湖北省武汉市五校联合体2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷答案

第=page1212页第=page1111页2024-2025学年度下学期高二年级期末考试高二数学试题答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案CDCBADCB二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）题号91011答案ABDBCACD三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．3656413.2214.727（2分）1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列an的公差为-3，则a11-aA．3 B．-9 C．-27 D．30【答案】C【分析】利用等差数列的定义求解即可.【详解】因为等差数列an的公差为d=-3，所以a故选：C.2．函数y=fx的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（A．3是fx的极小值B．fx的极值点有3C．fx在区间上单调递减D．曲线y=fx在x=1【答案】D【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项.【详解】A选项：由导函数图像可知3是函数fx的极小值点，fx的极小值为f3B选项：fx的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，BC选项：由导函数图像可知，当x∈-∞,-3时，f'x>0，函数单调递增，当xD选项：由图像可知f'1<0，即函数fx在故选：D.3．近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示．日期编号x12345销量y/部8a12b23y与x有较强的线性相关关系，且线性回归方程为y=3.5x+4.7，则a+b等于（A．28 B．30 C．33 D．35【答案】C【分析】求出x、y，根据回归直线方程必过样本中心点x,y【详解】依题意x=15又回归直线方程y=3.5x+4.7过点x,y，所以43+a+b故选：C4．如果随机变量X~N6,4，则PX≤2约等于（（注：Pμ-2δ≤X≤μ+2δA．0.210B．0.0228C．0.0456D．0.0215【答案】B【分析】由正态分布对称性结合3δ原则直接计算即可求解.【详解】由题得PX≤2故选：B5．已知函数fx的导函数为f'x，且fx=2A．-32 B．12 C．32【答案】A【分析】对等式两边求导，求导的时候注意f'π3是个常数，求导之后令x=π3【详解】因为fx=2xf'π则f'π3=2f'π3故选：A6．某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天不值班，B不在第五天不值班，则值班安排共有（）A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种【答案】D【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.【详解】若A、B不值班，值班安排有A5若A、B只有一人不值班，值班安排有C2若A、B都值班，值班安排有C3所以值班安排共有1860种.故选：D7．在1+x3+1+x4+1+xA．1139 B．1140 C．1329 D．1330【答案】C【详解】因为1+xn(n≥2,n∈N*)的展开通项为Tk+1=Cnk∙xk(0≤k≤n,k∈N,n≥2,n∈N*)，所以1+x3+1+x4+1+x5+故选：C.8．关于x的不等式e2a+x∙lnx<x2+2ax对∀xϵ(0,1)恒成立，实数A．[-12,0] B．[-12,+∞) C【答案】B【分析】利用同构得到lnxelnx<2a+xe2a+x，当flnx<f(2a+x)在0,1上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到2a>lnx-x，构造g(x)=【详解】由e2a+x∙lnx<x2+2ax当a≥0时，lnxelnx<0,当a<0时，令f(x)=xex，则flnx由f'(x)=1-xex，在x∈(-∞,1)又时，lnx∈-∞,0，2a+x∈(-∞,1)，所以只需lnx<2a+x在0,1即2a>lnx令g(x)=lnx-x，则，即在0,1其中g1故2a≥g(1)=-1，所以此时有-1≤2a<0．综上，a≥-1故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列an，下列命题正确的有（）A．若an为正项等比数列，Sn为其前n项和，则S3，S6-B．若an为正项等比数列，则log2aC．an满足：a1D．已知Tn为an的前n项积，若1【答案】ABD【分析】分q=1以及q≠1，结合等比数列的求和公式，即可判断A，由等比数列的定义判断B，根据特例判断C，根据等差数列的定义及通项公式判断D.【详解】对于A，当q=1时，S3显然S3，S6-S3，S9-当q≠1时，S3S9所以S6-S3S3=q3，S9-S6对于B，设等比数列an公比为q(q>0)，则则logan+1-logan=log对于C，依题意，，它不满足an=3n-1对于D，1an+2Tn=1，当n=1当n≥2时，an=TnT数列Tn是首项为3，公差为2所以Tn=3+2n-1=2n+1，且故选：ABD10．下列命题正确的是（）A．若三个事件A,B,C两两独立，则满足PB．若0<PC<1，0<PD<1，且C．若事件满足PA=0.5，PB=0.6，P(A∪B)=0.5D．给定事件A,B,C，且PC>0，则【答案】BC【分析】根据利用独立事件的概率性质可判断ABD的正误，根据独立事件的性质及概率公式计算后可判断C的正误.【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件A:第一个骰子的点数为奇数，事件B:第二个骰子点数为奇数，事件C:两个骰子的点数之和为奇数，于是有PA=PBPABC=0，可以看出事件A,B,C所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，A错误对于B，PD=1-PDC=PDC=对于C，由PA=0.5，PB=0.6，则PP(A∪B)=PA+PB-PABPAB=PB-PAB对于D，当A、B互斥时，PA当A、B不互斥时，PA∪故选：BC.11．三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0，定义：f'x是y=fx的导数，f″x是函数f'x的导数，若方程f″x=0有实数解x0，则称x0A．当a=2时，y=fx拐点处的切线方程为B．当a=32时，y=fx在区间m,m+5内存在最小值，则C．若经过点1,1可以向曲线y=fx作三条切线，则a的取值范围是D．对任意实数x0，直线y=-2a⋅【答案】ACD【解析】对于A：当a=2时，fx=x3-4x+2令f″x=0又f0=2，f'0=-4，所以函数y=fx拐点处的切线方程为对于B：当a=32时fx所以当-1<x<1时f'x<0，当x<-1或x>1所以fx在-1,1上单调递减，在-∞,-1，1,+∞所以fx在x=1处取得极小值f1=0要使函数y=fx在区间m,m+5所以-2≤m<1m+5>1，解得-2≤m<1即m的取值范围是[-2,1，故B对于C：因为fx=x设切点为t,t3-2at+2所以切线方程为y-t又切线过点1,1，所以1-t整理得2a=-2t令mt=-2t所以当0<t<1时m't>0，当或t>1时所以mt在0,1上单调递增，在-∞,0，1,+∞所以mt在处取得极小值，在t=1处取得极大值，又m0=1，因为经过点1,1可以向曲线y=fx作三条切线，即y=2a与m所以1<2a<2，即a的取值范围是12,1，故C对于D：由y=-2a⋅x-即x3显然y=x3在定义域所以x=x0，即对任意实数x0，直线y=-2a⋅x-故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知(12x-1)6【答案】365【分析】赋值得到126=a6【详解】(2x-1)令x=1得(12令x=-1得(-12式子①+②2故答案为：36513．记数列an的前n项和为Sn，且an=【答案】2【分析】由题可得数列an的周期为8，可计算得解【详解】∵a所以数列an是周期为8的周期数列，2025=8×253+1，故答案为：214．A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品。现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则，的数学期望.（用表示）【答案】72713n+1……………..第一个空【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可.【详解】经过第一次操作得：p1=1经过第二次操作得：；q2=根据全概率公式可知：，qn+1两式相加可得2p则：n≥2，n∈N*时，所以，2p因为2p1+q1-1=1所以2pn+所以EX故答案为：①p2=727【点睛】方法点睛：由全概率公式来得到递推关系，再利用数列思想求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下．数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀552075物理成绩不优秀304575合计8565150(1)依据2×2列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？(2)从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：χ2=n参考数据：P(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)能；(2)分布列见解析，数学期望为45【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解;（2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望.【详解】（1）由题意可知，由查表可得Pχ2>10.828所以能有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关．…………….5分（2）由于＂物理成绩不优秀＂的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为2:3，所以采用分层抽样的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人，可知的取值范围是0,1,2，…………….8分PX=0所以的分布列为X012P12181从而EX=0×1235+1×16．（15分）已知函数fx(1)当m=1时，求函数fx在x=1(2)讨论函数fx单调性【答案】(1)2(2)答案见解析【分析】（1）先求fx（2）对m分类讨论，确定导数符号，得出单调性；【详解】（1）当m=1时，fx所以f'x=2x-1x+1所以所求切线的斜率为f'1=2所以切线方程为y-2=2x-1，即2x-y=0；…………….6（2）fx=mx2+2x所以f'x=2mx-1x+1x，所以当m≤0时，有f'x<0当m>0时，由f'x<0解得：x∈0,1由f'x>0解得：x∈12m,+∞，fx在1综上，m≤0时，fx在0,+∞m>0时，fx在0,12m上单调递减，在12m,+∞上单调递增17．（15分）已知Sn是数列an的前n项和，数列3n-1Sn是首项为3(1)求数列an(2)已知cn=-3nan，求数列【答案】(1)a(2)T【分析】（1）利用an和Sn的关系可求数列（2）利用裂项相消法可求Tn【详解】（1）由题可得3n-1Sn=3当n=1时，a1=S1=当n≥2时，an因为a1=23不满足上式，∴a（2）由（1）知，cn当n=1时，1c当n≥2时，1cncn+1=1所以T=-=-=-12又T1=-12满足上式，∴Tn=-1218．（17分）甲、乙两校进行兵乓球比赛，比赛规则为：=1\*GB3①共进行奇数局比赛，且没有平局；=2\*GB3②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是p(0<p<1)，并且各局比赛之间的结果互不影响．(1)p=12时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求(2)p=34时，若两人共进行2n+1（n∈N*且n≥2）局比赛．记事件Ak表示“在前局比赛中甲赢了k(k=0,1,2,⋯,2n-1)局”．事件B表示P(B∣(3)若两人共进行了2n-1(n∈N*)局比赛，甲获胜的概率记为．证明：12<p<1【答案】(1)PB(2)P(B|k=0(3)证明见解析；【分析】（1）分析条件概率的意义，计算结果.（2）根据给定的信息直接写出结果.（3）利用由全概率公式求出Pn+1及Pn+2-【详解】（1）PBA表示在前3局比赛中甲胜1局的条件下甲最终胜利的概率，已知共5局比赛，此种情形下，甲要取得最终胜利，必须保证最后2局均胜利，所以PBA=（2）当p=34时，共进行2n+1（n∈N前2n-1局，甲胜的局数不足n-1局，即使再胜2局，甲也不能获胜，因此前2n-1局，甲已胜n-1局，最后2局需要全胜，甲才能获胜，因此前2n-1局，甲已胜n局，最后2局甲至少胜1局，就能获胜，因此前2n-1局，甲已胜至少n+1局，甲必胜，因此P(B|k=n+12n-1A（3）由全概率公式得，P===Pn+1+C2n+1则Pn+2-P当12<p<1时，Pn+2-P=(2n+2)因此Pn+3-Pn+2<Pn+2-P19．（17分）已知函数f(x)=x-alnx-1x(1)当a=2时，求函数f(x)在区间[1,3]上的值域(2)若a>0，试判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由；(3)若函数f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3（x【答案】(1)[0，83-2ln(2)答案见解析(3)a>2【分析】（1）利用函数导函数求出单调性，进一步求出值域.（2）求出函数导函数，讨论a在不同取值范围内的单调性.（3）根据题意，当a≤2时，不符题意，故只需讨论a>2时fx的取值情