高中数学参数方程大题(带答案)

高中数学参数方程大题(带答案)

参数方程极坐标系

解答题

1、已知曲线C:+=l,直线1:(t为参数)

(I)写出曲线C得参数方程，直线1得普通方程、

(H)过曲线C上任意一点P作与1夹角为30。得直线，交［于点A,求IPA|得最大值与最小值、

考点：参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线得关系、

专题：坐标系与参数方程、

分析：(I)联想三角函数得平方关系可取x=2cos。、y=3sin。得曲线C得参数方程,直接消掉参数t得直线1得普通

方程；

(II)设曲线C上任意一点P(2cose,3sin。)、由点到直线得距离公式得到P到直线1得距离，除以

sin30。进一步得到IPA|,化积后由三角函数得范围求得|PA|得最大值与最小值、

解答：解:(I)对于曲线C:+=l,可令x=2cos0、y=3sin0,

故曲线C得参数方程为,(8为参数)。

对于直线1:,

由①得:t=x-2,代入②并整理得：2x+y-6=0;

(II)设曲线C上任意一点P(2cos8,3sin8)、

P到直线I得距离为。

则，其中a为锐角、

当sin(0+a尸・1时，IPA|取得最大值，最大值为。

当sin(0+a)=l时,|PA|取得最小值，最小值为。

点评：本题考查普通方程与参数方程得互化,训练了点到直线得距囹公式，体现了数学转化思想方法，就是中档题、

2。已知极坐标系得极点在直角坐标系得原点处,极轴与x轴得正半轴重合，直线1得极坐标方程为:，曲线C得参数方程

为：(a为参数)、

⑴写出宜线1得宜角坐标方程；

(H)求曲线C上得点到直线I得距离得最大值、

考点参数方程化成普通方程、

专题坐标系与参数方程、

分析(1)首先，将直线得极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

解答(2)首先，化简曲线C得参数方程，然后，根据直线与圆得位置关系进行转化求解。

解:(1)•・•直线1得极坐标方程为:，

p(sinO-cosO)=,

x-y+1=0、

(2)根据曲线C得参数方程为:(。为参数)。

得

(x-2)2+y2=4,

它表示一个以(2,())为圆心，以2为半径得圆，

圆心到直线得距离为：

d=,

，曲线C上得点到直线1得距离得最大值=。

点评：本题重点考查了直线得极坐标方程、曲线得参数方程、及其之间得互化等知识,属于中档题、

3。已知曲线Cl:(t为参数),C2:(。为参数)、

(1)化。£2得方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若CL上得点P对应得参数为t=,Q为C2上得动点，求PQ中点M到直线C3为参数)距离得最小值、

考点圆得参数方程;点到直线得距离公式;直线得参数方程、

专题

计算题;压轴题;转化思想、

分析

⑴分别消去两曲线参数方程中得参数得到两曲线得普通方程却可得到曲线C1表示一个圆;曲线C2表示一个

椭圆;

(2)把t得值代入曲线C1得参数方程得点P得坐标，然后把直线得参数方程化为普通方程，根据曲线C2得参数方

程设出Q得坐标，利用中点坐标公式表示出M得坐标，利用点到直线得距离公式表示出M到已知直线得距离，利

用两角差得正弦函数公式化简后，利用正弦函数得值域即可得到距离得最小值。

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解答：解：(1)把曲线Cl:(t为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y・3)2=1,

所以此曲线表示得曲线为圆心(・4,3),半径1得圆；

把C2:(。为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述得曲线为中心就是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为

8,短半轴为3得椭圆；

(2)把t=代入到曲线C1得参数方程得:P(-4,4),

把直线C3：(t为参数)化为普通方程得:x-2y・7=0,

设Q得坐标为Q(8cos9,3sin9),故M(-2+4cos0,2+sinO)

所以M到直线得距离d=,(其中sina=,cosa=)

从而当cos0=,sin8=-时,d取得最小值、

点评：此题考查学生理解并运用直线与圆得参数方程解决数学问题,灵活运用点到直线得距离公式及中点坐标公式化

简求值，就是一道综合题。

4、在直角坐标系xOy中，以O为极点,x轴正半轴为极轴建'、£直角坐标系，圆C得极坐标方程为，直线1得参数方程为(I

为参数)，直线1与圆C交于A,B两点.P就是圆C上不同于A.B得任意一点。

(I)求圆心得极坐标；

面积得最大值、

考点：参数方程化成普通方程;简单曲线得极坐标方程、

专题：坐标系与参数方程、

分析：(I)由圆C得极坐标方程为，化为p2=，把代入即可得出、

(H)把直线得参数方程化为普通方程,利用点到直线得距离公式可得圆心到直线得距离d,再利用弦长公式可

得IAB|=2,利用三角形得面积计算公式即可得出。

解答：解：(I)由圆C得极坐标方程为，化为p2=,

把代入可得:圆C得普通方程为x2+y2・2x+2y=0,即(x-1)2十(y+1)2—2、

二圆心坐标为(1「1),

:•圆心极坐标为；

(II)由直线1得参数方程(t为参数)，把t=x代入y=-l+2t可得直线1得普通方程:，

圆心到直线1得距离，

|AB|=2==,

点P直线AB距离得最大值为，

点评：本题考查了把直线得参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线得距离公式、弦长公式、

三角形得面积计算公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题、

5。在平面直角坐标系X。y中,椭圆得参数方程为为参数)、以。为极点一轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线得极坐

标方程为、求椭圆上点到直线距离得最大值与最小值、

考点：椭圆得参数方程;椭圆得应用、

专题：计算题;压轴题、

分析：由题意椭圆得参数方程为为参数)，直线得极坐标方程为、将椭圆与直线先化为一般方程坐标'然后再计算椭圆

上点到直线距离得最大值与最小值。

解答：解:将化为普通方程为(4分)

二l.cose_.sine_3粕IJ^cos(8+?)一崎|

点到直线得距离d=2=2(6分)

所以椭圆上点到直线距离得最大值为，最小值为。(10分)

点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程得区别与联系，两者要会互相转化，根据实际情况优择不同得方程进

行求解，这也就是每年高考必考得热点问题、

6。在直角坐标系xoy中，直线I得参数方程为(t为参数)，若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C得极

坐标方程为P=Cos(0+)、

(1)求直线I被曲线C所截得得弦长；

(2)若M(x,g)就是曲线C上得动点，求x得最大值、

考点：参数方程化成普通方程、

专题：计算题;直线与圆;坐标系与参数方程、

分析：⑴将曲线C化为普通方程，将直线得参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足得勾股定理，即可求弦

长、

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(2)运用圆得参数方程，设出M,再由两角与得正弦公式化简，运用正弦函数得值域即可得到最大值、

解答：解:(1)直线I得参数方程为(t为参数)，消去t,

可得,3x+4y+1=0;

由于p=cos(0+)=(),

即有p2=pcos0-psin。,则有x2+y2-x+y=0，其圆心为(，-)，半径为r=,

圆心到直线得距离d==,

改弦长为2=2=;

(2)可设圆得参数方程为:(8为参数)，

则设M(,),

则x+y=sin(),

由于R,则x+y得最大值为1。

点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程,考查参数得几何意义及运用，考查学生得计算

能力,属于中档题、

7、选修4-4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴得非负半轴为极轴建立极坐标系,P点得极坐标为，曲线C得极坐标方程为、

(I)写出点P得直角坐标及曲线C得普通方程；

(^)若Q为C上得动点，求PQ中点M到直线(:(t为参数)距离得最小值。

考参数方程化成普通方程;简单曲线得极坐标方程、

点

专

坐标系与参数方程。

题

分

(1)和用x=pcosO,y=psin。即可得出；

析

(2)利用中点坐标公式、点到直线得距离公式及三角函数得单调性即可得出,

解

答解(1)・・・P点得极坐标为，

=3,=、

•••点P得直角坐标

把p2=x2+y2,y=psin9代入可得，即

・•・曲线C得直角坐标方程为、

(2)曲线C得参数方程为(9为参数)，直线1得普通方程为x-2y-7=0

设，则线段PQ得中点、

那么点M到直线1得距离

|-^+cos8-2sin8-7||cos9-2sin8-弓|Jgsin(8-(p)+年

d=R=V5=75.

・••点M到直线1得最小距离为、

本题考查了极坐标与直角坐标得互化、中点坐标公式、点到直线得距离公式、两角与差得正弦公式、三角函数得

单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力,属于中档题、

在直角坐标系XOy中，圆C得参数方程3为参数)。以0为极点,X轴得非负半轴为极轴建立极坐标系。

)求圆C得极坐标方程；

(II)直线I得极坐标方程就是p(s/认8+)=：3,射线OM:8=与圆C得交点为0尸,与直线I得交点为Q，求线段PQ得长、

考点：简单曲线得极坐标方程;直线与圆得位置关系、

专题：直线与圆、

分析：⑴圆C得参数方程(q＞为参数)、消去参数可得:(x-1)2+y2=1、把x=pcosO,y=psin。代入化简即可得到此圆

得极坐标方程、

(H)由直线1得极坐标方程就是p(sin9+)=3,射线OM:0=、可得普通方程:直线1,射线0M、分别与圆得方程联立

解得交点，再利用两点间得距离公式即可得出、

解答：解：(1)圆C得参数方程⑷为参数)、消去参数可得:(x・l)2+y2=l、

把x=pcosG,y=psinO代入化简得:p=2cos。,即为此圆得极坐标方程、

(II)如图所示,由直线1得极坐标方程就是p(sin9+)=3,射线OM：0=、

可得普通方程:直线1,射线OM、

联立，解得，即Q、

联立，解得或、

：・P、

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IPQ|==2o

点评:本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到得方程组得解得关系、两点间得距离公式等基础

知识与基本方法,属于中档题、

9o在直角坐标系xoy中，曲线C1得参数方程为(a为参数),以原点O为吸点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C2

得极坐标方程为psin(8+)=4、

(1)求曲线Cl得普通方程与曲线C2得直角坐标方程；

(2)设P为曲线Cr上得动点，求点P到CZ上点得距离得最小值，并求此时点P得坐标、

考点：简单曲线得极坐标方程、

专题：坐标系与参数方程、

分析：(1)由条件利用同角三角函数得基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直角坐标与极坐标得互化公式x

=pcosO、y=psin。,把极坐标方程化为直角坐标方程。

(2)求得椭圆上得点到直线x+y-8=0得距离为，可得d得最小值，以及此时得a得值，从而求得点P得坐标、

解答：解:(1)由曲线C1：,可得，两式两边平方相加得:，

即曲线C1得普通方程为:、

由曲线C2:得:,

即psin0+pcos0=8,所以x+y-8=0,

即曲线C2得直角坐标方程为:x+y・8=0、

(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上得点到直线x+y-8=0得距离为，

当时,d得最小值为,此时点P得坐标为。

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程得方法，点到直线得距离公式得应用,正弦函数得值

域,属于基础题。

10、已知直线1得参数方程就是(t为参数)，圆C得极坐标方程为p=2c。s(0+)、

(I)求圆心C得直角坐标；

(【I)由直线1上得点向圆C引切线，求切线长得最小值、

考点：简单曲线得极坐标方程、

专题：计算题、

分析：⑴先利用三角函数得与角公式展开圆C得极坐标方程得右式，再利用直角坐标与极坐标间得关系,即利用

pcos9=x,psin9=y,p2=x2+y2,进行代换即得圆C得直角坐标方程,从而得到圆心C得直角坐标、

(II)欲求切线长得最小值，转化为求直线I上得点到圆心得距离得最小值，故先在直角坐标系中算出直线1上得

点到圆心得距离得最小值，再利用直角三角形中边得关系求出切线长得最小值即可、

解答:解(I)・・・,・•・,

•••圆C得直角坐标方程为，

即，，圆心直角坐标为。(5分)

(11);直线1得普通方程为，

圆心C到直线1距离就是，

二直线1上得点向圆C引得切线长得最小值就是(10分)

点评：本题考查点得极坐标与直角坐标得互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点得位置，体会在极坐标系与平面直角坐

标系中刻画点得位置得区别，能进行极坐标与直角坐标得互化、

11、在直角坐标系x0y中，以。为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线1得参数方程为,(t为参数)，曲线C1得方程

为p(p・4sin。)=12,定点A(6,0),点P就是曲线Cl上得动点,Q为AP得中点。

(1)求点Q得轨迹C2得直角坐标方程；

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(2)直线！与直线C2交于A,B两点，若I22,求实数〃得取值范围、

考点：简单曲线得极坐标方程;参数方程化成普通方程、

专题：坐标系与参数方程、

分析•：(1)首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q得轨迹C2得直角坐标

方程；

(2)首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围、

解答：解：(1)根据题意，得

曲线C1得直角坐标方程为：x2+y2-4y=l2,

设点P(x1y)Q(x,y),

根据中点坐标公式，得

，代入x2+y2-4y=12,

得点Q得轨迹C2得直角坐标方程为:(x-3)2+(y-1)2=4,

(2)直线1得普通方程为:y=ax根据题意，得

点评:

题关键就是准确运用直线与圆得特定方程求解、

12、在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系、圆C1,直线C2得极坐标方程分别为p=4sin0,pc

0$(尸2、

(I)求Cl与C2交点得极坐标；

(11)设「为。1得圆心,Q为CT与C2交点连线得中点，已知直线PQ得参数方程为为参数)，求得值、

考点点得极坐标与直角坐标得互化;直线与圆得位置关系;参数方程化成普通方程、

专燃

压轴题;直线与圆、

分析

(I)先将圆c1,直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点得直角坐标，最后化成极坐标即可；

(II)由⑴得,P与Q点得坐标分别为(0,2),(1,3),从而直线PQ得直角坐标方程为x-y+2=0，由参数方程可得y=x

-+1,从而构造关于a,b得方程组，解得a,b得值、

解答

解:⑴圆C1,直线C2得直角坐标方程分别为x2+(y-2)2=4,x+y-4=0,

解得或，

••・C1与C2交点得极坐标为(4,)、(2,)。

(H)由(I)得,P与Q点得坐标分别为(0,2),(1,3),

故直线PQ得直角坐标方程为x-y+2=0,

由参数方程可得y=x-+l.

解得a=-l,b=2、

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程得方法，方程思想得应用，属于基础

题、

13、在直角坐标系xOy中,1就是过定点P(4,2)且倾斜角为a得直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴

为极轴，取相同单位长度)中，曲线C得极坐标方程为p=4cos0

(I)写出直线1得参数方程，并将曲线C得方程化为直角坐标方程；

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(II)若曲线C与直线相交于不同得两点M、M求|PMII得取值范围、

解答：解：。)直线1得参数方程为(t为参数)、

曲线C得极坐标方程p=4cosO可化为p2=4pcos0。

把x=pcosO,y=psinO代入曲线C得极坐标方程可得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4。

(II)把直线1得参数方程为(t为参数)代入圆得方程可得:t2+4]sina+cosa)t+4=0、

.・•曲线C与直线相交于不同得两点M、N,

.*.△=16(sina+cosa)2-16>0,

sinacosa>0,Xa£[0,n),

*

又tl+t2=-4(sina+cosa),t112=4、

IPM|+|PN|=|tl|+It2I=I:1+t2I=4Isina+cosaI=,

•••

•••••

••o

；・|PM|+|PN|得取值范围就是、

点评：本题考查了直线得参数方程、圆得极坐标方程、直线与圆相交弦长问题,属于中档题、

14o在直角坐标系xOv中，直线1得参数方程为(t为参数)，以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系QC得极坐

标方程为p=2sin。、

(I)写出G)C得直角坐标方程；

(H)P为直线1上一动点，当P到圆心C得距离最小时,求P得直角坐标、

考点：点得极坐标与直角坐标得互化、

专题：坐标系与参数方程、

分析：⑴由。C得极坐标方程为p=2sin0、化为p2=2,把代入即可得出;、

(H)设P,又C。利用两点之间得距离公式可得IPCI=，再利用二次函数得性质即可得出。

解答：解:⑴由。C得极坐标方程为p=2sin0、

：・p2=2Ox2+y2=,

配方为=3。

(II)设P,乂C、

A|PCI==>2,

因此当t=0时,|PCI取得最小值2、此时P(3,0)。

点评：本题考瓷了极坐标化为直角坐标方程、参数方程得应用、两点之间得距离公式、二次函数得性质，考瓷了推理

能力与计算能力,属于中档题、

15o已知曲线C1得极坐标方程为p=6c。s0,曲线C2得极坐标方程为0=(p£R),曲线C1,C2相交于A,B两点、

(I)把曲线CI,C2得极坐标方程转化为直角坐标方程；

(11)求弦八13得长度、

考点：简单曲线得极坐标方程、

专题：计算题、

分析：(I)利用直角坐标与极坐标间得关系，即利用pcos8=x,psin8=y,p2=x2+y2,进行代换即得曲线C2及曲线C1得直

用坐标方程、

(II)利用直角坐标方程得形式，先求出圆心(3,0)到直线得距离，最后结合点到直线得距圉公式弦AB得长度、

解答：解：(I)曲线C2:(p£R)

表示直线y=x,

曲线C1：p=6cosO,即p2=6pcosO

所以x2+y2=6x即(x-3)2+y2=9

(II)•・•圆心(3,0)到直线得距离，

r=3所以弦长AB==o

工弦AB得长度、

点评：本小题主要考查圆与直线得极坐标方程与直角坐标方程得互亿，以及利用圆得几何性质计算圆心到直线得距等

基本方法,属于基础题。

16。在直角坐标系xOy中，以。为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.宜线I得极坐标方程为psin(0+尸，圆C得参数

方程为,(。为参数,r>0)

(I)求圆心C得极坐标；

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(II)当r为何值时，圆C上得点到直线t得最大距离为3。

考点：简单曲线得极坐标方程;直线与圆得位置关系、

专题：计算题、

分析•：(1)利用两角差得余弦公式及极坐标与直角坐标得互化公式可得直线1得普通方程;利用同角三角函数得基本关

系，

消去。可得曲线C得普通方程，得出