高中数学同步讲义（人教A版必修二）第26讲 82 立体图形的直观图

第03讲8.2立体图形的直观图

学习目标

课程标准学习目标

1.通过阅读课本在认识柱锥台体的图形的基础上，理

①掌握用斜二测画法画水平放置的平面图解立体图形的直观图的画法；

形的直观图.。2.熟练运用掌握平面图形的斜二测画法，理解例题图形

②会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球的斜二测画法要领；

以及简单组合体的直观图。3.在认真学习的基础上，提升学生空间向量能力和数学

分析能力，抽象思维能力；

思维导图

在平面图形中取互相垂直的X轴和“由，两曲胶千点0,画直观醺才，但它们分别画成

画轴——对应的X'g.1'铀，两械干点。,，目使4oy=45*"（或1350•它们*立■的平面

表示水平面,

改图形中，平行于x轴〕轴或z轴触段，在直观图中分别画成平行于X'轴、V轴或N

轴愉殳3

已知图形中平行于X懈Z轴僦段，在直观图中保持长度不变，平行于JW段段，长度

变为原来的一半；

连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图

形的直观图

知识清单

知识点01：空间几何体的直观图

（1）空间几何体的直观图的概念

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.

直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度最关系

的图形.

（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）

（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点o,画直观图时作出与之对应的/

轴和了轴，两轴相交于点O',且使乙E'oy=45（或135”）

（2）画线：已知图形中平行于或在x轴，）'轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在犬轴，V轴

上的线段.

（3）取长度：已知图形中在R轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变.在，轴上或平行于，轴

的线段，长度为原来长度的一半.

（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.

方法归纳：设一个平面多边形的面积为5原图，利用斜二测面法得到的直观图的面积为书视图，则有

s直观图=~~~s原图•

【即学即练1】（2023上•上海•高二校考期中）如图有一个直角梯形。48C,则它的水平放置的直观图是（）

【答案】A

【详解】作出直角梯形Q48C的直观图如下图所示:

B'

A选项满足要求.

故选：A.

知识点02：空间几何体的直观图的绘制方法

（1）画轴.在平面图形中取互相乖直的X轴和）'轴，两轴相交于点O,画直观图时，杷它们分别画成对应

的上轴与y轴，两轴交于点O',且使N£O'y'=45"（或135"）,它们确定的平面表示水平面；

（2）画底面.已知图形中，平行于x轴）'轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于f轴、F轴或z'轴

的线段；

（3）画侧棱.已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于N轴的线段，长度

变为原来的一半；

（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

简记为：①画轴：②画底面：③画侧棱；④成图.

【即学即练2】（2023•全国•高一随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四楼台

的直观图.

【答案】直观图见解析

【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形A8CO：

第二步，取四边形A8C£＞对角线中点O,建立坐标系工。＞:作OC/_L平面A8CD,且OO'=2cm；

第三步，建立平面坐标系x'O'V,用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形

第四步，iSKAA,BB\CC\DD,得四棱台ABC/）-ATTCD即为所求，如图：

知识点03：斜二测画法保留了原图形中的三个性质

①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍

然相交；③平行于无z轴的长度不变.

【即学即练3】（2023上•上海•高二上海市大同中学校考阶段练习）水平放置的ABC的斜二测直观图是如

图中的4A夕C,已知AC=3,8C'=2,则A3边的实际长度是.

【答案】5

【详解】把直观图二AZ'C还原为原图形，如图所示,

则AC=AC=3,BC=2BC=4,

所以AA=+=(9+16=5.

题型精讲

题型01画水平放置的平面图形的直观图

【典例1]（2023下•四川成都•高一成都七中校考期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,

下列结论正确的选项是（）

A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图必为矩形

C,正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形

【答案】A

【详解】对于A,\•三角形的三个顶点不共线，，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线，

二•三角形的直观图依然是三角形，A正确；

对于B,如下图所示的平行四边形ABCO,其中=

其直观图为平行四边形，而非矩形，B错误;

对于C,正方形ABC。的直观图为平行四边形ABC/y,如下图所示，C错误;

对于D,如下图所示的菱形A8CZ),其中/84。=?，

4

其直观图为平行四边形ABCiy,

若OE/AB,则。'E=g/)E,.•.AD>A。，即AB>AZ7,

••・四边形ABCDf不是菱形，D错误.

【典例2】(2023上•上海宝山•高二校考阶段练习)画出图中水平放置的四边形ABC。的直观图AA'C。',

并求出直观图中三角形84力?的面积.

【答案】答案见解析‘VB'C'Q'的面积为当

【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形A3s的直观图A&CD,

【典例3】（2023•全国•高一课堂例题）画水平放置的正三角形的直观图.

【答案】画图见解析

第一步在已知的正三角形人8C中，取人8所在的直线为x轴，取对称轴CO为），轴.画对应的/轴、轴,

使Zx'Oy=45。.

第二步在f轴上取=OB=OB,在y'轴上取OC'=g0C.

第三步连接A宣，BC,CA\所得二A'8'U就是水平放置的正三角形A3C的宜观图.

［变式1］（2023上•上海普陀•高二校考期中）用斜二测画法画水平放置的正方形A8CO的直观图为平行四

边形AB'C。'，取A3所在直线为x轴，人力所在直线为y轴.若在直观图中A'8'=2cm,则BC=cm.

【答案】2

【详解】如图所示，

斜二测画法画边长为2的正方形A8CD的直观图，是平行四边形A&C77，

且A'£=Afi=2；

由于四边形A8CO为正方形，所以8c=2cm,

故答案为：2

【变式2］（2023.全同高一随堂练习）用斜二测画法画出下列图形,

⑴水平放置的边长为5cm的正方形：

（2）水平放置的梯形和平行四边形；

【答案】（1）答案见解析

（2）答案见解析

【详解】（1）在已知正方形。中，OA=OC=5cm,取OAOC所在直线为乂了轴（如图1（1））,

画出对应的y'轴，使Nr'Oy=45。,O7T=5cm,<7（7=2.5cm（如图1（2））,

即四边形O'AFC即为正方形OABC的直观图.

图1

（2）仿照正方形的直观图的画法:

图2

题型02由直观图还原平面图形

【典例1】（2024•全国•高二专题练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的

正方形，则原图形的形状是（）

ry

【答案】A

【详解】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为亚，

所以在原图形中其中一条对角线必在），轴上，且长度为2立，

故选：A.

【典例2】（2023下•陕西商洛•高一统考期末）如图，048的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角

三角形，了轴经过八方的中点，则48=（）

C.4x/3D.276

【答案】C

【详解】根据题意可得一。48的原图如图所示，其中。为A8的中点,

由于D0为A0的中点，O'D'=41,

且。4=2,00=20。=2夜，=2百，故AB=2AO=4S

故选：C

【典例3】（2024•全国•高一假期作业）如图，在斜二测画法下.A3C被画成正三角形，请画出..ABC的真

正图形.

【答案】作图见解析

作图过程：

过C作CO_LA8于。，延长D4到。，使得。0=。。，连接0C,则N。0。=45。.

过。作Qy_LOB,并以Oj作为），轴，06作为人釉，

在y轴正半轴取C,使得连接AC'、BC,

则根据斜二测画法的原理可知△ABC即为》8c真正的图形.

【变式1］（2023下•江西九江•高一德安县第一中学校考期末）图为一平面图形的直观图，则此平面图形可

【答案】C

【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为•个直角梯形,

且在直观图中平行于y轴的边与底边垂直,

原图形如图所示：

此平面图形可能是C.

故选:c.

【变式2］（2023下•河南信阳•高一校联考期中）若水平放置的四边形AO5c按“斜二测画法〃得到如图所示

的直观图，四边形。ACE为等腰梯形，4C'〃O5,AC'=4,OS=8,则原四边形AOBC的面积为（）

A.185/2B.2（）五C.2272D,24夜

【答案】D

【详解】在直观图中，四边形ACBV为等腰梯形，N/TOB'=45。，而4'。'=4。8'=8,则04=2近，

由斜二测画法得原四边形A08C巨直角梯形，AC//OB,NAOB=90。，OA=4及,O8=2AC=8,如图.

F\

o8B

所以四边形4OBC的面积为生产他=誓、4及=24技

故选：D.

【变式3］（2024•全国•高二专题练习）如图所示，梯形是一平面图形48C。的直观图.若4DHO'y1,

A1B1WC1D1,AiBi=jGD1=2,4Di=OQi=l.试画出原四边形，并求原图形的面积.

【答案】作图见解析；5

【详解】如图，建立直角坐标系＞0y,在X轴上截取。。=。，。1=1；OC=O'C1=2

在过点。与y轴平行的直线上截取04=254=2.

在过点4与x轴平行的直线上截取48=44=2.连接BC,便得到了原图形（如图）.

由作法可知，原四边形488是百角梯形，上、下底长度分别为48=2,8=3,直角腰长度为4。=2.

所以面积为S=^x2=5.

题型03画简单几何体的直观图

【典例1】（2023•全国•高一随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图.

【答案】图形见解析

【详解】①取的中点。,画Nr'。'），'=45°,

用斜二测画法画出水平放置的边长为3cm的正三角形ABC,其中A8=3cm,or=^cm；

4

②画Oz'J"平面X'。/,在Oz'上截取t/D=3.5cm；

画出A'8'=A8，A'BRAB；ACi/AC,B^CI/BC,且A'C与8c交于点C',如图所示；

③连接A4'、BB'、CC,即得正三棱柱A4C—AaC,

④最后将“'o’,oy,o"轴擦去，即可得到正三棱柱八8。4所C的直观图如下:

［典例2］（2023下•高一课时练习）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的宣观图，其中_L、下底面

边长分别为2,3,高为2.

【答案】答案见解析

【详解】（1）画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点0,ZrOy=45°,ZrOz=90°.

⑵画下底面.如图①，以。为中心，在x轴上取线段MN,使MN=3；在），轴上取线段PQ,使PQ=L5.分

别过点M和点N作），轴的平行线，分别过点P和点。作x轴的平行线，设它们的交点分别为4B,C,

则面48C。即为四棱台的下底面.

（3）画上底面.在z轴上取一点。，使00=2,过点O'分别作O丫〃OrO'y//Oy,在平面VOV内以

O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'8'CD'.

（4）连线.被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）.

图①图②

【典例3】（2023下•高一课时练习）画一个底面边长为10cm,高为2女m的正五棱锥（底面是正五边形,

顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是1:5.

【答案】答案见解析

【详解】依题意，先作出边长为2cm的正五边形AACRE，

同时以过正五边形片中心。且平行于。6所在的直线为工轴，以用。所在直线为y轴，如图,

利用斜二测画法作出正五边形A4GAE的直观图人3COE,如图,

再在直观图ABCDE中，以过原点。且垂宜.于AC的直线为z轴，

按比例尺在z轴作出PO=123cm,连接PA,PB,PC,PD,PE,如图,

最后将KVZ轴去掉，将看不到的线画成虚线，即可得到满足题意的正五棱锥，如图.

【变式1](2023•全国•高一随堂练习)画底面边长为3cm、高为3cm的正四楂锥的直观图.

【答案】答案见解析

【详解】画法：(1)画轴，画V轴、轴、z，轴，它们交于点0',

使/jc'O'y=45°,^x'O'z=90°.

(2)画底面，按V轴、轴画正方形的直观图ABC。，取边长等于3cm,

33

使正方形的中心对应于点。，在匕V轴上分别取点E、尸、G、”，且使O'E=OF=^cm,O'G=077==cm,

24

分别过£、“、G、〃作平行于心/轴的直线，分别交于A、"、。、。四点.

(3)画高(线)，在z，轴.上取01s=3cm

(4)成图，连结SA、SB、SC、SD,并加以整理，就得到所要画的正四棱雉的直观图.

s

【变式2］（2023•高一课前预习）画出卜.列图形的直观图:

⑴棱长为4cm的正方体；

（2）底面半径为2cm，高为4cm的圆锥.

【答案】（1）画法见解析，

【详解】（1）如下图所示，按如下步骤完成:

第一步：作水平放置的正方形A3CO的直观图，使得A8=4cm,BC=2cm,且ND48=45。，取平行四边形ABC。

的中心。,作x轴IIAB,y轴IIBD,

第二步：过点。作NxQ=90。，过点A、B、C、。分别作等于4cm,顺次连接人用CQ，

（2）如下图所示，按如下步骤完成:

第一步：作水平放置的圆的直观图使AB=4cm,DV=2cm.

第二步：过。'作/轴，使4'。2'=90。，在/上取点使O'V'=4cm,连接AV,BY.

第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.

【变式3］（2023•全国•高一随堂练习）画出上、下底面边长分别为3cm和5cm,高为4cm的正四棱台的直

观图.

【答案】图形见解析

【详解】（1）画轴:如图，画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点。使40），=45,=90,

⑵画下底面：以点。为中心，在、轴上取线段使MN=5cm,在），轴上取线段PQ,使PQ=gcm,

分别过点M,N作），轴的平行线，过点P,Q作x轴的平行线，

令它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正四棱台的下底面，

⑶面卜底面：布z轴卜取点O',使。4cm.过O'作工'轴、轴分别平行于x轴、y轴.

3

以点O'为中心，在V轴上取线段M/M,使M/M=3cm,在了轴上取线段P/Q/,使P/Q^^cm,

分别过点M/,M作），'轴的平行线，过点口，Q/作V轴的平行线，

令它们的交点分别为A/,Bi,Ci,。/,四边形A/8/GQ就是正四棱台的上底面，

（4）成图：连接线段A4/,BB/,CC/,DM去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正四棱台的直

观图，如图.

题型04求直观图的长度和面积

【典例1】（2024•全国•高一假期作业）水平放置的四边形A8CQ的斜二测直观图是直角梯形A5C7）',如

图所示.其中3'C=A7r=l,则原平面图形的面积为（）

C.3亚D.6五

【答案】C

【详解】由直角梯形中8'C=A5=1,且47）9=45,作A'P_LDC于P,

则四边形2为正方形，..49为等腰直角三角形,

故原图为直角梯形，且上底人8=A*=1,高WO=2A7）'=2&，

下底Z)C==2.

故选：c

【典例2】（2023下•河南南阳•高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，一个水平放置的平行四边形43CZ）

的斜二测画法的直观图为矩形A'QCD,若49=4,B'C'=3,则在原平行四边形A8C。中，AD=（）

【详解】在直观图48'。。'中，W*=4,B'C'=3,则。£=3，4'£=3&，

把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得。E=3,AE=6&，

【典例3】（多选）（2023•浙江温州•乐清市知临中学校考二模）正三角形ABC的边长为2cm,如图，二W2C

为其二水平放置的直观图，则（）

A../'9。为锐角三角形

B."TUC的血积为2辰

C.的周长为（2+6）51

D.M9c的面积为迈cm?

4

【答案】CD

【详解】如图，因为正三角形ABC的边长为2cm,故OC=6所以Ab=2,0'C'=@，NC'O*=45。，

在‘A'O'C'中，O'N=1,0'C=—,ZAO'C=135°,由余弦定理得,

2

|4C「=|0"T+|0，c「_2|0W|-\0'C\cos/AOC=1+2—2x]x苧x(—立)=1+立,

在工中，0'^=1.0'C=—,/.B'O'C=45°»由余弦定理得，

2

|BV|2=|O'3T+|O'C'「-2107rHO'C'Icos/8'O'C'=1+(—2xlx苧xg=(-手，

选项A,在GAZTC中，因为忸'Cf+|4([2_a，"「=(一当+(+半一4=_；＜o,

由余弦定理知cos/ACE［谭阴＜0,故选项A错误;

f

选项B和D,SA.B.r=^B\sin45°=-x2x^x^=^,故选项B错误，选项D正确;

选项C,..A'笈。的周长为

2+瓜，故选项C正确.

【典例4】（2023下•安徽合肥•高•安徽省肥西农兴中学校考期中）如图，。是水平放置的平面图形

的斜二测直观图，

⑴画出它的原图形，

⑵若AC=25"C的面积是等‘求原图形中£边上的高和原图形的面积.

【答案】（1）图形见解析

（2）AC边上的高为几，原图形的面积为石.

【详解】（1）画出平面直角坐标系xQy,在X轴上取04=o'A',即CA=C'A'，

在图①中，过8'作B。'//,；轴，交£轴于小，在x轴上取00=0'。'，

过点D作DBUy轴,并使D8=2/）'*，

连接AB,BC,则.4?。即为"TB'C'原来的图形，如图②所示:

，且BD=2B'D,

在直观图中作BE1A'C干点£,

~T,

在直角三角形ZTET/中，B，D，3BE=旦,所以80=28'。'=遥,

2

所以SAM=如0=瓜

故原图形中AC边上的高为灰，原图形的面积为卡.

【变式1】（2。24・全国•高三专题练习）水平放置的,的直观图如图'其中8'。'=。'。』，4。'邛

B.直角三角形

C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形

【答案】A

【详解】由图形知，在原X5C中，AO1BC,如图,

A

因为=所以AO=G，

2

•.­no-cd-1»--BC=2,

乂A4=J/U^+AO2=6TT=2'AC=ylACf+CO2=V3+T=2.

「.△ABC为等边三角形.

故选：A

【变式2］（多选）（2023下・浙江温州•高一乐清市知临中学校考期中）如图所示，四边形AFCZX是由斜

二测画法得到的平面四边形/WC7）水平放置的直观图，其中，4Q'=5,C'U=C'B'=2,点P在线段CD

上，产对应原图中的点P,则在原图中下列说法正确的是（）

c.AO在向量入8上的投影向量的坐标为［不-1J

D.\3PA+PB\最小值为13

【答案】AB

【详解】由直观图可得，

四边形48CO为直角梯形，且AO=5,CD=4,BC=2,

则四边形A8c。的面积为乜±止=14,故A正确；

2

如图，以点。为坐标原点建立平面宜角坐标系，

则0（0,0）,A（5,0）,C（0,4）,3（2,4）,则AB=（-3,4）,

AB34

所以与同向的单位向量的坐标为网=,故正确;

AB555B

AB-ADAB15（-3,4）（912、

AD=（-5,0）,则A。在向量加上的投影向量的坐标为丁布^・同二丁'二一二［一《，不》故C错误;

设P（0,y），ye［0,4］,则PA=（5,-y）,PB=（2,4-y）,

则3PA+P5=（17,4—4），），

|3PA+PB\=^172+（4-4y）2,

当y=l时，|3尸A+PB|取得最小值17,故D错误.

【变式3］（2024上•上海•高二校考期末）如图所示直角三角形CXW是一个平面图形的直观图，若Ob=叵，

则这个平面图形的面积是.

【详解】由已知直角三角形OW"中，直角边07T=&，

则直角三角形。4片的面枳为1,

由原图的面积与直观图面积之比为I：变，

4

可得原图的面枳为2枝，

故答案为：2&.

【变式4］（2024•全国•高一假期作业）如图所示直角梯形Q48C上下两底分别为2和4,高为2立，则利

用斜二测画法所得其直观图的面积为.

【详解】如图所示，作出直观图，

则。'C'=』OC=拒，ZAW=-,O'A=4,8'C'=2,

24

梯形A'B'CO'的高为V2sin==1,

二直观图的面积为号1=3.

题型05直观图还原和计算问题

【典例1］（2U24・全国•高•假期作业）水平放置的四边形A5CO的斜一测直观图是直角梯形A'&CT/,如

图所示.其中8'C=A8'=1,则原平面图形的面积为（）

【答案】C

【详解】由直角梯形A5C7T中3'。=4"=1,且N47TC=45,作AP_L。。于P,

则四边形A8C尸为正方形，AA'PQ'为等腰直角三角形，

故A'D'=e，D'C=2.

故原图为直角梯形，且上底人8=49=1,高A。=24。'=2&，

下底。C=//C'=2.

其面积为TX(I+2)X20=3&.

【典例2】（多选）（2024•全国•高一假期作.业）如图所示的是水平放置的三角形直观图，。是/AB'C中

89边上的一点，且。CVO8,ADliy轴，那么原/BC的"、AD.AC三条线段中（）

A.最长的是4BB.最长的是ACC.最短的是ACD.最短的是AZ）

【答案】AD

【详解】根据题意，原一A8C的平面图如图,

其中，AD1BC.BD>DC,

贝Ij有4A>AC>A。，

故"1BC的/W、A。、AC三条线段中最长的是八B,最短的是4D；

故选：AD

【典例3】（2024・全国•高三专题练习）如图，梯形ABC。是水平放置的一个平面图形的直观图，其中N45G45，

AB=AD=\,DC1BC,则原悭形的面积为.

A

D

-------------1c

【答案】2+巫

2

【详解】因为==I，ZABC=45,DCYBC,

所以AC=1+也，MD'=\.WA'=2,B,C,=\+—

22

叱…="+用x2=2+孝

所以S=

故答案为：2+@.

【变式1］（2024•全国•高二专题练习）若水平放置的四边形4OBC按"斜二测画法"得到如图所示的直观图,

其中4c7/O7T,AC±BC,AC=1,Ob=2,则原四边形494C的面积为（）

A.12B.6C.3亚。・孚

【答案】C

（详解］解：因为AC7/（力T,AC±RC，A'C'=1,OB'=2,

所以由斜二测画法的直观图知可O'A=&,

所以由斜二测画法的画法规则还原原图形。48C,如图：

所以4C7/O8,OAJ.OB,AC=l,013=2,AO=2AO'=2x&=2应,

所以梯形。ABC的面积为5=g（l+2）x2无=3点.

故选：C.

【变式2］（2023上•高二单元测试）如图正方形Q4BC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直

【详解】由斜二测画法的规则知与，轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角

线在），'轴上，

可求得其长度为夜，故在原平面图中其在＞轴上，且其长度变为原来的2倍，即长度为2拒，

其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：2J（2可+1+1=8cm.

【变式3】（2023上•四川内江•高二威远中学校校考期中）如图，AABV是水平放置的斜二测直观图，其

中“夕=2,"仁=3,则原图形^ABC的面积是.

【详解】画出原图形如下:

其中48=4,80=3,故S.ABC=LABBC=6.

2

故答案为：6

强化训练

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1.（2024上•全国•高三专题练习）已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方

体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m,四棱锥的高为8m.如果按1:5（X）的比

例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（）

A.4cm,lcm,2cm,1.6cmB.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD.4cm,0.5cm,1cm,0.8cm

【答案】C

【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,

又因为斜二测画直观图的画法：

已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于V,保持长度不变；

已知图形中平行于>轴的线段，在直观图中平行于y'轴，长度变为原来的一半；

已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行于，轴，保持长度不变.

所以该建筑物按1:500的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4cm,0.5cm,2cm和1.6cm.

故选:C.

2.（2024•全国•高三专题练习）如图，若斜边长为20的等腰直角二ABV（9与O'重合）是水平放置的

的直观图，则ABC的面积为（）

A

C.4x/2D.8

【详解】在斜二测直观图中，由sATTC为等腰直角三角形，A旧=26,可得AC=2,BC=2.

还原原图形如图：则A8=4,BC=2,则

=-xABxBC=-x4x/2x2=4^.

22

故选：C

3.（2024・全国•高一假期作业）已知水平放置的正方形ABCD的斜二测画法直观图A'B'CD'的面积为4a，

则正方形A8C。的面积是（）

A.4枝B.2&C.8D.16

【答案】D

【详解】因为现邛4，所以S原=16,

所以正方形ABCD的面积为16,

故选：D.

4.（2024・全国•高一假期作业）已知正方形048。的边长为2,它的水平放置的一个平面图形的直观图为

OWB'C（O'A在OY轴上），贝!图形O'AUC的面积是（）

A.4B.2C.72D.1

【答案】C

【详解】根据斜二测回法的知识可知,

OA=OC=2,OfA!=2.O,C,=\

所以图形的面积是Jx2xlxsin45Ox2=0.

故选：C

5.（2024・全国•高一假期作业）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OW9C'，且

CM'//。'。，。'4=28'仁=4,48=2,则该平面图形的高为（）

【答案】C

【详解】在直角梯形OWB'C中，ONHBC,OW=28'C'=4,A8'=2,

=272,

显然NAO'C=45,于是。入等洸=3

直角梯形。A&C对应的原平面图形为如图中直角梯形。48C,

BC//OA,OC±OA,OA=2BC=4,(J(J-20'C=4^2，

所以该平面图形的高为4&.

故选:C

6.（2024・全国•高二专题练习）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1的

等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）.

172D1+受

A.1+72B.2+&C.—+——

222

【答案】B

【详解】解：如图，恢匆:后的原图形为一直角梯形,

故选:B.

7.（2023下•广西南宁•高一校考期中）如图是水平放置的四边形相8的斜二测直观图AECD,且AQ'//），'

轴，A'8'//V轴，则原四边形A8CO的面积是（）

【详解】根据题意，因为直观图AECD中，4力'//＞，'轴，487/。。///轴,

所以四边形A3C。是个上底为2,下底为5,高为8的直角梯形，

则原四边形的面积底空警.28.

故选:C.

8.（2023下•河南驻马店•高一统考期末）用斜二测画法画./4C的直观图如图所示，其中O'B'="C=2,

A*=/VC=&，则.•.ABC中BC边上的中线长为（）

c.

A.8B,2x/3C.3D.1

【答案】D

【详解】在直观图中，O,Bf=B'C=2,且N9OV=45,则NO'C"=45,故9OE,

又因为A!B'=A!C=41*则A'为2+AC，2=?因，可得4夕±AC,

故为等腰直角三角形，所以，445。'=45,故AA7N轴，

依二据题意，作HlSBC的原图形如下图所示：

延长BA至点。，使得a4=AZ）,则A为8。的中点，

由题意可知，08=2,0。=4&，48=2啦，且AB〃OC,

所以，BD〃OCRBD=OC,故四边形03。。为平行四边形，则67）=08=2,

取BC的中点E，连接人E,

因为A、E分别为皿、8。的中点，则越号8=，2"

故选：D.

二、多选题

9.（2023•福建泉州•高二校考学业考试）水平放置的一A8C的斜二测直观图如图所示，己知夕。=4,A,C=3,

8'€7/歹轴，则/BC中以下说法正确的是（）

A.A3C是直角三角形B.AC长为6

C.8c长为8D.A4边上的中线长为恒

2

【答案】ACD

【详解】因为8‘。'"），’轴，由斜二测画法规则知AC工8C,即1/3C为直角三角形，如图所示,

又因为4'C=4,AC'=3,可得AC=3,8c=8,所以A8=SL

所以A8边上的中线长度为恒.

10.（2023下•湖南长沙•高一校考期末）如图，四边形A8CO的斜二测直观图为等腰梯形A8'。。，已知

48'=2。7/=4,则（）

A.A!D'=V2

B.BC=2sl2

C.四边形48C。的周长为6+4夜

D.四边形ABC。的面积为6及

【答案】AD

【详解】如图过W作。石_LO7T于E，

由等腰梯形ATTCTJ可得：△A7/E是等腰直角三角形,

即A'O'=Ji4'E=gx（4—2）x&=&,即A正确；

还原平面图为下图,

即A4=4=2cO,AD=2>/2,

过C作C尸J_A6,由勾股定理得CB=2x/J,即B错误；

故四边形相C。的周长为：4+2+2>/2+2>/3=6+2x/2+2x/3，即（：错误；

四边形A8CO的面积为：；x（4+2）x2&=6&,即D正确.

故选:AD

三、填空题

11.（2023上•贵州黔西•高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）如图，矩形0W9C是水平放置的平面

图形。AAC的直观图，其中O'A'=6,O'C'=3,则原图形SWC的面积为.

【答案】36&

【详解】由题意可得SO/BC=3X6=18,又9幽-=2夜，所以S3“=20X18=36VL

故答案为：36VL

12.（2023上•四川成都・高二石室中学校考开学考试）水平放置的.工8c的斜二测直观图为已知

AB'=8'C'=l,/AB'C'=90。，则工8c的面积为.

【答案】加

【详解】如下图所示：

还原回原图如图（2）所示，根据直观图画法可得A3=1,3。=287/=2&,且45_L8£>：

故的面积为S=；SA86=}2&X1=夜；

故答案为：&.

13.（2023上•贵州遵义•高二遵义市南白中学校考开学考试）已知某水平放置的四边形48co的斜二测画法

直观图是边长为1的正方形A'&CD,如图所示，则四边形A38的面积是.

【答案】2&

【详解】连接A'C',则A'C'与了平行，II有勾股定理得At1二丘,

故画山四边形ABCQ的原图形，如下:

四边形48co为平行四边形，高4。=2&，

故四边形/WC。的面积是A8・AC=1X20=2>/L

故答案为：2拒

四、解答题

14.（2023下•高一课时练习）如图所示，四边形。48c是上底为2,下底为6,底角为45。的等腰梯形.用

斜二测画法画出的这个梯形的直观图为OWB'C.求梯形的高.

【答案】也

2

【详解】如图（1）所示，过点。作CM_LOA,垂足为M,过C作CO_L），轴，垂足为

因为四边形OA3C是上底为2,下底为6,底角为45。的等腰梯形，可得OM=2,

在直角-OCM中，可得CM=2,所以0。=2,

如图（2）所示，在梯形Q48C的宜.观图OWB'C中，

分别坐标C'M'_LOW,DV_LOA',垂足分别为M',M,

因为？C//f轴，所以CM'=£W,

延长8C'交y'于点ZX根据斜二测画法的规则，可得o'D'=goz）=i,

在直角AOTW中,可得。W'=07）'sin45=—,

即直观图的高为史.

15.（2023•全国•高一专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.

【答案】答案见解析

【详解】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示：

画出相应的/轴、），'轴，使Nx'Ay=45。，

过点。作力/，/轴，垂足为“，过点。作CE_Lx轴，垂足为E,

在/轴上取AB，A9=ARAE=AE,

过点£作七'C7/>/轴，使£。'=:£。，过点尸作尸。〃），'轴，使/）'尸=:。八

22

连结4'D',D'C,CB,则四边形A5CQ'就是等腰梯形的直观图.

（2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示:

在/轴上取。0=OC,OB=OB.在了轴上取O'E'=；O石，OF=；OF,

过点尸'作"D7/.V轴，口尸77=4",过点尸'作产W〃x'轴，旦尸。'=人尸，

连结AZ'"/’,/。',。'。'，则五边形A*C7）E