河南省2024-2025学年高二下学期6月百万大联考（金太阳25-003B）数学试题及答案

绝密★启用前高二数学考试注意事项:2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡__并交回。4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={父|y=ln父},B={父∈N|父<3},则A∩B=A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.函数f的单调递减区间为俭、谦让.现有分别印着这5个字的卡片各1张,将这5张卡片排成__行,其中印着“温”的卡片排在最中间,则总的排法共有A.30种B.96种C.24种D.4种5.已知函数=2cos的图象关于点(1,0)对称,则w的最小值为6.在数列{an}中,若a1=3,an=n(an十1—an),则666是{an}的7.已知椭圆十)的左、右焦点分别是F1,F2,O是坐标原点,A是C上异于左、右顶点的点.若|AF1|=6,上F1AF2的角平分线上__点P满足P—●且|OP|=2,则C的离心率为【高二数学第1页(共4页)】●【高二数学第2页(共4页)】●8.在体积为4\的正四棱锥P-ABCD中,AB=2,E,F为底面ABCD内的任意两点,则直线PA与直线EF所成角的余弦值的最大值为二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知5cosαcosβ=2,5cos(α—β)=4,则C.tanαtanβ=1D.tan(α—β)=tanα—tanβ10.已知函数f(父)满足对任意的父,y∈R,f(父十y)—f(父十y)f(父)f(y)=f(父)十f(y)恒成立,则下列结论正确的是A.f(0)=0B.f(父)为奇函数则fD.若f(100)=0,则100是f(父)的__个周期11.若f(父)是[a,b]上的连续函数,且FI,则d父=FF(a).从几何上看,若定义在[a,b]上的函数f(父)连续且恒有f(父)≥0,则定积分父表示由直线父=a,父=b(a≠b),y=0和曲线y=f(父)所围成的图形的面积.已,则下列说法正确的是A.曲线C上恰好存在8个点到原点的距离为B.圆Ω:父2十y2=9与曲线C共有8个公共点D.曲线C围成的封闭区域的面积为12.已知单位向量a,b满足|a十则.14.小珠上午去游泳的概率为,下午去游泳的概率为.记小珠在上午不去游泳的条件下,下午去游泳的概率为P1;小珠在上午去游泳的条件下,下午去游泳的概率为P2.若P1=2P2,则P2=▲.【高二数学第3页(共4页)】●15.(13分)在△ABC中,内角A,(1)求角A的大小;求AD的长.已知D为BC边上__点,若上上BAC,AB=4,AC求AD的长.=22,AB丄AC.\如图,在三棱锥=22,AB丄AC.\(1)证明:AB丄平面PAC.P(2)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.PA-CB某杂志社为了解杂志订阅者对某杂志冷色调与暖色调的封面设计偏好是否与他们的性别有关,随机调查并收集了100名该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好数据,同时记录了他们的性别,得到如下所示的列联表.单位:人性别封面设计的色调合计冷色调暖色调男性女性合计(1)请完成以上表格,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好是否与性别有关联;(2)从这100名该杂志订阅者中随机抽取2名订阅者参加某读书会,用X表示这2名订阅者中女性的人数,求X的分布列和数学期望;【高二数学第4页(共4页)】●(3)用频率估计概率,从全国各地该杂志的所有订阅者中随机抽取部分订阅者参加书籍捐赠活动,从数学期望的角度考虑,若要使得被抽取的订阅者中偏好暖色调封面设计的人数至少为189,则至少应抽取多少名该杂志订阅者?附其中n=a十b十c十d.αα18.(17分)已知双曲线的离心率为\,O为坐标原点,过点O的直线l交C于P,Q两点,其中点P在第__象限.(1)求C的标准方程.(2)设|OP|=5.①求直线l的方程.②过点P作斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,且直线l1与C交于另__点A,直线l2与C交于另__点B.若k1十k2=3,证明直线AB过定点,并求该定点坐标.19.(17分)*,函数h(∞)在∞=0处的[ξ,η]阶帕德逼近定义为R(∞)= 且h(0)=R(0),h’(0)=R’(0),hⅡ(0)=RⅡ(0),…,h(ξ十η)(0)=R(ξ十η)(0).其中hⅡ(∞)=[h’(∞)]’,hⅢ(∞)=[hⅡ(∞)]’,…,h(ξ十η)(∞)=[h(ξ十η—1)(∞)]’.已知函数f(∞)=2e∞十∞2十1,记R(∞)为f(∞)在∞=0处的[1,1]阶帕德逼近.(1)求R(∞)的解析式.证明:当∞∈(0,1)时,2R十(3)设正项数列{tn}的前n项和为Tn,且(tn—1)etn十1十tn=(etn—1)etn—(tnetn十1十1)etn十1,高二数学考试参考答案题序123456789答案ACBCDBBAABCABDBCD 1 8评分细则:【1】第1~8题,凡与答案不符的均不得分.【2】第9~11题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得2分.【3】第12题答对第一空得2分,答对第二空得3分.1.A【解析】本题考查集合的交集与对数函数的定义域,考查数学运算的核心素养.由题意可得A=(0,十∞),B={0,1,2},所以A∩B={1,2}.2.C【解析】本题考查复数的模与充分必要条件,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.3.B【解析】本题考查复合函数的单调性,考查逻辑推理的核心素养.>0,得父>10或父<0.因为函数在(0,十∞)上单调递减,函数y=父2—10父在(10,十∞)上单调递增,在(—∞,0)上单调递减,则f(父)的单调递减区间为4.C【解析】本题考查排列组合,考查逻辑推理的核心素养.根据题意可得总的排法共有A=4×3×2×1=24种.5.D【解析】本题考查余弦函数的图象与性质,考查直观想象与数学运算的核心素养.由题意可得2cos则w十十kπ,k∈z,解得十kπ,k∈z.因为w>0,所以k=0时,w取得最小值6.B【解析】本题考查数列的项,考查逻辑推理的核心素养.因为an=n,所以an=nan十1,所以所以是常数列,所以则an=3n.由3n=666,解得n=222.7.B【解析】本题考查椭圆的离心率,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.根据题意可得PA丄PF1,延长F1P与AF2交于点H(图略),易得|AH|=|AF1|=6,由椭圆的定义可得|AF1|十|AF2|=2a,所以|AF2|=2a—6,所以|HF2|=6—(2a—6)=12—2a,由OP是△F1F2H的中位线,可得|F2H|=2|OP|=4,所以12—2a=4,解得a=4,所以C的离心率为8.A【解析】本题考查空间中直线与直线所成的角,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.设正四棱锥P-ABCD的高为h,则●解得所以.设直线PA与直线EF所成的角为θ,当直线EF与直线AC平行或重合时,θ最小,此时cosθ取得最大值,最大值为9.ABC【解析】本题考查三角恒等变换,考查数学运算的核心素养.由=cosαcosβ十得正确.cos(α所以2tan=tanα—tanβ,D错误.10.ABD【解析】本题考查函数的性质,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.令父=y=0,则f(0)—[f(0)]3=2f(0),解得f(0)=0,A正确.令y=—父,则f(0)—f(0)f(父)f(—父)=f(父)十f(—父)=0,所以f(父)=—f(—父),则f(父)为奇函数,B正确.令父=y=2,则f(4)—f(4)[f(2)]2=2f(2),因为所以[f(2)—2][2f(2)十1]=0,解得f(2)=2或,C错误.若f(100)=0,令y=100,则易得f(父十100)=f(父),所以100是f(父)的一个周期,D正确.11.BCD【解析】本题考查圆锥曲线新定义与导数的综合,考查数数学运算的核心素养.yy=—2y,画出曲线C,如图所示.所以曲线C上恰好存在4个点到原点的距离为错误.由得B正确.因为为常数),所以父正确.曲线C在第一象限围成的封闭区域的面积d父父根据曲线C的对称性可得曲线C围成的封闭区域的面积为正确.【解析】本题考查平面向量的数量积与模,考查数学运算的核心素养.13.1【解析】本题考查函数的极值,考查数学运算的核心素养.父,得f/=2父—3a十=2—3a十1=0,解得a=1.当父f(父)在(0,,(1,十∞)上单调递增,在上单调递减,即f(父)在父=1处取极小值,符合题意.【解析】本题考查全概率公式,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.设事件A为“小珠上午去游泳”,事件B为“小珠下午去游泳”,则,P1=2P2,所以十十十解得.即sinA十\●……………2分由余弦定理得sinA十………3分所以,…………4分因为A∈(0,π),所以………………5分 由S△ABC=S△ABD十S△ACD,得●C●AD●sin上BAD十●b●AD●sin上CAD,…………………7分,上CAD=因为上BAD=上BAC,所以上BAD=,……………,上CAD=因为上BAD=上BAC,所以上BAD=解得.……………13分评分细则:解得十3(b2十c2—a2)=0,得2十3(b2十c2—a2)=0,得2bcsinA\十3(b2十c2—a2)=0,可给bcsinA=S△ABC=SbcsinA=b●AD●sin上CAD,可给2分.,得出上上,得出上上第问中,由上上BAC16.【解析】本题考查线面垂直的判定、平面与平面的夹角,考查直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)证明:因为PA=AB=2,PB3分……………所以AB2十AP2=BP2,所以AB丄AP.…………………又AB丄AC,AC∩AP=A,AC,APG平面PAC,3分……………PAHCYB(2)解:取AC的中点H,连接PH,则易得PH丄AC.因为AB丄平面PAC,PHG平面PAC,所以AB丄PH,又AB∩AC=A,所以PH丄平面ABC.以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为父轴、y轴,平行于HP的直线为之轴建立如图所示的空间直角坐标系.PAHCYB-→ -→-→3,1),AB=(03,1),AB=(0,\= -→3,—1).…… -→3,—1).………7分=(2,\=(0,\-→=3y十之=0,\m●=3y十之=0,\取m=(0,1,\取m=(0,1,\-→m●AB=2父=0,……………9分-→=2a\n●PB=2a\设平面PBC的法向量为n=(a,b,设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则-→n●PC\=n●PC\…………………………11分设平面PAB与平面PBC的夹角为θ,则故平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.…………15分评分细则:【1】第(1)问中,未写出AB2十AP2=BP2,扣2分;未写出AC∩AP=A,扣1分;未写出AC,APG平面PAC,不扣分.【2】第(2)问中,未对空间直角坐标系的建立加以证明,不扣分.【3】第(2)问中,若将平面PAB与平面PBC夹角的余弦值写成—,扣1分.17.【解析】本题考查独立性检验、超几何分布与二项分布,考查数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养.解:(1)列联表如下:单位:人性别封面设计的色调合计冷色调暖色调男性女性合计………………2分零假设为H0:该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好与性别没有关联.根据列联表中的数据,得分所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好与性别有关联.…………………5分(2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2,则分所以X的分布列为X012P ………………9分所以十十分(3)用频率估计概率,从该杂志订阅者中随机抽取1名订阅者,则该订阅者偏好暖色调封面设计的概率为……………………11分设从该杂志订阅者中随机抽取n(n∈N*)名订阅者参加书籍捐赠活动,记被抽取的订阅者中偏好暖色调封面设计的人数为Y,则…………………12分根据题意易得…………………13分解得n≥350,故至少应抽取350名该杂志订阅者.……15分评分细则:【1】第(1)问中,表格中的数据填写根据正确的个数酌情给分;未写出“零假设为H0:该杂志 但是计算结果错误,比较大小正确,扣1分;未写出“我们推断H0不成立,即认为该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好与性别有关联”,扣1分.【2】第(2)问中,分布列中的数据填写根据正确的个数酌情给分.【3】第(2)问中,未说明扣2分.18.【解析】本题考查双曲线的性质及定点问题,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.解:(1)因为C的离心率为所以解得b2=7,…………2分所以C的标准方程为…………3分(2)①由|OP|=5,得点P在以O为圆心,5为半径的圆x2十y2=25上.设P(m,n)(m>0,n>0),则分解得则P(4,3),……………………6分所以直线l的方程为3x—4y=0.…………8分②当直线AB的斜率不存在时,点A,B关于x轴对称,设A(x0,y0),B(x0,—y0),则由k1十k2=3,得十即解得不符合题意,所以直线AB的斜率存在.…………………9分设直线AB:y=kx十t,由得x2—2ktx—t2—7=0,则1—k2≠0,Δ=4k2t2十4(1—k2)(t2十7)>0,即t2>7k2—7.………10分设A(x1,y1),B(x2,y2),则十分t43=3,……………12分=0,即(4k十t—3)(6k十3t十1)=0,所以4k十t—3=0或6k十3t十1=0 14分当4k十t—3=0时,直线AB的方程为y=k父十3—4k,经过定点P(4,3),不符合题意; 当6k十3t十1=0时,直线AB的方程为y=k父—2k—,经过定点(2,—.………16分综上,直线AB过定点,且定点坐标为………17分评分细则:【1】第(2)问的①中,未写出“得点P在以O为圆心,5为半径的圆父2十y2=25上”,不扣分.【2】第(2)问的②中,未讨论直线AB的斜率不存在的情况,扣1分;未写出Δ=4k2t2十4(1—k2)(t2十7)>0,即t2>7k2—7,不扣分;未舍去4k十t—3=0这种情况,扣1分.19.【解析】本题考查与导数相关的新定义问题,考查数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)解:由题意得f(父)=2e父十父2十1,fI(父)=2e父十2父,fⅡ(父)=2e父十2,则f(0)=3,fI(0)=2,fⅡ(0)=4.…………1分由f(0)=R(0),得λ0=3,…………………2分所以,得λ1—3μ1=2,……3分所以RⅡ由fⅡ,得—2μ1=4,……………4分解得λ1=—1,μ1=—1,……………………5分所以…………6分也就是证……………………7分令则在(0,1)上单调递增,……9分,所以2R十父2—3>f分(3)证明:由(tn—1)etn十1十tn=(etn—1)etn—(tnetn十1十1)etn十1,得(etn十1十etn)(tnetn十1—etn十…