18机械基础教案

机械基础课程教案周次第11周课型新授课课时1学时授课教师王春举授课班级13春机电班授课题目§3-1圆轴扭转1教学目标（知识、能力、态度）1、知识目标：（1）了解扭转的概念；（2）理解圆轴扭转的外力矩计算。2、能力目标：扭矩计算3、素质目标：为了保证受扭圆轴能正常工作而不致破坏，应使圆轴内的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力教学重点及难点【教学重点】扭转的概念；圆轴扭转的外力矩计算。【教学难点】扭转的概念；圆轴扭转的外力矩计算。教学方法及手段讲练法、演示法、讨论法、归纳法。学法指导讲授与演示交叉进行、讲授中穿插讨论、讲授中穿插练习与设问，最后进行归纳。教具或学具圆规、三角板、常见的杆件教学过程教学内容及教师活动学生活动★复习旧课拉压概念；拉压内力、应力、强度计算；扭转的概念工程中，很多传动机构中的回转件都会产生扭转变形。例如汽车方向盘转动时，转向轴的受力情况为：司机在方向盘上作用着一个力偶，同时在转向轴下端作用一个阻碍方向盘转动的反力偶。转向轴由于受到这两个力偶的作用，将引起扭转变形。杆件的扭转变形特点是：

①在杆件两端受到大小相等，方向相反的一对力偶的作用。②杆件上各个横截面均绕杆件的轴线发生相对转动。

在工程中，以扭转变形为主要变形的杆件称为轴，上、下两截面所扭转过的角度称为相对扭转角，如图３-１８所示。

图３-１８圆轴扭转的外力矩计算对于传动轴等转动杆件，通常只给出其转速和所传递功率，在分析内力时，首先需要根据转速和功率计算外力偶矩。由理论力学可知，力偶在相应角位移上作功，而力偶在单位时间内所作功率Ｐ等于其力偶矩Ｍ与相应角速度ω的乘积，即

Ｐ＝Ｍω

在工程实际中，功率Ｐ的常用单位为ｋＷ（千瓦），转速ｎ的常用单位为ｒ／ｍｉｎ(转／分），在这种情况下，上式即变为

Ｐ×＝Ｍ×２πｎ／６０

由此得力偶矩

Ｍ≈９５５０Ｐ／ｎ扭矩计算

1.内力

求圆轴扭转时的应力——截面法。图３-１９所示为受一对外力偶作用的圆轴。假想地沿轴的某一截面ｍ—ｍ切开，并取Ⅰ部分为研究对象。

为使Ⅰ部分仍处于平衡状态，必在截面ｍ—ｍ处作用一个内力偶矩ＭＴ。

建立平衡方程：Ｍ＝０，则

ＭＴ－Ｍ＝０

ＭＴ＝Ｍ

上式表明，圆轴扭转时横截面上的内力是一个力偶矩，称为扭矩。图３-１９

2.符号规定

按右手螺旋法则，四指方向与截面力偶方向一致，则拇指指向为扭矩的方向（图３-２０）。当该矢量ＭＴ方向与截面外法线方向一致时，ＭＴ为正；矢量ＭＴ方向与截面外法线方向相反时，ＭＴ为负。

图３－２０圆轴扭转时的应力分析

1.扭转现象与假设

如图３-２１所示，在圆轴的表面上画出很多等距的圆周线和轴线平行的纵向线，形成大小相等的矩形方格。当圆轴扭转变形时，可以看到：图3-21

①各圆周线相对于轴线旋转了一个角度，但其形状大小及圆周线间距没有变。

②各纵向线，均倾斜了一个小角度，矩形变成了平行四边形。

由以上的观察，可得出圆轴扭转时的基本假设：

扭转时，圆轴的横截面始终为平面，形状、大小都不改变，只有相对轴线的微小扭转变形，因此在横截面上无正应力，而只有垂直于半径的切应力。

2.切应力分布规律

圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的半径成正比，方向与过该点的半径垂直，切应力最大处发生在半径最大处。应力分布规律如图３-２２所示。

3.切应力计算公式

根据静力学关系导出切应力计算公式为

式中，ＭＴ——横截面上的扭矩；

ρ——横截面上任意一点的半径；

ＩＰ——横截面上截面二次极矩。

图3-22当ρ＝Ｒ时，切应力最大，即

令Ｉｐ／Ｒ＝Ｗｔ，于是上式可改写成：

τｍａｘ＝ＭＴＷｔ

式中，Ｗｔ——抗扭截面系数。圆轴抗扭强度条件

为了保证受扭圆轴能正常工作而不致破坏，应使圆轴内的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力［τ］，即

塑性材料［τ］＝（０.５～０.６）［σ］

脆性材料［τ］＝（０.８～１.０）［σ］轴扭转时多受动载荷作用，因此［τ］取值应比静载下的许用应力低些。

图３-２３

例３-６汽车传动轴ＡＢ（图３-２３）由无缝钢管制成。该轴外径Ｄ＝９０ｍｍ，壁厚ｔ＝２５ｍｍ，工作时的最大扭矩ＭＴｍａｘ＝１.５ｋＮ·ｍ。材料的许用切应力［τ］＝６０ＭＰａ，试校核轴ＡＢ的强度。如果轴AB设计成实心轴，直径应为多少?

解（1）计算AB轴的抗扭截面系数

α＝ｄ／Ｄ＝(Ｄ－２ｔ)/Ｄ＝(９０－２×２.５)/９０＝０.９４４

（2）计算轴的最大切应力并校核强度

因为轴AB是等截面轴，且在全轴所有横截面上的扭矩为常量，所以轴AB上任一截面的周边点都是危险点，即周边任一点的切应力都是最大切应力。根据强度条件式

故轴AB满足强度要求。

（3）设计实心圆轴直径Ｄ１

因两轴等强度，故实心轴的最大的切应力也应等于５０ＭＰａ，即

实心轴的直径Ｄ１应取直径标准５５ｍｍ。提高抗扭能力的方法由扭转强度条件可知，要提高轴的强度，只有降低τＴｍａｘ值或提高Ｗｔ值两种途径。1.提高抗扭截面系数Ｗｔ对于圆轴来说，合理截面一个是实心轴，另一个是空心轴。由于Ｗｔ与直径D成三次方正比，因此增大轴径效果最为显著。而采用空心轴，在相同截面积的前提下，可以大大提高轴的抗扭截面系数，有效提高轴的扭转强度。2降低最大扭矩如图３-２４ａ所示，已知该轴传递扭矩ＭＡ＝５Ｎ·ｍ，ＭＢ＝２Ｎ·ｍ，ＭＣ＝３Ｎ·ｍ，ＭＤ＝１０Ｎ·ｍ，转向如图所示。如果将ＭＤ的位置移到ＭＡ与ＭＢ之间，如图３-２４ｂ所示，则该