北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)

第第页北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知菱形的周长为16cm，一条对角线长为4cm，则菱形的4个角分别为()A.30°，150°，30°，150°B.45°，135°，45°，135°C.60°，120°，60°，120°D.以上都不对2.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分线交AB于点E，交对角线AC于点F，则∠CDF的度数为（）A.45°B.30°C.25°D.15°3.如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（）A.B.C.D.4.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是()A.∠ABC＝90°B.AC⊥BDC.AB＝CDD.AB∥CD5.如图是一个边长为15cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，那么∠1的度数为()A.45°B.60°C.75°D.90°6.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板，这样做最直接的道理是（）A.有两个角是直角的四边形是矩形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.一组对边平行且相等的四边形是矩形7.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的不可能为200m2．其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.38.如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝24，将矩形折叠，使点C与点A重合，则AF的长为（）A.20B.18C.16D.159.图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为（）A.9B.10C.6D.110.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＋DF＝AF＋DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．其中一定正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④11.甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：甲量得构件四边都相等；乙量得构件的两条对角线相等；丙量得构件的一组邻边相等；丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等．检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是()A.甲B.乙C.丙D.丁12.观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得a−bmA.B.C.D.二、填空题13.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于________．14.如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B，C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，要使四边形AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一个条件是________________．15.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝9，将矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕为EF，则EF的长为

．16.如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝__________.17.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，依此类推…，则正方形OB2

023B2

024C2

024的顶点B2

024的坐标是____________．三、解答题18.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，求GF的长.19.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；(2)当∠A＝30°时，求证：四边形ECBF是菱形．20.在△ABC中，点D在边AC上，BD＝BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点．(1)求证：EF＝BC；(2)过点C作CG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△BCG是等腰三角形．21.如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF.(1)求证：CF＝AD；(2)若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．22.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分別在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2.(1)已知DG＝6，求AE的长；(2)已知DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形．

参考答案一、选择题1.已知菱形的周长为16cm，一条对角线长为4cm，则菱形的4个角分别为()A.30°，150°，30°，150°B.45°，135°，45°，135°C.60°，120°，60°，120°D.以上都不对【答案】C【解析】如图，由菱形周长可得菱形边长为4，即AB＝AD＝4，又一条对角线为4，即BD＝4，∴AB＝AD＝BD，∴△ADB是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠DCB＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝120°.2.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分线交AB于点E，交对角线AC于点F，则∠CDF的度数为（）A.45°B.30°C.25°D.15°【答案】D【解析】如图，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，在△ABF和△ADF中，AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴BF＝DF，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF＝55°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝15°.3.如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OB＝3，∴BC＝OC2+O∵AE⊥BC，∴菱形的面积＝BC•AE＝AC•BD，∴AE＝×4×6，∴AE＝，∴CE＝AC2−AE4.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是()A.∠ABC＝90°B.AC⊥BDC.AB＝CDD.AB∥CD【答案】B【解析】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．5.如图是一个边长为15cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，那么∠1的度数为()A.45°B.60°C.75°D.90°【答案】B【解析】因为菱形的边长为15cm，AB＝15cm，∴三角形的顶点与点A，B连接成为等边三角形，∴∠1＝60°.6.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板，这样做最直接的道理是（）A.有两个角是直角的四边形是矩形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.一组对边平行且相等的四边形是矩形【答案】B【解析】有三个角是直角的四边形是矩形，故A错误；有三个角是直角的四边形是矩形，且符合题意，故选项B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，但不符合题意，故选项C错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D错误.7.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的不可能为200m2．其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2当AB＝6时，40−x2＝6，解得x∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确；∵菜园ABCD面积为192m2，∴x•40−x2整理得x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得y＝x•40−x2＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，∵﹣＜0，20＜26，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200，故③不正确．∴正确结论的个数是1.8.如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝24，将矩形折叠，使点C与点A重合，则AF的长为（）A.20B.18C.16D.15【答案】D【解析】设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝24﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE＝CE＝24﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即122+x2＝（24﹣x）2，解得x＝9，∴AE＝24﹣9＝15，由翻折的性质得∠AEF＝∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE＝15.9.图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为（）A.9B.10C.6D.1【答案】A【解析】设直角三角的另一直角边长为a，则S1＝（a+3）2﹣4××3a＝a2+9，S2＝a•a＝a2，∴S1﹣S2＝a2+9﹣a2＝9．10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＋DF＝AF＋DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．其中一定正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④【答案】B【解析】如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE＋DF＝AF＋DE，∴③正确；在△AEO和△AFO中，AE=AF，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠BAC＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴④正确．综上，可得正确的是②③④.11.甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：甲量得构件四边都相等；乙量得构件的两条对角线相等；丙量得构件的一组邻边相等；丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等．检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】甲：∵构件四边都相等，∴此四边形是菱形；乙：两条对角线相等，没法判定是什么四边形；丙：一组邻边相等，没法判定是什么四边形；丁：∵四边相等，∴此四边形是菱形，∵两条对角线也相等，∴此四边形是正方形．12.观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得a−bmA.B.C.D.【答案】C【解析】分析正方形中的四个数：第一个数（正方形左上角）为2n﹣1，当2n﹣1＝79时，解得n＝40，第二个数（正方形右上角）为2n，∴第40个正方形的第二个数（正方形右上角）b＝40×2＝80，第三个数（正方形左下角）为n+1，∴第40个正方形的第三个数（正方形左下角）a＝40+1＝41，第四个数（正方形右下角）为第一个数、第二个数与第三个数的和，∴m＝79+b+a＝79+80+41＝200，∴a−bm＝＝﹣.二、填空题13.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于________．【答案】3【解析】在矩形ABCD中，AD＝BC＝10，∠D＝90°，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠D，在△ADF和△AEF中，∠DAF=∠EAF，∠AEF=∠D，AF=AF，∴△ADF≌△AEF(AAS)，∴AE＝AD＝10，EF＝DF，在Rt△ABE中，根据勾股定理得BE＝＝＝6，∴CE＝BC－BE＝10－6＝4，设CF＝x，则EF＝DF＝CD－CF＝8－x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，即CF＝3.14.如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B，C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，要使四边形AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一个条件是________________．【答案】∠A＝90°(答案不唯一)【解析】∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∴当∠A＝90°时，四边形AFDE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，故在△ABC中，应添加的条件可以为∠A＝90°，答案不唯一，合理即可.15.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝9，将矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕为EF，则EF的长为

．【答案】【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，AD∥BC，由折叠可知∠CEF＝∠AEF，CE＝AE，设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝9﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝CE＝5，BE＝4，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE＝5，如图，过点E作EH⊥AD于点H，则∠B＝∠BAH＝∠AHE＝90°，∴四边形ABEH为矩形，∴EH＝AB＝3，AH＝BE＝4，∴FH＝AF﹣AH＝5﹣4＝1，在Rt△EFH中，EF＝EH2+FH2＝16.如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝__________.【答案】45°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，由折叠的性质得∠AEM＝∠B＝90°，∴∠CEM＝90°，∴∠CME＝90°－45°＝45°.17.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，依此类推…，则正方形OB2

023B2

024C2

024的顶点B2

024的坐标是____________．【答案】(21

012，0)【解析】∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1＝2，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2＝2，∴B2点坐标为(0，2)，同理可知OB3＝2，∴B3点坐标为(－2，2)，同理可知OB4＝4，B4点坐标为(－4，0)，B5点坐标为(－4，－4)，B6点坐标为(0，－8)，B7(8，－8)，B8(16，0)，B9(16，16)，B10(0，32)，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2024÷8＝253，∴B2

024的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2

024的坐标为(21

012，0)．三、解答题18.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，求GF的长.【答案】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，∵F为AE的中点，H为BE的中点，∴EH＝BE，FH是△ABE的中位线，∴FH＝AB＝2，FH∥AB，∴FH∥AB∥CD，∵BE⊥AB，∴FH⊥BE，CD⊥BE，∴∠FHE＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝BC＝2，∴BE＝BC2−CE2＝＝2，∴EH＝BE＝，∴FH＝CE，在△FHG和△CEG中，∠FHG=∠CEG，∴△FHG≌△CEG（AAS），∴EG＝GH＝EH＝，在Rt△FHG中，由勾股定理得GF＝FH2+GH2＝【解析】19.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；(2)当∠A＝30°时，求证：四边形ECBF是菱形．【答案】证明：(1)∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC.又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．(2)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，E为AB的中点，∴CB＝AB，CE＝AB，∴CB＝CE.又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．【解析】20.在△ABC中，点D在边AC上，BD＝BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点．(1)求证：EF＝BC；(2)过点C作CG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△BCG是等腰三角形．【答案】证明：(1)∵BD＝BA，E是AD的中点，∴BE⊥AD，∴△EBC为直角三角形．∵F是BC的中点