高考数学第一轮复习第六章 复数与平面向量讲义及试题

【标题】第六章复数与平面向量

第一节复数

❷课程

I.通过方程的解，认识复数.

2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

知识•逐点夯实一必备知识系统梳理基独重落实......课前自修

迎J0梳理

L复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a+bi(a,Z>eR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a,分别是它的实部和虚部.当且仅当b=0时,a+bi为实

数：当。W0时，a+历为虚数:当《=0且加汽)时，〃+历为纯虚数：

(2)复数相等：«+Z>i=c+Ji<=»/=cII,b=d(«.h,c,JGR)；

(3)共枕复数：a+〃i与c+加共2uw=cb=-d(a,b,c»d£R)；

(4)复数的模：向量:仃7的模叫做且数z=a+b(a,/>£R)的模或绝对值，记作IzI或Ia+历I,即IzI=Ia+b\I=Vo2+E2.

2.复数的几何意义

(1)复数二=a+历^------匕复平面内的点Z(a,b):

(2)复数：=〃+bi一—”呼面向量百5

提醒复数二一。+9(a,bUR〉6勺对应点的坐标为(小b>,而不是<«,bi).

3.且数的运算

(I)第数的加、减、乘、除运算法则：设zi=a+历，Z2=c+di,a,b,c,d£R.

_/一±.人♦历)-(rMi>=(a--d)i

./工,•//Ja+/Mr4di>=(〃——，(6>、-d)i

J-firr嗯=零学+与嘤i(E“o)

/吉广、Eft金W小/_

(2)复数加法的运算律：设21，Z2,Z3EC,则复数加法满足以下运算律：

①交换律：Z1+Z2=Z2+Z1：

②结合律：(Z|+Z2)+Z3=T+(、+二3).

(3)复数乘法的运算律：设Zl,Z2,Z3WC,则且数乘法满足以下运算律：

①交换律：Z1Z2=Z2Z1：

②结合律：(ZIZ2)Z3=ZI(2N3)；

③乘法对加法的分配律；=1(Z24-Z3)—£|£2+£|£5.

基础户,自测

1.判断正误.(正确的画,错误的画“X”)

(I)若a£C,则/NO.()

(2)已知：=“+加(«,bSR),当a=0时，旦数z为纯虚数.()

(3)复数/(a,bWR)的虚部为bi.()

(4)方程F+x+l=0没有解.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X

2.(2022•新沏书11出)(2+2i)(|-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

解析：D(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i+4=6-2i,故选D.

3.在复平面内，向量HT对应的复数是2+i,向量二Ll'对应的复数是一I—3i,则向量J。对应的复数是()

A.1—2iB.—1+2i

C.3+4iD.-3—4i

解析：D'/~=~+~=~-~=-1-3i-2-i=-3-4i.故诜D.

4.若a+bi(«,b£R＞是F的共转复数，则“+。=

解析：由广=会整=一「得a+〃=i,即〃=0,h=\,则a+b=l.

答案：1

5.已知(a-i)(l-2i)=-3+加，a,b^R,i是虚数单位，则a+b=；若复数z=a+加，则z在复平面内对应的点位于第

象限.

解析：由(a-i)(1—2i)=—3+加，得a—2—(1+2«)i=-3+力i,由复数相等的充要条件得｛v,：，解得｛：二J'所以"+〃=。，所

以z=-l4i,复数z在受平面内对应的点为(-1,】)，位于第二象限.

答案：0二

常用//结论

4+3

2.沙=1,M=i,”2=一］,i"=-j,j4“+巾+】+i4”+2+i4”+3=o(n€N«).

3.z.z=lzl2=Izl2,IZPZ2I=Iz>I-IZ2I,l」l=y，IzwI=IzIn.

□2131

呼应用

I.已知z=F^，贝Wzl=()

A.YB.&

C.-V2D.I

解析：D由结论3可知Izl=瞿=胃=1,故选D.

11-i|v2

2.已知i为虚数单位，则(券)"'=.

解析：由结论1可得售=i,又12024=4X506,由结论2可知原式=1.

1-1

答案：1

百^考点.分类突破新选考点典例研析技法重悟通-......课堂演练

一」，

.复数的有关概念

I.(2022•全国乙卷)设(l+2i)a+0=2i,其中a,〃为实数，贝U()

A.。=1,b=~\B.a=1,h=1

C.a=-I,b=1D.a=—l,b=—\

解析：A由题意知a+b+〃i=2i,所以Q+_2：°'解得｛故选A.

2.若复数z满足(l+2i)z=4+3i,则之=()

A.-2+iB.—2-i

C.2+iD.2-i

解析：C由题意，得2=千=牛笔="=2-1所以乞=2+i,故选C.

l+2i(R21XI-205

3.复数z=(3+i)(l-4i)，则复数z的实部与虚部之和是.

解析：z=(3+i)(l-4i)=7-lli,则z的实部为7,虚部为一11,故实部与虚部的和是7—11=-4.

答案：一4

4.如果复数；是纯虚数，那么实数?”=

1+I-----------------

解析：W=「‘3因为此复数为纯虚数，所以解得，〃=-1或0.

答案：0或一1

I练后悟通I

解决复数概念问题的两个注意事项

求一个复数的实部与虚部,只需将已

注京

—知的复数化为代数形式z=z+bi(a,

事圮一

6€R)

求一个复数的共气复敷，只需将已知

注意

—复数化为代数形式，实部不变,虚部

事项二

变为相反效

.复数的四则运算

I.(2022•全国甲卷)若z=-l+VJi,则()

JDe1

A.-1+V3iB.-1-V3i

学D--FT

解析：c不=许器用=竽=十苧，故选c.

2.(2022・新两等I卷)若i(I-z)=1,则z+2=()

A.-2B.-1

C.ID.2

解析：D因为i(l-z)=1,所以z=l—!=l+i,所以2=l—i,所以z+2=(l+i)+(1-i)=2.故选D.

I

3.(多选)若夏数2满足T=i，则()

A.z=14-i

B.IzI=遮

Cz在豆平面内对应的点位于第四象限

D.z?为纯虚数

解析：BD设2=。+切(a,bGR),则，；=+(；电=i,a+(〜-1)i=i［(a+1)+加］=一8+(a+l)i,所以「二二［解得］=；

+1(,*,］)+IILJT=LJ十ILJ=1

所以z=-l+i,故2=-1-i,A错误：Izl=a,B正确：z在发平面内对应的点为(一】，1),位于第二象限，C错误：?=(-1+i)2=

-21,则z2为纯虚数，D正确.

；20B

4•若2=言,贝wzI=------------；z+z=-------------

解析：z=f=^=?，I2I=JG)2+(4)-=Tz+2=；—；i+；+导1.

答案：yI

I练后悟通I

复数代数形式运算的策略

臭似于多项式的袤法,只要在所

|复4t的乘法|得的拈果中＜tei?挟成一l.JLfc

空部与虚部企电令今

分子、分母同来分母的共施复

|复数的除法|一

敦，注意把i的军写成兼简格式

.复数的几何意义

【例】(1)(2021.™iI^)且数言在复平面内对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象阪D.第四象限

(2)(2022・仝闰申网)若2=1~H,MOIiz+30-I=()

A.4V5B.4^/2

C.2V5D.2'/2

解析⑴净流HH+*故选A.

(2)因为工=l+i,所以iz+3l=i(1+i)+3(l-i)=-l+i+3-3i=2-2i,所以Iiz4-3-I=I2-2iI=Jz?+(-2)2=241故选D.

答案(I)A(2)D

I解题技法I

对复数几何意义的再理解

(1)复数二、复平面上的点Z及向量=『相互联系，即2="+方(a,b&R)包(0h)WTt：

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用效形结合的方法，便问题的

解决更加直观.

身训练

1.在复平面内，复数2i,4对应的点分别为A,B.若C为线段A4上的点，且不7=市，则点C对应复数的共扰复数是()

A.l+2iB.2+i

C.2-iD.l-2i

解析：C由题意知，A(0,2),B(4,0),•.•E7=H，，点C为线段A8的中点，；.C(2,1),点C对应的复数z=2+i,...z的共粗

复数之=2—i,故选C.

2.设复数z满足|z-2iI=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()

A.1B.V3

C.V5D.3

解析：D法一：由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0,2)的距离为1的点的集合，即以(0,2)为圆心，1

为半径的圆，圆心(0,2)到原点的距离为2,所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2+1=3,故选D.

法二：设复数z=x+yiCx,y£R),则炉+()-2)2=1,所以一即lWyW3,所以炉+)，=外一3W9,所以而2+62忘3,即在

复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.故选D.

■G■课时.过关检测。关就能力分层施练素养支提升课后练习

AfflJ基础达标

1.(2022•全国乙卷)已知z=l-2i,且2+虎+5=0,其中a,〃为实数，则)

A.a=1,b=-2B.a=-I,b=2

C.a=1.b=2D.a=—\,b=—2

解析：A由题意知乞=l+2i,所以z+诋+人=1-2i+〃(l+2i)+b=a+b+\+(2«-2)i,又z+应+8=0,所以〃+/，+】+(2«-2)i=

。，所以bW1=°,解用：3,故选a-

2.(2022•北京病有)若复数z满足i・z=3-4i,则|zl=()

A.1B.5

C.7D.25

解析：B依题意可得2=芋=竿=一4一3「所以Izl=J(-4)2+(-3)2=5,故选B.

3.已知i是去数单位，免数z与免平面内的点(3—1)对应，则苴数三对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：D复数z与复平面内的点(2,-I)对应，可知z=2-i,所以詈=甘箫=(一和其对应的点为(H).故选D.

4.已知复数2=(标-4)+(«-3)i(«GR)，则“a=2”是“z为纯虚数”的()

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：A因为复数2=(«2-4)+(a-3)i(«GR)为纯虚数，等价于］；等，即。=±2,由充分条件和必要条件的定义知“a=2”是“a

=土2”的充分不必要条件，所以"a=2”是"2为纯虚数”的充分不必要条件.故选A.

5.设之是复数z的共观复数.在复平面内，复数z+2与2+2i对应的点关于3，轴对称，则上=()

A.-i+iB.-；-；

C-HD-

解析：B设z="+〃i（小b^R）,则z+2=（a+2）+hi,z+2i=a+（2—方）i,因为复数z+2与G+2i时应的点关于），轴对称，所以〃+2

+。=0且8=2-6,解得。=-1,b-\,则z=-1+i,工=七=「二、=今=一:一；「故选B.

-l+l222

6.（多选）若复数z满足（l+i）-z=5+3i（其中i是虚数单位），则（）

A.z的虚部为一i

B.z的模为

C.z的共规且数为4—i

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

解析：BD由（l+i）2=5+3i得z=^=*鬻=F=4-i,所以z的虚部为-1,A错误：z的模为J42+（—1）2=47,B正确：z的共领

复数为4+i,C错误；z在复平面内对应的点为（4,-1）,位于第四象限，D正确.

7.（多选）已知复数z对应的向量为前（。为坐标原点），用与实轴正向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数2可能为（）

A.I+V3iB.2

C.-1—73）D.-1+V3i

解析：CD设复数z=x+yi（x,>'GR）,•.•向量F与实轴正向的夹角为120°且发数z的模为2,...当z在第二象限时，x=ITHcos

120°=2X（-i）=-l,>-=|□□|sin120°=2X?=V1，z=—l+6i；当z在第三象限时，“=I前Icos（—120°）=2X（-0=-l,y

=I~Isin（-120°）=2X（-y）=-V3,-1-VJi.故选C、D.

8.已知i为虚数单位，若复数2=在，则IizI=________.

l+l

解析：法一：12=整=4=?第=拶=2+1所以IizI=V22+12=V5.

I+Il+i（HiMI-i）2

法二：lizl=lillzl=IXimi=啜H^=^=6.

l+i|Hi|./|2+|2v2

答案：屏

9.若z=(d-V2)+“i为纯虚数，其中a£R,则丁E=.

I+Di------------

解析：.；为纯虚数，。，.・.〃=0.・・.^=嘉=离急=手=一i.

(□00,•+•1+瓜(1+^0(1-721)3

答案：一i

10.设复数：=(*)+(含)，i为虚数单位，”WN,则由z的所有可能取值构成的集合为.

解析：z=i叶(-i)3i为虚数单位，n€N,n=4k()teN)时，z=2；当〃=必+1«£N)时，z=0：当”=必+2(A^N)时，z=-

2；当〃=4太+3<^GN)时，z=0.

答案：｛-2,0,2)

综合应用

11.已知曳数数列｛“〃｝满足m=2i,加1=山”十i+1,〃仁N",i为虚数单位，贝ijc“o=()

A.2iB.-1+i

C.1+iD.-2i

解析：B法一：因为ai=2i,a”+i=ia”+i+l,所以a2=2i-i+i+l=—1+i,ay=(—1+i)i+i+1=0.«4=0i+i+l=H-i,出=(1+i)i+

i+l=2i,…,所以数列｛“”｝是以4为周期的周期数列，所以mo=M2+2=G=-l+i,故选B.

法二：因为。i+i=ia”+i+l,所以ae+i—i=i(a-i),又m—i=iW0,所以数列｛<〃一i)是以i为首项，i为公比的等比教列，所以小一i=i",

则a”=i+i",所以aio=i+i“)=i+i2=-l+i,故选B.

12.(多选)已知两个复数Zl,Z2满足ZlZ2=i,且zi=l-i,则下面说法正确的是()

A.Z2=4B,I21|=占

2|02|

C.Izi+zslN2D.2点2=-i

解析：ABD因为zi22=i，zi=l—i,所以22===手，故A正确：IziI=J127二IziI=J(-；)+(丁=苧，所以IziI=与

<2

故B正确；因为Izi+zzI=I?I=v»故C错误：Z]Z2=(i+i)X4=-i,故D正确.故选A、B、D.

13.(多选)设z£C,则下列说法中正确的是()

A.IzI2=~-z

B.IZl+z2I=IZ1I+IZ2I

C.若匚彳+玛=0,则ZI=Z2=O

D.若IzI=1,则Iz-iIW2

解析：ADA选项，设z=q+加(小〃£R),则百=a一加，IzI2=a2-Vb2,百z=/+〃，所以IzI2=百1故A正硝：B选项，令zi=l+

i,Z2=l—i.则Izi+z2I=2,IziI4-IZ2I=275,不满足Izi+z2I=IziI+IZ2I,故B错误：C选项，若zi=i»Z2=l.则□彳+口专=

。，但不满足zi—Z2—0,故C错i吴：D选项，若Izl—1,不妨令z—cos，+sin6”,S1)Iz—iI—Jcos2O+(sinO-1)2—V2—2sinD<2,故D正

确.故选A、D.

14.i是虚数单位，使(1+i)”为实数的最小正整数〃=.

解析：：(l+i〉2=2i,(l+i)3=2i—2,(1+i)4=—4,.•.使(1+i)”为实数的最小正整数〃是4.

答案：4

15.复数z满足lz—1|2—|z+l产=4,则复数z在复平面内对应的点所在的轨迹方程是.

解析：设z=〃+加(小,则(a-i)2+〃一[(a+1)2+^]=4,整理，彳导。二-1,・•.变数z在发平面内对应的点所在的轨迹方程是x

=-1.

答案：x=-l

16.已知复数zi满足(1+i)zi=-l+5i,z2=a-2-i,其中i是虚数单位，|zl-z2I<IziI,则〃的取值范围是.

22

解析：VZ!=^=2+3!,z2=a-2+i,，II=I4-a+2iI=1(4-)+4,IziI=I2+3iI=/13,A/(4-I)+4<A<I3,得/一

8a+7<0，解得lVa<7.

答案:(I,7)

第二节平面向量的概念及线性运算

❷课程

I.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.

2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.

3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知识•逐点夯实一必备知识系统梳理基独重落实......课前自修

延见0梳理

1.向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有力血的量叫做向量，向景的大小叫做向最的长度（模）：

（2）零向盘：长度为止的向量，记作0：

（3）单位何量：长度等于1±里位长度的向量：

（4）平行向量：方向相同或拉反的|卜：零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平•行；

（5）相等向量：长度相等且方向祖®的向量：

（6）相反向量：长度相等且方向也区的向量.

提醒单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同：与向量a平行的单位向量有两个，即向量巴和一巴.

|a|lai

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

交换律：a+b=b+a；

加法求两个向量和的运算

/QJ结合律：（a+力）+c=a+（b+c）

三角形法则

平行四边形法则

减法求两个向量差的运算c~b=a+(~b)

几何意义

续表

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

IzaI=IIlai.当入>0时,丁与a的方向相同:A(/<a)=(x/<)a：

数乘求实数2与向量。的积的运算当7V0时，〃与。的方向相反;(i+4)a=/.a+/iaz

当2=0时，za=02(a+b)=/.a+/Jt

3.共线向量定理

向量a（a^O）与力共线的充要条件是存在唯一一个实数人使得〃=〃.

提醒当。士0时，定理中的实数i才唯一，否则不唯一.

基础自测

I.判断正误.（正确的画“4”，错误的画“X”）

（1）lai与I/H是否相等，与a，8的方向无关.（）

（2）若向量。与“同向，且IaI>IbI,则a>b.<）

（3）若向址前与向量近•是共线向量，则A,B.C,。四点在一条直线上.（）

（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（）

答案：（1）4（2）X（3）X（4）4

2.对于非零向量a,b,“a+b=O”是厂的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：A若。+匕=0,则。=一6,所以“〃尻若a〃4则〃+。=0不一定成立.故前者是后者的充分不必要条件，故选A.

3.（2知下列各式：

0~+~+~：②nn+rn+nn+rn：③nn—nn+nn-rrn.

其中结果为零向量的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：C①中E+i+m=O;②中=5+=^+=+可甘=而+6=市：③U-D+L-U=L+r=O.故①<§）结果为零向

量，故选C

4.（2022・新向■考■1出）在△ABC中，点。在边AA上，8。=2。人记用=小，而=〃，则亍5=（）

A.3m~2nB.—2/n+3n

C.3m+2nD.2m+3〃

解析：B因为4O=2D4,所以用=3刃，所以而=而+方可=而+3］可=元+3（用一而）=-2文+3用=-2〃1+3〃.故选8.

5.化简：（I）（OT+OT）+Dn+OT=；

（2）□a+ar+nn-nu=.

解析：（i）原式=nn+二^+而+仃仃="rn.

（2）原式=,+一3=0.

答案：（1）用（2）0

常用//结论

1.三点共线的等价转化

A,P,B三点共线百二=1百1QRO）«nn=（1-/）OT+rOT（0为平面内异于A,P,B的任一点，f£R）<=^H=rOT+yW（O为平面

内异于A,P,B的任一点，ASR,yGR,x+y=1）.

2.向量的中线公式

若P为线段/仍的中点，O为平面内一点，则五=；（二+而）.

身应用

I.已知。是△人。。所在平面内一点，〃为线段八。的中点，且口已一比I3TT=0,那么（）

A.□D=j~B.~=jnc

c.为弓mD.而二；用

解析：A由结论2可知玩!+充=2三■己，又因玩f-而+3亍可=0,则3亍E=2万寸£^=3^故选A.

2.已知4B,C.O四点满足条件《1仃+/丸=仃=，若a+A=1,则能得到.

解析：由结论1可知A,B,。三点共线.

答案：A,B,C三点共线

巨勺考点•分类突破。孙•选考点典例研析技法支悟通课堂演练

1.设mb都是非零向量，下列四个条件中，使［=白成立的充分条件是（）

1«1网

A.a=—bB.a//b

C.a=2bD.Q〃方且IaI=I

解析：C因为向宣弓的方向与向量“相同，向盘指的方向与向量〃相同，且：；=白所以向量“与向量〃方向相同，故可排除选项A、B、D.当

|a|\b\|a|同

a=2b时，看=器=白故a=2〃是1=白成立的充分条件.

|2|12bl|b||a||b|

2.下列说法正确的是（）

A.若IaI=IZ>I,则4二方或a=一〃

B.若ma=mb,R.则a=b

C.若a〃b,h//c,则a〃c

D.若机a=0.帆SR,贝IJ〃I=O或a=0

解析：D对于A,当a=(1,1),。二(三争时，满足IaI=I〃I,但a^±b,故A错误：对于B,当a=(1,1；,b=(1.2),m

。时，满足，"”=5。=0,但“Kb,故B错误：尤于C,当〃=(1,I),)=0,c=(1,2)时，满足a〃4c//h,但不满足a〃a故C错

误；对于D,由〃必=0,得机=0或a=0,故D正确.综上所述，选D.

3.(多选)给出下列命题,其中正确的有()

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,B,C,。是不共线的四点，且口甘=不，则四边形A8C。为平行四边形

C.a=b的充要条件是IaI=IbI且a//b

D.两个相等向量的模相等

解析：BDA错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点：B正确，因为正=

而，所以I=I=I7TT*I且丁丁〃田，又八.B,C,D是不共线的四点，所以四边形八6。为平行四边形；C错误，当a〃。且方向相反

时，即使lai=IbI,也不能得到a=/>:D正确，两个相等向量的模一定相等，故选B、D.

I练后悟通I

向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度：

(2)非零共线向量的关故是方向相同或相反，长度没有限制；

(3)相等向量的关犍是方向相同且长度相等；

<4)单位向量的关键是长度等于I个单位长度；

(5)零向量的关键是长度是0.规定零向量与任意向量共线.

.平面向量的线性运算

考向/向量的线性运算

【例I】在△ABC中，nH=jOT,若仃仔=心百二=力，则m=()

C$一,D./一扣

解析法一：如图，过点。分别作AC,A8的平行线交48,AC于点E,F,则四边形4ED/为平行四边形，所以百5=玩7十二因为壬T=

，百号，所以用=：比\百百所以田=：而+，用=/++，故选A.

法二：前=6+田=而+；前=田+：(□□-□□)=|DD+1CD=^+^,故选A.

法三：由力=gm,得比一二=g(m—H)，所以比=而+?(m—H)故选A.

3B

答案A

I解题技法I

平面向量的线性运算的求解策略

考向2根据向量线性运算求参数

【例2】在一801］，延长8C至点M使得例7=2CM,连接AM，点N为AW上一点且而=g用，若而=2而计而苜，则计〃=()

A*氏；

JC—2!-1D-—-3

解析由题意，知而=:而=:(□□+□□)=|DD+1X；□□=•；□□+；(□□-□□)=-；□□+；□□,又用=久而十〃而，所以入=一!，〃

3333232626

=5则久+〃=?.

答案A

I解题技法I

与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量

等条件列出关于参数的方程（组）求得相关参数的值.

Rk训练

1.如图，AB是圆。的一条直径，C,。为半圆弧的两个三等分点，则，T=（）

A.□n-OTB.2W-2OT

C.TO-DnD.2OT-2DH

解析：D连接CO（图略），:C,。是半圆孤的三等分点，，CO〃A8,且48=2C。，因此==2方E=2（而一55）=2万方一2百可.

2.在△ABC中，A。为BC边上的中线，E为八。的中点，若寸二=，历+4而，则义一〃=（）

A.1B.：

4

=C2-DU---2

解析：C因为。为BC的中点，E为AZ）的中点，所以仃甘=寸寸一百二=寸甘一；仃仃="TO—+百E—：前，因为前=坨甘+

“□d,所以［=：,"=—则/+〃=g.

共线向量定理的应用

【例3】设两向量。与b不共线.

（1）若GT=a+6,而=2。+8乩nU=3（。一力）.求证：A,B,。三点共线:

（2）试确定实数幺使Aa+b和。+他共线.

解(1)证明：□□=2«+8Z>»DD=3(<?—b).

,元=0T+mn=2a+昉+3(«-^>=2«+8P+3«-3^=5(a+b)=5,，E共线.

又它们有公共点&.'.A,B.。三点共线.

(2)•.•加一》与a+妨共线，

，存在实数九使履+方=2(a+kh),即如+人=初+法〃，

s=(；Jl-l)b.

•:a,方是不共线的两个向性，

，攵-2=寐-1=0,1=0,.'.k=±1.

电变式

I.(变条件，变设问)若将本例(1)中“二=2a+8b”改为“仃7=。+血”，则用为何值时，A,B,。三点共线？

解：□□'=口匚'+□「'=(a-Vmb)+3(«—/>)=4a+(m-3)b,

若A,B,。三点共线，则存在实数九便77仃=比汇，

即44+(ZM-3)b=X(«+/?),

.♦J,偶得”?=7.

故当机=7时，A,B,。三点共线.

2.(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则北为何值？

解：因为履+〃与a+姑反向共线，

所以存在实数人使履+。=入(a+劭)(x<0),

所以｛==；,所以k=±L

又JVO,k=L所以k=-1.

故当太=一：时，两向量反向共线.

I解题技法I

共

线

实.

.Z存在

注al

若于W

共绘

向量

向r：证明

我

a与b共