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第四章解析函数的幂级数表示例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而所以即内可以展开成级数.§4洛朗(Laurent)级数也可以展开成级数：由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即4

1、双边幂级数---含有正负幂项的级数定义

具有如下形式的级数称为双边幂级数，正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：同时收敛f2(z)f(z)解析部分非负幂项部分f1(z)主要部分负幂项部分收敛收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1aRrH结论:

.

常见的特殊圆环域:.

.

.

8

现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出的问题.关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面要讨论的洛朗定理.定理

C为圆环域内绕

的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.2.函数展开成双边幂级数10

说明:的推广，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形；

1)洛朗(Laurent)级数是泰勒级数3)一个函数可以在几个圆环内解析，在不同的圆环内洛朗展开式是不同的，但在同一圆环域内，不论用何种方法展开，所得的洛朗展开式唯一。即展开式唯一.常用方法

:1.直接法

2.间接法

1.直接展开法

利用定理公式计算系数然后写出3.函数的洛朗展开2.间接展开法用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开

.缺点麻烦优点简捷例1解：例2解：例2内是处处解析的,试把

f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解

o

x

y

116

12o

x

y

由且仍有2o

x

y

由此时仍有19

解

(1)在(最大的)去心邻域例3yxo1220

(2)在(最大的)去心邻域xo12练习：y21

例4：计算积分解：练习：计算积分提示：22

洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题

洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;思考题答案是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域23

Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环，在环域上展成级数。Laurent级数与Taylor级数的不同点：Taylor级数先展开求R

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