列；

p2：数列｛〃&｝是递增数列；

小：数列标)是递增数列；

外：数列｛6+3〃力是递增数列：

其中真命题为.

题型3等差数列前〃项和经典结论

例11十-2。©•江苏】已知数列｛，“｝(〃wN')是等差数列，S”是其前n项和.若生6+4=0,

S9=27,则&的值是.

例21★】等差数列｛叫的前〃项和为S”,an*0(〃cN),对于任意〃“有%”+册「其=0，

S2g=38,贝h〃=.

例3【★】设S"为等差数列上｝的前〃项和，58=4«3,%=-2,则为=.

例4【★】已知数列｛”.｝的前〃项和为S“，且S”=/+2〃，则数列｛/｝的通项公式为.

例5[★]已知数列｛q｝的前〃项和为S”，且S,="+2〃+l,则数列｛4｝的通项公式为

16

例6【★★】设｛凡｝，也｝是两个等差数列，它们的前〃项用为S”和7；,若寺=子篙，则;为

正整数的〃的个数是.

例7【★】等差数列｛〃"｝中，S”前〃项和，4=-11时，&=盘=2,则S”的值为.

1()8

例81十・2013•全国I】设等差数列｛为｝的前〃项和为S“，5m_,=-2,Srt,=0,S”出=3,则

m=.

例9【十】已知｛4｝为等差数列，其前〃项和为S”，若5,=6,$8=1。，则生=-

例1