第17章 特殊三角形 单元达标测试2

《第17章特殊三角形》单元综合测试题一．选择题（共10小题，满分30分）1．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（）A．20 B．16 C．12 D．16或202．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4 B．3 C．5 D．1.53．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积等于△BCE的面积；②AF＝AG；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④4．下列四组数，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，，3 D．5，12，135．如图四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+ B．2+ C．5﹣ D．6．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS7．在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D在CA的延长线上，∠BDA＝30°，则CD的长是（）A．2+2 B．4﹣2 C．4+2 D．4+49．如图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（）A．225 B．144 C．81 D．无法确定10．下列说法中错误的是（）A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．在反比例函数中，y随x的增大而 C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D．如果用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°二．填空题（共10小题，满分30分）11．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有．（填正确的序号）12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE＝25°，则∠CAB＝．13．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设：．14．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边是cm．15．一个等腰直角三角形的一条直角边是4厘米，它的面积是平方厘米．16．已知直角三角形的两边a，b满足a2+＝10a﹣25，则△ABC的面积为．17．一个直角三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的平方为．18．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为三角形．19．如图，把图1中边长分别为3和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为．20．如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．三．解答题（共7小题，满分60分）21．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，求∠C、∠ADB的度数．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝38°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．23．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．24．已知△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝2，c＝m+n．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）26．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：当腰为8时，周长＝8+8+4＝20；当腰长为4时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为8，这个三角形的周长是20．故选：A．2．解：∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF，∵∠1＝∠BEF，∴CD∥AB，∴∠EGF＝∠GEB，∴∠GEF＝∠EGF，∴△EFG是等腰三角形，∴FG＝EF＝3，故选：B．3．解：∵BE是中线得到AE＝CE，∴S△ABE＝S△BCE，故①正确；∵∠BAC＝90°，AD是高，∴∠ABC＝∠DAC，∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故②正确；∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠BAD＝∠ACB，而∠ACB＝2∠ACF，∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确．根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：C．4．解：A、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；B、∵32+22≠42，∴4，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；C、∵12+（）2≠32，∴1，，3不是勾股数，故本选项不符合题意；D、∵52+122＝132，∴5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；故选：D．5．解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝＝，∴＝．故选：B．6．解：∵CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠B＝∠D＝90°，∴在Rt△ADC和Rt△ABC中，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），故选：C．7．解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，则x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，则∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，则∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个．故选：C．8．解：如图，作BE⊥AC于E．∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝4，∵BE⊥AC，∴AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，∴DE＝BE＝2，∴CD＝DE+EC＝2+2，故选：A．9．解：直角三角形的直角边的平方＝225﹣144＝81，∴图形A的面积是81．故选：C．10．解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不合题意；B、在反比例函数中，每个象限内，y随x的增大而减小，故原说法错误，符合题意；C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，不合题意；D、如果用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°，正确，不合题意；故选：B．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠BFD，∠BCF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；②∵DE＝DF+FE，∴DB＝DF，EF＝EC，∴DE＝DB+CE，∴②选项正确，符合题意；③∵△ADE的周长为＝AD+DE，∵DE＝DB+CE，∴△ADE的周长为＝AD+DB+AE+CE＝AB+AC，∴③选项正确，符合题意；④根据题意不能得出BF＞CF，∴④选项不正确，不符合题意；⑤∵若∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，∵∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，∴∠CBF+∠BCF＝×100°＝50°，∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣50°＝130°，∴⑤选项正确，符合题意；故答案为：①②③⑤．12．解：∵BE⊥AE，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE＝25°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD＝50°，故答案为50°．13．解：用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”第一步应假设：这两条直线不平行，故答案为：这两条直线不平行．14．解：若4cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣4﹣4＝2（cm），4+4＞2，符合三角形的三边关系；若4cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣4）÷2＝3（cm），此时三角形的三边长分别为3cm，3cm，4cm，符合三角形的三边关系；∴等腰三角形的底边长为2或4cm，故答案为：2或4．15．解：∵一个等腰直角三角形的一条直角边是4厘米，∴另一条直角边为4厘米，∴等腰直角三角形的面积＝×4×4＝8（平方厘米），故答案为：8．16．解：∵a2+＝10a﹣25，∴a2﹣10a+25+＝0，∴（a﹣5）2+＝0，∴a﹣5＝0，b﹣3＝0，解得，a＝5，b＝3，∵直角三角形的两边a，b，∴当a、b为直角边时，△ABC的面积为：3×5÷2＝7.5，当a是斜边时，另一条直角边长是：＝4，则△ABC的面积为：3×4÷2＝6，故答案为：7.5或6．17．解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方＝32+72＝58；当第三边是直角边时，则有第三边的平方＝72﹣32＝40．则第三边长的平方为58或40．故答案是：58或40．18．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a为方程|x﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，∴a＝2，∴a＝b＝2，∴△ABC是等腰三角形，故答案为：等腰．19．解：4﹣3＝1，1×1＝1．故图2中小正方形ABCD的面积为1．故答案为：1．20．解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案为：2．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°，∴∠ADB＝180°﹣（∠A+∠ABD）＝180°﹣（36°+36°）＝108°．∴∠C＝72°，∠ADB＝108°．22．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝38°，∵D为BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣38°＝52°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠EBC，∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．23．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°