2026高考数学一轮复习解析几何中的定点问题

解析几何中的定点问题在解析几何中，有些含有参数的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，这类问题称为“定点问题”.定点问题是高考中考查解析几何的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定.直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出相应的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解，即可得到定点.定点问题常见类型：①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点.

直线过定点题型一

(2)不过点P的直线y＝kx＋t与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y＝kx＋t过定点，并求该定点的坐标.

即3≠4k＋t，t－3＋4k≠0，所以t－3－2k＝0，即t＝2k＋3，所以直线y＝kx＋t＝kx＋2k＋3，即y－3＝k(x＋2)，所以该直线过定点，且定点为(－2，3).解析几何中定点问题的解题策略(1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为①设直线方程为y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值；③将②的结果代入y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，得到定点坐标.思维升华(2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)；②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)；③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法)思维升华

(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过点D)，且AD⊥BD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标.

圆过定点问题题型二

圆过定点问题的解题策略(1)利用特殊情况寻找特殊点.(2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.思维升华跟踪训练2

(2025·湖北新高考协作体联考)已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；

(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.

课时精练答案12

1.答案12

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2.答案12

2.答案12

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2.1.已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；12答案将点(2，－1)代入抛物线方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，故抛物线C的标准方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y＝－1分别交直线OM，ON于A，B两点.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.12答案12答案

12答案

12答案则圆的方程为(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0，1).12答案