湖南省长沙市岳麓实验中学2024~2025学年高一下册6月月考数学试题（含部分解析）

/高一数学试卷一、单选题1．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=b1+2cosA，则aA．1,3 B．2,3 C．22．已知集合A⊆U,B⊆U，且A∩∁A．A⊇B B．A∩B=∅ C．B∩∁UA=∅3．已知集合A=x∈N|x+12x−7A．−1,0,1,0 B．−1,0 C．0,1,2 D．−1,0,1,24．“Δ=b2−4ac<0”是“关于x的一元二次不等式aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数f(x)=|lnx|,x1、A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知定义在R上的函数fx满足fx+2=f−x=−fx，当0<x≤1时，A．−52+4k,−32+4k，C．−12+4k,12+4k，7．已知集合A={x∈N|x<4}，B={x|x=n2−1,n∈A}A．2个 B．3个 C．4个 D．8个8．已知λ>0，若关于x的方程ex−1x−λx+λA．(−∞,1] B．[1,+∞) C．二、多选题9．已知复数z=cosθ+isinA．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B．z可能为实数C．|z|=1D．1z的虚部为10．已知实数m，n满足0<n<m<1，则下列结论正确的是（）A．nm<n+1m+1 B．m+1m11．如图，设E，F分别是正方体ABCD−A1B1CA．三棱锥D1B．异面直线D1B1C．直线D1B1D．二面角D1三、填空题12．函数f(x)=x−1+lg13．已知△ABC和点G满足GA+GB+GC=0，若存在实数m、n14．ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinC=a2+b2四、解答题15．已知a=4，b=3，（1）求a与b的夹角；（2）求3a16．计算下列各式：（1）(（2）lo17．函数y=Asin（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移π3个单位，得到y=g(x)的图象，求函数y=f(x)+g(x)在x∈18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且cosC=（1）求角B的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．19．已知实数a，b，c满足a>b>c；（1）求证：1a−b（2）将上述不等式加以推广，把1c−a的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得1a−b+（3）从另一角度推广，自然数m，n，p满足什么条件时，不等式ma−b+n

答案解析部分1．【答案】B【解析】解：c=b1+2cosA，由正弦定理可得sinC=sinB则sinAcosB+cosAsinB=sinB+2cosAsinB，即sinA−B即A−B=B，即A=2B，若A−B+B=π，则A=π，不符合题意舍去；则ab因为A+B+C=3B+C=π，C∈0,π2又因为A=2B<π2，所以π6则ab的取值范围是故答案为：B.2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】B【解析】解：充分性：若a<0，Δ=b2−4ac<0，一元二次不等式a必要性：若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则因此，“b2−4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0故选：B.5．【答案】C【解析】解：由题意，不妨设0<x当fx1=fx2时，ln当0<x<1时，f(x)=−lnx，f'当x>1时，f(x)=lnx，f'则f'当f'x1f'x2所以“fx1=fx2”故答案为：C.6．【答案】D7．【答案】C【解析】因为A={x∈N|x<4}={0,1,所以B={−1,0,3,8}，所以故选：C8．【答案】B【解析】解：由题意得，ex−1令t=x−ln(λx)，问题转化为设ℎ(t)=et−1当t∈(−∞,1)时，ℎ'(t)<0，函数ℎ(t)单调递减；

当t∈(1,又由ℎ(1)=0，所以ℎ(t)存在唯一零点t=1，即1=x−ln(λx)即1+lnλ=x−lnx，令当x∈(0,1)时，p'(x)<0；当所以函数p(x)在(0,1)上单调递减，在所以1+lnλ≥p(1)=1，解得故实数λ的取值范围为[1,故答案为：B.9．【答案】B,C【解析】对于AB选项，当−π2<θ<0时，cosθ>0，sinθ<0，此时复数当θ=0时，z=−1∈R；当0<θ<π2时，cosθ>0，sinθ>0，此时复数A选项错误，B选项正确；对于C选项，|z|=cos2θ+sin对于D选项，1z=所以，复数1z的虚部为−sinθ，故答案为：BC.10．【答案】A,C【解析】由0<n<m<1知，n−m<0，故nm−n+1m+1由0<n<m<1得m−n>0，1−1mn<0，所以m+1m因为指数函数y=mx为单调减函数，故由幂函数y=xm为单调增函数知mm>nm根据，0<n<m<1对数函数y=log故logmn>故答案为：AC11．【答案】A,C,D【解析】如图所示，对A，三棱锥D1−B1EF的体积为对B，EF//D1C1，∠B1D1C1或其补角是异面直线D1B对C，取A1D的中点O，连结D1O，B1O，则∠D1B1O为直线D1B1与平面所以直线D1B1与平面B1EF对D，A1D，D1D均与交线EF垂直，所以二面角D1−EF−，D符合题意．故答案为：ACD

12．【答案】[1，+∞)【解析】由题意可知，x−1≥01+2x>0，解得x≥1，所以f(x)的定义域为[1，故答案为：[1，+∞)13．【答案】1【解析】因为GA+GB所以−AG即−3AG所以13则m=n=13，所以故答案为：1。14．【答案】1【解析】2sinC=a2+所以sinC⩾1，当且仅当a+b=1a+b，即a+b=1所以sinC=1，即C=π2，a+b=1所以1=(a+b)2=a2+所以ab⩽14则ΔABC面积S=12ab⩽1故答案为：115．【答案】（1）解：因为a=4，b=3，a⋅b=6，所以cosa,b=a⋅ba（2）解：3a【解析】（1）代入向量的夹角公式求解即可；（2）根据向量数量积的运算律和夹角公式求解即可.（1）cosa,b所以a.b=π3，所以a（2）3a16．【答案】（1）解：原式=(==4（2）解：原式==3+1−2+1=3.【解析】（1）利用指数幂的运算法则，从而化简求值。

（2）利用换底公式结合对数的运算法则，进而化简求值。17．【答案】（1）解：观察图象，得A=2，函数f(x)的周期T=11π12由f(−π12)=2sin(−π所以函数y=f(x)的解析式是f(（2）解：由（1）得g(则y=f=3sin2x−cos2x=2有−12<所以所求值域为(−1【解析】（1）根据函数图象求出振幅A，周期T，然后利用公式T=2πω，解出ω，再在图像上找一点坐标带入函数解析式即可求解；

（2）根据函数平移的规则左加右减，得出gx，即可求出18．【答案】（1）解：由余弦定理可得cosC=a2+4−c又由cosB=因为B∈(0,π)，所以（2）解：由（1）可知：bsinB=23故ac=16=因为△ABC是锐角三角形，则0<A<π20<C=可得2A−π6∈(π6,5π又由△ABC的面积S=12ac【解析】（1）利用余弦定理和三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.

（2）由（1）中角B的值和正弦定理，从而得出a=43sinA，c=43sinC，再结合两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式，则将ac转化为正弦型函数，再由锐角三角形中角A、19．【答案】（1）证明：因为a>b>c，要证1a−b+1b−c+1只要证(1a−b而(1a−b+1b−c)[(a−b)+(b−c)]=2+a−bb−c+b−ca−b≥2+2a−bb−c所以原不等式成立（2）解：由（1）p<(1a−b+1b−c)[(a−b)+(b−c)]恒成立，由（1）(1a−b+1b−c)[(a−b)+(b−c)]最小值为4，所以（3）解：类似（1）不等式ma−b+nb−c+pc−a而(ma−b+nb−c)[(a−b)+(b−c)]=m+n+m(