复变函数与积分变换 课件 第四章解析函数的幂级数表示1

第四章解析函数的级数表示2

4.1复数项级数第四章解析函数的幂级数表示

4.2复变函数项级数

4.3泰勒级数

4.4洛朗级数3

1、

复数列的极限§4.1复数项级数复数数列一列无穷多个有序的复数4

定义4.1

不收敛的数列称为发散数列.5

证明7

该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商

仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.8

2、复数项级数级数前n项的和

---级数的部分和

---无穷级数

定义4.2

设复数列9

说明:

与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:10

根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法.事实上，由于判断级数是否收敛，实际上比较困难.定理4.211

解所以原级数发散.课堂练习所以原级数收敛.12

常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；4）交错级数的莱布尼兹判别法.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.13

证明14

定义4.4思考15

判断复数项级数收敛的方法：(5)定义及其他方法16

解例217

18

§4.2复变函数项级数1、复变函数项级数定义1

设复变函数列：-----称为复变函数项级数；

级数前n项的和

-----级数的部分和；

20

21

2、幂级数

的复函数项级数称为幂级数,其中

c0,c1,c2,…,a都是复常数.

幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.形如若令z←z-a,则以上幂级数还可以写成如下形式22

定理4.5（阿贝尔定理)：z0收敛点0.xyz0发散点0.yx23

证明24

(2)用反证法，对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.25

定理4.5（阿贝尔定理)：(1)对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.收敛半径为

例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.3、幂级数的收敛圆与收敛半径(2)除

z=0外都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.收敛半径为零。例如,级数故级数发散.通项不趋于零,28

显然，

<

.

否则，级数将在

处发散.29

使得该级数在圆内绝对收敛，而在圆的外部发散。..收敛圆收敛半径收敛圆周幂级数的收敛范围是以a点为中心的圆域.30

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.31

如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:xyO32

xyO33

0((达朗贝尔）

柯西定理4.7

合于的系数如果幂级数)()()(比值法)(根值法)34

例1解所以

35

思考题:提示:本题不能直接利用定理4.7（为什么？）.综上36

例2求下列幂级数的收敛半径：

解

(1)也可以利用绝对收敛比值判别法的思想，直接计算。37

38

4、幂级数的性质

---幂级数的逐项求导运算39

---幂级数的逐项积分运算

实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数.注：定理4.8为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便.40

5、幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算.

---幂级数的加、减运算则41

---幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数.）对角线法42

对角线法则43

在函数展成幂级数中很有用注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立.但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径.

---幂级数的代换(复合)运算44

例3解：注意到所以代换展开45

还原46

本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的收敛半径4、幂级数的性质47

非凡的数学家——阿贝尔Abel,NielsHenrik,1802-1829挪威数学家1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题1825年建议克莱尔创办了《纯粹与应用数学杂志》1823年，发表了关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的论文。48

非凡的数学家——阿贝尔阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。 阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。

50

1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。

1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来51得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待...。”

可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（ChristineKemp）欢度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度52

当过代课教师。阿贝尔和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候，阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学53

院表示抗议：“...这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然向‘老爷们’的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？...”。而由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所