高中南开一模数学试卷

高中南开一模数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$时取得最小值，则下列说法正确的是（）

A.$a>0$，$b=0$，$c$为任意实数

B.$a<0$，$b=0$，$c$为任意实数

C.$a>0$，$b$为任意实数，$c>0$

D.$a<0$，$b$为任意实数，$c>0$

2.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=0$的对称点为（）

A.$(-3,-2)$

B.$(-2,-3)$

C.$(3,-2)$

D.$(2,-3)$

3.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1+a_5=8$，$a_3+a_7=16$，则该数列的公差$d$为（）

A.2

B.4

C.8

D.16

4.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1+a_2+a_3=9$，$a_2+a_3+a_4=27$，则该数列的公比$q$为（）

A.3

B.6

C.9

D.12

5.在三角形ABC中，若$\sinA:\sinB:\sinC=1:2:3$，则$\cosA:\cosB:\cosC$的值为（）

A.1:2:3

B.3:2:1

C.1:1:1

D.1:2:3

6.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在区间$[1,2]$上单调递增，则下列说法正确的是（）

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$

B.$a>0$，$b<0$，$c>0$

C.$a<0$，$b>0$，$c>0$

D.$a<0$，$b<0$，$c>0$

7.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1+a_5=8$，$a_3+a_7=16$，则该数列的第10项$a_{10}$为（）

A.8

B.16

C.24

D.32

8.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=0$的对称点为（）

A.$(-3,-2)$

B.$(-2,-3)$

C.$(3,-2)$

D.$(2,-3)$

9.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1+a_5=8$，$a_3+a_7=16$，则该数列的公差$d$为（）

A.2

B.4

C.8

D.16

10.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1+a_2+a_3=9$，$a_2+a_3+a_4=27$，则该数列的公比$q$为（）

A.3

B.6

C.9

D.12

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，属于奇函数的有（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\sinx$

C.$f(x)=|x|$

D.$f(x)=e^x$

2.在直角坐标系中，下列命题正确的有（）

A.两条平行线的斜率相等

B.两条垂直线的斜率互为相反数

C.经过原点的直线斜率为0

D.斜率不存在的直线与x轴垂直

3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，下列说法正确的有（）

A.$a_n=a_1+(n-1)d$

B.$a_1+a_2+a_3=3a_1+d$

C.$a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d$

D.$a_1+a_2+a_3+...+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

4.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，则下列说法正确的有（）

A.$a>0$

B.$b^2-4ac>0$

C.$b^2-4ac<0$

D.$b^2-4ac=0$

5.在三角形ABC中，若$\angleA:\angleB:\angleC=1:2:3$，则下列说法正确的有（）

A.$\sinA:\sinB:\sinC=1:2:3$

B.$\cosA:\cosB:\cosC=1:2:3$

C.$\tanA:\tanB:\tanC=1:2:3$

D.$\sinA:\cosB:\tanC=1:2:3$

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数$f(x)=x^3-3x+2$的图像与x轴的交点个数是______，图像的对称中心是______。

2.在直角坐标系中，点$P(2,3)$到直线$x+y=5$的距离是______。

3.等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}$的值是______。

4.函数$f(x)=2x^2-4x+1$在区间$[1,2]$上的最大值是______，最小值是______。

5.在三角形ABC中，若$\angleA=\frac{\pi}{3}$，$\angleB=\frac{\pi}{4}$，则$\angleC$的正弦值$\sinC$是______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算题：已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求函数的极值点及其对应的函数值。

2.计算题：在直角坐标系中，已知点$A(1,2)$和$B(3,4)$，求直线$AB$的方程，并求直线$AB$与x轴和y轴的交点坐标。

3.计算题：已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=5$，公差$d=-2$，求前10项的和$S_{10}$。

4.计算题：解不等式组$\begin{cases}2x-3y<6\\x+4y\geq0\end{cases}$，并画出不等式组的解集在平面直角坐标系中的图形。

5.计算题：在三角形ABC中，已知$\angleA=60^\circ$，$AB=8$，$AC=10$，求$BC$的长度。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B.$a<0$，$b=0$，$c$为任意实数

2.A.$(-3,-2)$

3.A.2

4.A.3

5.B.3:2:1

6.B.$a>0$，$b<0$，$c>0$

7.C.24

8.A.$(-3,-2)$

9.A.2

10.A.3

二、多项选择题

1.AB

2.ABD

3.ACD

4.AD

5.AD

三、填空题

1.3，$(1,1)$

2.1

3.$-11$

4.3，1

5.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

四、计算题

1.解题过程：

$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=3$。

当$x<1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；

当$10$，$f(3)=-2$。

所以极值点为$x=1$和$x=3$，对应的函数值分别为$f(1)=2$和$f(3)=-2$。

2.解题过程：

斜率$k=\frac{4-2}{3-1}=1$，所以直线$AB$的方程为$y=x+1$。

令$x=0$得$y=1$，令$y=0$得$x=-1$。

所以直线$AB$与x轴和y轴的交点坐标分别为$(-1,0)$和$(0,1)$。

3.解题过程：

$S_{10}=\frac{10(2a_1+(10-1)d)}{2}=\frac{10(2\cdot5+(10-1)\cdot(-2))}{2}=10\cdot(10-3)=-20$。

4.解题过程：

将不等式组转换为$2x-3y<6$和$x+4y\geq0$。

解第一个不等式得$y>\frac{2x-6}{3}$，解第二个不等式得$y\geq-\frac{x}{4}$。

两个不等式的解集在平面直角坐标系中的图形是一个区域，该区域位于直线$y=\frac{2x-6}{3}$上方和直线$y=-\frac{x}{4}$上方。

5.解题过程：

由余弦定理得$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdotAC\cdot\cosA$。

代入$AB=8$，$AC=10$，$\cosA=\cos60^\circ=\frac{1}{2}$，得$BC^2=8^2+10^2-2\cdot8\cdot10\cdot\frac{1}{2}=64+100-80=84$。

所以$BC=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$。

知识点总结：

1.函数与方程：函数的单调性、极值、图像的对称性、函数的交点。

2.直线与圆：直线的斜率、截距、点到直线的距离、直线与圆的位置关系。

3.数列：等差数列和等比数列的定义、通项公式、前n项和。

4.不等式：不等式组的解法、不等式的解集在平面直角坐标系中的图形。

5.三角形：三角形的角、边、高、面积、余弦定理。

题型知识点详解及示例：

1.选择题：考