信号与系统新教材课件 02-第二章 连续时间系统的时域分析

第二章连续时间系统的时域分析南京航空航天大学电子信息工程学院主要内容系统的零状态响应引言13系统的零输入响应2连续时间系统的全响应4指数信号激励下系统的零状态响应5主要内容系统的零状态响应引言13系统的零输入响应2连续时间系统的全响应4指数信号激励下系统的零状态响应52.1引言在上一章最后一节，我们建立了连续时间系统的数学模型2.1引言在上一章最后一节，我们建立了连续时间系统的数学模型——线性常系数微分方程。因此，连续时间系统的分析归结为建立并求解线性常系数微分方程。2.1引言在上一章最后一节，我们建立了连续时间系统的数学模型——线性常系数微分方程。因此，连续时间系统的分析归结为建立并求解线性常系数微分方程。求解微分方程通常有两种方法：一种是直接求解，由于涉及的函数变量都是时间t，所以又称为时域分析法；2.1引言在上一章最后一节，我们建立了连续时间系统的数学模型——线性常系数微分方程。因此，连续时间系统的分析归结为建立并求解线性常系数微分方程。求解微分方程通常有两种方法：一种是直接求解，由于涉及的函数变量都是时间t，所以又称为时域分析法；另一种是变换的方法，将时间变量变换为其他变量来求解，又称为变换域方法。2.1引言在高等数学中，直接求解线性常系数微分方程的方法主要分为三个步骤：2.1引言在高等数学中，直接求解线性常系数微分方程的方法主要分为三个步骤：1、求通解：求解齐次方程，包含待定系数；2.1引言在高等数学中，直接求解线性常系数微分方程的方法主要分为三个步骤：1、求通解：求解齐次方程，包含待定系数；2、求特解：要根据方程右端函数的具体形式确定，也包含待定常数，可代回到原微分方程中确定；2.1引言在高等数学中，直接求解线性常系数微分方程的方法主要分为三个步骤：1、求通解：求解齐次方程，包含待定系数；2、求特解：要根据方程右端函数的具体形式确定，也包含待定常数，可代回到原微分方程中确定；3、将通解和特解相加，根据初始条件确定待定常数。2.1引言这种解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可写出通解的一般形式。2.1引言这种解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可写出通解的一般形式。然而，方程右边函数一般是系统的激励，其形式可能比较复杂，这时特解的形式就难以确定。在此，本章将介绍叠加积分法，其主要步骤为：2.1引言这种解法中的通解容易求得，只要求出特征方程的根即可写出通解的一般形式。然而，方程右边函数一般是系统的激励，其形式可能比较复杂，这时特解的形式就难以确定。在此，本章将介绍叠加积分法，其主要步骤为：1、求零输入响应：零输入响应是指系统输入为零时的响应，可以通过求解齐次方程得到；2.1引言2、求零状态响应：零状态响应是指不考虑系统的初始状态，由加到系统的激励信号产生的响应。2.1引言2、求零状态响应：零状态响应是指不考虑系统的初始状态，由加到系统的激励信号产生的响应。为了求零状态响应，首先可将信号分解为简单信号的叠加，而系统对这些简单信号的响应是容易求得的；然后，根据线性时不变系统的性质将这些响应叠加起来。因此，该方法称为叠加积分法。主要内容系统的零状态响应引言13系统的零输入响应2连续时间系统的全响应4指数信号激励下系统的零状态响应52.2系统的零输入响应对于一个n阶线性时不变系统，其输入输出关系可以用一个n阶线性微分方程描述：2.2系统的零输入响应对于一个n阶线性时不变系统，其输入输出关系可以用一个n阶线性微分方程描述：对于零输入响应，，则上式变成：2.2系统的零输入响应对于一个n阶线性时不变系统，其输入输出关系可以用一个n阶线性微分方程描述：对于零输入响应，，则上式变成：上式是一个齐次方程，容易求得其解。2.2系统的零输入响应由于指数函数的导数仍然是指数函数，因此，可设方程的解是指数函数，即：将上式代入齐次方程，得：2.2系统的零输入响应由于指数函数的导数仍然是指数函数，因此，可设方程的解是指数函数，即：将上式代入齐次方程，得：由于，则可以得到：2.2系统的零输入响应由于指数函数的导数仍然是指数函数，因此，可设方程的解是指数函数，即：将上式代入齐次方程，得：由于，则可以得到：上式称为特征方程。假定特征方程有n个根，这些根称为特征根，也叫作自然频率。2.2系统的零输入响应根据代数知识可以知道，这些特征根可能是单根，可能是重根，也可能是复根。下面，我们分情况讨论。2.2系统的零输入响应一、特征根为单根特征根是单根的情况最简单。此时，齐次方程的解分别为，并且是一组n个线性无关的解，称为基础解组。2.2系统的零输入响应一、特征根为单根特征根是单根的情况最简单。此时，齐次方程的解分别为，并且是一组n个线性无关的解，称为基础解组。线性无关是指这一组解中的任意两个函数之比不能是常数。此时，零输入响应的一般形式可以表示成它们的线性组合：2.2系统的零输入响应一、特征根为单根如果已知系统的n个初始条件，就可以代入上式中确定各常数的值。当然，初始条件也可以不是t=0时的初始值，可以是其他时刻的值，只是通常取t=0时得初始值作为初始条件。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根假定是一个p阶重根，而其他的n-p个根仍是单根，它们的基础解组可参考上一节。因此，只需确定的p个线性无关解即可。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根假定是一个p阶重根，而其他的n-p个根仍是单根，它们的基础解组可参考上一节。因此，只需确定的p个线性无关解即可。如果，必然有，则齐次方程变为：这时，满足上面方程，并且恰好是p个线性无关的解。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根如果，此时只有一个解，为确定其他的p-1个解，假定具有的形式，为便于书写，简记为。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根如果，此时只有一个解，为确定其他的p-1个解，假定具有的形式，为便于书写，简记为。容易求出它的m阶导数为：将其代入齐次方程，有：2.2系统的零输入响应二、特征根为重根由于，于是有注意到的各阶导数的系数都是常数，将的各阶导数合并得：2.2系统的零输入响应二、特征根为重根这说明满足上式的齐次方程，其特征方程为：将代入方程（2.3）中，得：这时相当于，说明方程与上面的特征方程具有相同的根。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根而上式方程的解有一个p阶重根，因此，特征方程就有一个p阶重根0。这样，可以得到方程中的p个线性无关解。由于，于是得到p个线性无关解为。2.2系统的零输入响应二、特征根为重根综上所述，可取这p个函数作为基础解组。此时，零输入响应的一般形式为：同样，上式中的常数可由初始条件确定。2.2系统的零输入响应三、特征根为共轭复根如果特征根是共轭复根的情况，假定这两个根为

，则两个线性无关解为：用实函数的形式表示即和。2.2系统的零输入响应三、特征根为共轭复根因此，有一对共轭复根时零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应三、特征根为共轭复根因此，有一对共轭复根时零输入响应的一般形式为：如果存在p阶共轭复根，则其2p个线性无关解的实函数形式为和。此时，零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应小结：单根：

重根：

共轭复根：2.2系统的零输入响应例2.1：下图为RLC串联谐振电路，已知电感、电容、电阻值。初始条件为：分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。2.2系统的零输入响应解：列出电路微分方程：2.2系统的零输入响应解：列出电路微分方程：代入电路参数，可得：2.2系统的零输入响应解：列出电路微分方程：代入电路参数，可得：求出该方程的两个根，则回路电流零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应解：对于第一组初始条件，直接代入得：2.2系统的零输入响应解：对于第一组初始条件，直接代入得：解得：因此，零输入响应为：2.2系统的零输入响应解：对于第一组初始条件，直接代入得：解得：因此，零输入响应为：需在表达式后面加上该限制条件！2.2系统的零输入响应解：对于第二组初始条件，需将电容两端电压转化为回路电流的导数。由于输入为零，根据电路可列出回路方程：则有：2.2系统的零输入响应解：对于第二组初始条件，需将电容两端电压转化为回路电流的导数。由于输入为零，根据电路可列出回路方程：则有：代入回路电流零输入响应的一般形式，有：2.2系统的零输入响应解：此时，则零输入响应为：2.2系统的零输入响应解：此时，则零输入响应为：2.2系统的零输入响应解：此时，则零输入响应为：过阻尼2.2系统的零输入响应下图中，电容两端初始电压为10V，方向左正右负，则电容放电，放电方向与参考电流方向相反，故曲线在横轴下方；由于电路中存在的电阻损耗能量，最终电流变为零。过阻尼2.2系统的零输入响应例2.2：下图为RLC串联谐振电路，只改变电阻值。初始条件仍为，求回路电流的零输入响应。2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有二阶重根。2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有二阶重根。于是，零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有二阶重根。于是，零输入响应的一般形式为：代入初始条件，可得：则：2.2系统的零输入响应解：2.2系统的零输入响应解：临界阻尼临界阻尼和过阻尼的零输入响应电流都不产生振荡。2.2系统的零输入响应例2.3：下图为RLC串联谐振电路，只改变电阻值。初始条件仍为，求回路电流的零输入响应。2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有一对共轭复根。2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有一对共轭复重根。于是，零输入响应的一般形式为：2.2系统的零输入响应解：根据已知条件，可得系统的特征方程为：该方程有一对共轭复重根。于是，零输入响应的一般形式为：代入初始条件，可得：则有：2.2系统的零输入响应解：振荡衰减2.2系统的零输入响应解：欠阻尼2.2系统的零输入响应1、相当于电容上的初始电压为-1V（方向右正左负），故电容放电方向与参考电流方向相同，曲线在横轴上方。电容放电时将电容中的电能转化为电感中的磁能；2.2系统的零输入响应2、电感中的磁能向电容释放，当电感中的磁能全部转化为电容中的电能时，电感中的电流为零；2.2系统的零输入响应3、电容中的电能反向释放，曲线在横轴下方，电容中的电能转化为电感中的磁能；2.2系统的零输入响应4、电感中的磁能反向释放，方向与2相反，当电感中的磁能全部转化为电容中的电能时，电感中的电流为零；2.2系统的零输入响应5、接下来，从1开始重复这个过程，由于电路中存在电阻，将损耗能量，所以振荡幅度逐步减小，最终衰减为零。主要内容系统的零状态响应引言13系统的零输入响应2连续时间系统的全响应4指数信号激励下系统的零状态响应52.3系统的零状态响应求零状态响应，首先需要将信号分解为简单信号的叠加，然后求出系统对这些简单信号的响应，再根据线性时不变系统的性质将这些响应叠加起来。2.3系统的零状态响应求零状态响应，首先需要将信号分解为简单信号的叠加，然后求出系统对这些简单信号的响应，再根据线性时不变系统的性质将这些响应叠加起来。下面，先介绍几个典型的时域信号。由于这些信号在实际中并不存在，只是数学上对某些信号的一种抽象和理想化，通常称为奇异函数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数记为，定义为：2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数记为，定义为：上式中，单位冲激函数除了t=0，其余点函数值均为0。在t=0处的值没有直接定义，但其面积为1，其面积称为单位冲激函数的冲激强度。2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数冲激函数在图上用括号括起来，表示冲激函数的强度，而不是幅度，其幅度有时可认为是无穷大，在图上用箭头表示。2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数具有以下性质：（1）单位冲激函数是偶函数2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数具有以下性质：（1）单位冲激函数是偶函数（2）尺度变换2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数具有以下性质：（1）单位冲激函数是偶函数（2）尺度变换（3）与任意函数相乘2.3系统的零状态响应一、奇异函数1、单位冲激函数单位冲激函数具有以下性质：（4）与任意函数相乘后积分2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数单位阶跃函数记为，定义为：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数单位阶跃函数记为，定义为：单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，当t>0时函数值为1，而t<0时函数值为0。反之，单位冲激函数是单位阶跃函数的导数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数由单位阶跃函数的定义可以看出，任意一个函数乘以阶跃函数后，其乘积在阶跃之前为0，之后函数值保持不变。这个特点可以用来表示理想的开关接通信号源的情况。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对于一些分段函数，用单位阶跃函数表示起来更方便。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对于一些分段函数，用单位阶跃函数表示起来更方便。比如，传统分段函数表示为：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对于一些分段函数，用单位阶跃函数表示起来更方便。比如，传统分段函数表示为：用单位阶跃函数可以更简洁地表示为：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数在高等数学中，该函数在0和2处是不存在导数的，但根据单位冲激函数与单位阶跃函数的关系可知，该函数在这两点上也可存在导数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对求导并化简，可得：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数对求导并化简，可得：2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数注：函数在连续部分的导数与通常的导数是一样的。只是在函数有跳变的地方也存在导数，并且是冲激函数，而冲激的方向取决于函数跳变的方向，强度是函数跳变的数值。2.3系统的零状态响应一、奇异函数2、单位阶跃函数注：今后，在零输入响应的确切表达式后面可以直接乘以一个阶跃函数，以代替限制条件或。这并不代表这两个时间点之前的响应为0，而是不知道或不感兴趣。2.3系统的零状态响应一、奇异函数3、门函数门函数用表示，定义为：门函数是一个高度为1、宽度为1且对称的矩形脉冲，其形状像一个门。用可以方便地表示出不同高度和宽度的门函数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数3、门函数2.3系统的零状态响应一、奇异函数3、门函数2.3系统的零状态响应一、奇异函数3、门函数门函数的特别之处在于，当脉冲宽度变小时，其高度变大，但其面积保持不变，恒为1。当脉冲宽度趋近于0时，门函数就变成了单位冲激函数，即：2.3系统的零状态响应一、奇异函数4、单位冲激偶单位冲激偶实际上是单位冲激函数的导数，记为。于是，2.3系统的零状态响应一、奇异函数4、单位冲激偶单位冲激偶是一正一负两个冲激，带括号的1标在中间，它并不表示冲激的强度，而表示它是单位冲激函数的导数。2.3系统的零状态响应一、奇异函数4、单位冲激偶单位冲激偶的性质：2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解信号在时域中的分解是多种多样的，对于一些简单信号的分解是显而易见的，例如，门函数可以分解为两个阶跃信号的叠加。2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解为求系统的零状态响应，需要对任意一个信号进行分解，通常的做法是将任意信号分解为许多矩形脉冲的叠加。2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解图中，光滑曲线表示任意信号，将它近似地用一定宽度、位置不同、高度随该信号变化的无穷多个矩形脉冲的叠加表示，2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解图中，光滑曲线表示任意信号，将它近似地用一定宽度、位置不同、高度随该信号变化的无穷多个矩形脉冲的叠加表示，其数学表达式可写成：2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解当矩形脉冲的宽度趋近于零时，可得：2.3系统的零状态响应二、信号的时域分解从而，无穷多个矩形脉冲的叠加变成了叠加积分，即：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从上一节内容可以知道，任意一个信号可以分解为不同位置和不同强度冲激函数的叠加积分。因此，求系统零状态响应的关键是求出系统对单位冲激函数的响应。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从上一节内容可以知道，任意一个信号可以分解为不同位置和不同强度冲激函数的叠加积分。因此，求系统零状态响应的关键是求出系统对单位冲激函数的响应。定义系统对冲激函数的零状态响应为单位冲激响应，即：。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质根据系统的时不变性，有：线性系统满足齐次性，有：线性系统满足叠加性，有：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质根据系统的时不变性，有：线性系统满足齐次性，有：线性系统满足叠加性，有：系统的零状态响应2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质因此，零状态响应的计算公式为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质因此，零状态响应的计算公式为：系统的单位冲激响应激励信号2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质因此，零状态响应的计算公式为：其实，可将其看作纯粹数学意义上的两个函数，这样上式所表达的就是两个函数的一种运算关系，在数学上称为卷积，用符号“*”表示。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质因此，零状态响应的计算公式为：于是，上式可以简单地写成：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质由此，也可写成：注：任意一个函数与单位冲激函数的卷积等于它自己。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质卷积是两个函数的一种运算关系。下面，我们来研究两个函数的卷积运算。考虑下式的卷积：计算可分为三个步骤：1、将两个函数的自变量由换为；2、将反折并移位；3、将两个函数相乘并求积分。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质对于如下两个函数，卷积计算可分为三个步骤：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质1、将两个函数的自变量由换为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质2、将反折并移位：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质3、将两个函数相乘并求积分。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从图中可以看出，移的位置不同，会影响到第三步的积分结果。因此，第三个步骤往往要分多种情况进行讨论。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从图中可以看出，移的位置不同，会影响到第三步的积分结果。因此，第三个步骤往往要分多种情况进行讨论。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质从图中可以看出，移的位置不同，会影响到第三步的积分结果。因此，第三个步骤往往要分多种情况进行讨论。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，以一个具体的例子来进一步说明卷积的计算过程。例2.4：计算矩形脉冲与指数函数的卷积。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：根据题意做出两个函数的图形，如下所示：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：首先，将两个函数的自变量进行替换；然后，将指数函数反折并移位，可以得到2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：对于第一种情况，2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：对于第二种情况，2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：对于第三种情况，2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：利用单位阶跃函数，可将最终分段函数结果表示为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：根据上式，做出最终结果的图形为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质对于卷积运算，当函数形式给定时，需要代入具体的函数；当两个函数的相对位置不同时，其积分区间也是不一样的。因此，卷积其实是两个具体化的过程：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质对于卷积运算，当函数形式给定时，需要代入具体的函数；当两个函数的相对位置不同时，其积分区间也是不一样的。因此，卷积其实是两个具体化的过程：1、函数形式的具体化；2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质对于卷积运算，当函数形式给定时，需要代入具体的函数；当两个函数的相对位置不同时，其积分区间也是不一样的。因此，卷积其实是两个具体化的过程：1、函数形式的具体化；2、积分区间的具体化。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质为了在卷积过程中能够清晰地看出函数相对位置的变化，可借助作图来确定各种不同的情况，从而准确确定积分区间，这种方法称作图解法。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质为了在卷积过程中能够清晰地看出函数相对位置的变化，可借助作图来确定各种不同的情况，从而准确确定积分区间，这种方法称作图解法。这种方法是需要重点掌握的。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质为了在卷积过程中能够清晰地看出函数相对位置的变化，可借助作图来确定各种不同的情况，从而准确确定积分区间，这种方法称作图解法。这种方法是需要重点掌握的。但是，图解法的缺点是比较繁琐，需要作多个图。当然，也可以不作图，而直接代入卷积公式计算。（参见书36页）2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。1、交换律、结合律和分配律2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。2、卷积后的微分卷积后的微分等于其中任一函数先微分，然后与另一函数卷积。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。2、卷积后的微分注：任一函数与单位冲激函数的导数，即与单位冲激偶卷积相当于对该函数求导，即2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。3、卷积后的积分卷积后的积分等于其中任一函数先积分，然后与另一函数卷积。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。3、卷积后的积分注：任一函数与单位阶跃函数卷积，相当于对该函数求积分，即2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。4、一个函数微分与一个函数积分的卷积一个函数的微分和另一个函数的积分做卷积，等于原来两个函数的卷积。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。5、函数移位后的卷积两个函数移位后的再做卷积等于原来卷积的移位，但移位量是两函数移位量的总和。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质下面，介绍卷积的几个重要性质。5、函数移位后的卷积注：任一函数与单位冲激函数的移位积分，相当于对该函数进行移位，即：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质例2.5：利用卷积的性质重新计算例2.4的卷积。解：法一：可利用卷积的交换律通过作图法来计算，类似于例2.4的解法。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质例2.5：利用卷积的性质重新计算例2.4的卷积。解：法二：可先将矩形脉冲微分、指数函数积分，然后再计算卷积，其卷积不变。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质例2.5：利用卷积的性质重新计算例2.4的卷积。解：法二：可先将矩形脉冲微分、指数函数积分，然后再计算卷积，其卷积不变。矩形脉冲的微分为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：指数函数的积分为：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：指数函数的积分为：从而有：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质注：当其中一个函数求导后是单位冲激函数时，可将另一个函数求积分，然后计算卷积。这是因为一个函数与单位冲激函数的卷积就等于该函数。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质例2.6：试计算两个宽度不同的门函数的卷积，即：，设。解：现在已有多种方法可用来计算这个卷积。然而，为了便于理解，仍采用图解法来进行求解。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：分以下五种情况讨论：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：根据计算结果，可以画出最终卷积后的图形。当两个门函数的宽度不等时，最终结果是一个梯形；当两个门函数的宽度相等时，最终结果是一个三角形（特例）。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：由此，可画出这两种情况的图形：2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质解：特别地，当门函数的宽度为1时，其结果为如下图所示的三角脉冲，将这个脉冲记为。2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质结论：1、两个不同宽度的门函数卷积为梯形，相同宽度的门函数卷积为三角形；2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质结论：1、两个不同宽度的门函数卷积为梯形，相同宽度的门函数卷积为三角形；2、梯形的上底是门函数宽度之差，下底为门函数宽度之和；2.3系统的零状态响应三、卷积及其性质结论：1、两个不同宽度的门函数卷积为梯形，相同宽度的门函数卷积为三角形；2、梯形的上底是门函数宽度之差，下底为门函数宽度之和；3、梯形高为门函数高度之积再乘以较小门函数的宽度。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应由已学知识可以知道，系统的零状态响应是激励与系统单位冲激响应的卷积。为求出系统的零状态响应，需要首先求出系统的单位冲激响应。下面，将介绍单位冲激响应的求法。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应系统对单位冲激函数的零状态响应称为单位冲激响应，通常用表示。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应系统对单位冲激函数的零状态响应称为单位冲激响应，通常用表示。有定义可知，求解单位冲激响应就是要在零状态的条件下，求解如下微分方程：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应为求解上式方程，可先求解如下更简单的方程：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应为求解上式方程，可先求解如下更简单的方程：激励为单位冲激函数时的系统响应2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应激励为方程右边多项式时的系统响应2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应于是，有：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应于是，有：只要求出，就可根据上式求出。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应于是，有：只要求出，就可根据上式求出。根据单位冲激函数定义，可得：这样就变成了求零输入响应的问题。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应单位冲激函数在t=0时加入系统后，便会在时刻留下初始状态。因此，只要确定系统在时刻的初始状态，就可以用求零输入响应的方法求出，进而根据下式求出系统的单位冲激响应：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应对于如下方程，左边的冲激只可能出现在第一项中，否则在第一项中便会出现冲激的各阶导数。也就是说，除第一项的其他各项只能是阶跃或阶跃的积分等。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应对方程两边分别取积分，得到：由于第一项中存在冲激，积分结果在t=0处不连续，因此第一项的积分不为零；而其他各项的积分在t=0处连续，积分结果为零。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应从而，可得：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应考虑到系统的初始状态为零，即：于是，就得到了系统在时刻的初始状态：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应这样就可以根据系统的微分方程写出的一般形式，用上式的初始条件确定待定常数，最后用下式求出系统的单位冲激响应。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应例2.7：求出下列系统的单位冲激响应。2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应例2.7：求出下列系统的单位冲激响应。解：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应例2.7：求出下列系统的单位冲激响应。解：2.3系统的零状态响应四、单位冲激响应