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文档简介
第五章
留数及其应用第五章留数及其应用1、孤立奇点2、留数3、留数在计算定积分中的应用§1孤立奇点1、孤立奇点的定义定义1
.
)
(
,
0
,
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(
0
0
0
0
的孤立奇点
为
则称
内解析
的某个去心邻域
但在
处不解析
在
若
z
f
z
z
z
z
z
z
f
d
<
-
<
例如孤立奇点奇点未必是孤立的.
若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.2、孤立奇点的分类注2.1可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即特点?“可去”一词的解释?和函数（从新定义）因为2.2极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即特点?2.3本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,
特点?3、函数在孤立奇点的性质若z0为
f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：性质1（可去奇点的判定定理）证：只须证显然由极限定义即可其中由于性质2（m级极点的特征）若为f(z)
的孤立奇点，则下列条件等价：证：去心邻域则例如：为f(z)的一个4级极点，为f(z)的单极点.注意：在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论.例如
利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的单极点，可去奇点，二级极点.性质3
若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是
在判断函数的极点时，请比较性质2和性质3.4、零点与极点的关系性质4证明:先证明必要性.必要性证毕.充分性请自己完成.例如：结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.性质5分析例如，15性质6
（极点的运算性质）性质7
z0为
f(z)的本性奇点注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似的罗必塔法则.由性质1和性质3，得性质8
(Weierstrass)定理例如：本性奇点答：解：又记5、函数在无穷远点的性态23
定义4洛朗展式判别法则25
极限判别法例如：
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