高中数学必修22.3.1直线与平面垂直的判定

2.3直线、平面垂直的鉴定及其性质2.3.1直线与平面垂直的鉴定1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明拟定义中“任意”两字的重要性.2.掌握直线与平面垂直的鉴定定理,并能解决有关线面垂直的问题.3.理解直线和平面所成的角的含义,并懂得其求法.1231.直线与平面垂直

123名师点拨1.定义中的“任意一条直线”与“全部直线”是同义,与“无数条直线”不是同义.2.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊状况.3.由直线与平面垂直的定义,得如果一条直线垂直于一种平面,那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.123【做一做1】已知直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直解析:由于直线l⊥平面α,因此l与α相交,又由于m⊂α,因此l与m相交或异面.由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.答案:A1232.鉴定定理123【做一做2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥AC,求证:AC⊥平面BDD1B1.证明:由于四边形ABCD是正方形,因此BD⊥AC.由于BB1⊥AC,BD⊂平面BDD1B1,BB1⊂平面BDD1B1,BB1∩BD=B,因此AC⊥平面BDD1B1.1233.直线和平面所成的角(1)定义:一条直线和一种平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.因此,直线与平面所成的角α的范畴是0°≤α≤90°.123归纳总结斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的,因此,其求解方略也是将空间问题转化为平面问题.要注意,斜线与平面所成角的大小不受选择点的位置的限制;作出斜线的射影是求斜线和平面所成角的核心.123【做一做3】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角的度数是

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解析:由于B1B⊥平面ABCD,因此∠B1AB是AB1与平面ABCD所成的角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1是正方形,因此∠B1AB=45°.答案:45°121.理解直线与平面垂直的鉴定定理剖析:(1)在鉴定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是核心性词语,此处强调相交.(2)要判断一条已知直线和一种平面与否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线与否与已知直线有交点,这是无关紧要的.(3)鉴定定理是由线线垂直推导出线面垂直,其最后仍归结为证明线线垂直,即证明线与平面内的两条相交直线垂直.(4)鉴定线面垂直的方法有:①运用线面垂直的定义:一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则该直线垂直于这个平面;②运用线面垂直的鉴定定理.12知识拓展过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,过一点有且仅有一种平面与已知直线垂直.122.一条直线垂直于一种平面内的无数条直线,这条直线不一定垂直于这个平面剖析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在棱AB上任取一点E,过点E作EF∥AD交CD于点F,则这样的直线能够作无数条.很明显直线AB垂直于平面AC内的无数条直线,而直线AB⊂平面AC;直线A1B1也垂直于平面AC内的无数条直线,而直线A1B1∥平面AC.其因素是,即使这两条直线都垂直于平面AC内的无数条直线,但是这无数条直线是互相平行的,没有两条相交的直线,因此不满足直线和平面垂直的鉴定定理的条件“两条相交直线”.因此,一条直线垂直于一种平面内的无数条直线,这条直线不一定垂直于这个平面.题型一题型二题型三题型四【例1】如图,已知PA⊥BC,AB是☉O的直径,C是☉O上不同于A,B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证:AE⊥平面PBC.证明:由于AB是☉O的直径,因此BC⊥AC.由于PA⊥BC,PA∩AC=A,因此BC⊥平面PAC.由于AE⊂平面PAC,因此BC⊥AE.由于PC⊥AE,且PC∩BC=C,因此AE⊥平面PBC.题型一题型二题型三题型四反思运用直线与平面垂直的鉴定定理鉴定直线与平面垂直的环节是:(1)在这个平面内找出两条直线,使它和已知直线垂直;(2)拟定这个平面内的这两条直线是相交直线;(3)根据鉴定定理得出结论.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.证明:(1)由于SA=SC,D是AC的中点,因此SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,因此△ADS≌△BDS.因此SD⊥BD.又AC∩BD=D,因此SD⊥平面ABC.(2)由于AB=BC,D为AC的中点,因此BD⊥AC,由(1)知SD⊥BD.又由于SD∩AC=D,因此BD⊥平面SAC.题型一题型二题型三题型四【例2】

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=5,AB=4,AD=3.求直线PC与平面ABCD所成的角的大小.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求斜线与平面所成的角的环节:(1)作图:作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角),作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足(有时能够是两垂足)作直线,注意斜线上点的选用以及垂足的位置要与问题中的已知量有关,才干便于计算.(2)证明:证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算:普通在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

如图,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,且PA=AD,E,F分别是线段PA,CD的中点.求EF和平面ABCD所成的角的正切值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四如图,已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面AC,连接SB,SC,SD,再过点A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F,连接AF.求证:AF⊥SC.题型一题型二题型三题型四证明:由于SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,因此SA⊥BC.由于四边形ABCD为矩形,因此AB⊥BC.又SA∩AB=A,因此BC⊥平面SAB.由于AE⊂平面SAB,因此BC⊥AE.由于SB⊥AE,且SB∩BC=B,因此AE⊥平面SBC.由于SC⊂平面SBC,因此AE⊥SC.由于EF⊥SC,且AE∩EF=E,因此SC⊥平面AEF.由于AF⊂平面AEF,因此AF⊥SC.题型一题型二题型三题型四反思证明两条直线垂直,常转化为证明直线与平面垂直,即把其中一条直线放在一种平面内,证明另一条直线垂直于该平面.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.证明:由于AD⊥平面ABE,AD∥BC,因此BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,因此AE⊥BC.由于BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,因此AE⊥BF.由于BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,因此AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,因此AE⊥BE.题型一题型二题型三题型四易错点:证明线面垂直不严密而致错【例4】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,D是AB的中点,连接CD.求证:CD⊥平面ABB1A1.错解:证明:由于AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,因此CD⊥AA1.又BB1∥AA1,因此CD⊥BB1.又AA1⊂平面ABB1A1,BB1⊂平面ABB1A1,因此CD⊥平面ABB1A1.题型一题型二题型三题型四错因分析:错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线,不是相交直线,故不满足直线与平面垂直的鉴定定理的条件.正解: