圆与方程测试题及答案

圆与方程测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.圆\((x-1)^2+y^2=4\)的圆心坐标是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,-1)\)2.圆\(x^2+y^2=9\)的半径是（）A.3B.9C.\(\sqrt{3}\)D.63.点\((1,1)\)到圆\(x^2+y^2-2x=0\)的圆心的距离为（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.\(\sqrt{5}\)4.圆\((x+2)^2+(y-3)^2=1\)关于原点对称的圆的方程是（）A.\((x-2)^2+(y+3)^2=1\)B.\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)C.\((x+2)^2+(y+3)^2=1\)D.\((x+2)^2+(y-3)^2=1\)5.直线\(x+y-1=0\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交且直线过圆心D.相交不过圆心6.圆\(x^2+y^2-4x+6y=0\)的圆心坐标和半径分别是（）A.\((2,-3)\)，\(\sqrt{13}\)B.\((-2,3)\)，\(\sqrt{13}\)C.\((2,-3)\)，13D.\((-2,3)\)，137.过点\((1,1)\)且与圆\(x^2+y^2=2\)相切的直线方程是（）A.\(x+y-2=0\)B.\(x-y=0\)C.\(x+y+2=0\)D.\(x-y+2=0\)8.圆\(C_1\)：\(x^2+y^2=1\)与圆\(C_2\)：\((x-3)^2+(y-4)^2=16\)的位置关系是（）A.内切B.外切C.相交D.相离9.若圆\(x^2+y^2+2x-4y+a=0\)关于直线\(y=2x+b\)对称，则\(a-b\)的取值范围是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)10.以点\((2,-1)\)为圆心且与直线\(3x-4y+5=0\)相切的圆的方程是（）A.\((x-2)^2+(y+1)^2=3\)B.\((x-2)^2+(y+1)^2=9\)C.\((x+2)^2+(y-1)^2=3\)D.\((x+2)^2+(y-1)^2=9\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下方程表示圆的是（）A.\(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)B.\(x^2+y^2-6x=0\)C.\(x^2+y^2+2y-1=0\)D.\(x^2+y^2+2x+2y+2=0\)2.圆\(x^2+y^2=4\)的相关性质正确的是（）A.圆心在原点B.半径为2C.周长为\(4\pi\)D.面积为\(4\pi\)3.直线\(x-y+1=0\)与圆\(x^2+y^2=1\)的关系说法正确的是（）A.相交B.弦长为\(\sqrt{2}\)C.圆心到直线距离为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.直线不过圆心4.已知圆\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)，以下点在圆\(C\)内部的是（）A.\((0,0)\)B.\((1,2)\)C.\((3,4)\)D.\((-1,-1)\)5.两圆\(C_1\)：\(x^2+y^2-2x-3=0\)，\(C_2\)：\(x^2+y^2-4x+2y+3=0\)的关系正确的是（）A.圆心距为\(\sqrt{5}\)B.两圆相交C.两圆半径分别为2和\(\sqrt{2}\)D.两圆内切6.圆的标准方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中（）A.圆心坐标为\((a,b)\)B.半径为\(r\)C.\(r\gt0\)D.\(a,b\)为任意实数7.过点\((0,0)\)作圆\((x-1)^2+(y-2)^2=5\)的切线，切线方程可以是（）A.\(x=0\)B.\(y=0\)C.\(y=2x\)D.\(y=-\frac{1}{2}x\)8.圆\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)关于直线\(x-y+1=0\)对称的圆的方程可能是（）A.圆心坐标变化B.半径不变C.圆心在直线\(x-y+1=0\)上D.两圆全等9.直线\(y=kx+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)相交于\(A\)，\(B\)两点，以下说法正确的是（）A.当\(k=0\)时，弦长\(\vertAB\vert=2\)B.圆心到直线距离\(d=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\)C.弦长\(\vertAB\vert=2\sqrt{1-d^2}\)D.直线恒过定点\((0,1)\)10.已知圆\(x^2+y^2=r^2\)与直线\(Ax+By+C=0\)相切，则（）A.\(C^2=r^2(A^2+B^2)\)B.圆心到直线距离等于半径C.\(r=\frac{\vertC\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)D.直线与圆有且只有一个公共点三、判断题（每题2分，共10题）1.方程\(x^2+y^2-2x+1=0\)表示一个点。（）2.圆\(x^2+y^2=1\)上的点到直线\(x-y+2=0\)的最小距离是\(\sqrt{2}-1\)。（）3.圆\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圆心为\((-1,2)\)。（）4.直线\(y=x\)与圆\(x^2+y^2=1\)相交所得弦长为\(\sqrt{2}\)。（）5.若两圆的圆心距等于两圆半径之和，则两圆外切。（）6.方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)一定表示圆。（）7.圆\(x^2+y^2=4\)关于直线\(y=x\)对称的圆的方程还是\(x^2+y^2=4\)。（）8.过圆\(x^2+y^2=r^2\)上一点\((x_0,y_0)\)的切线方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)。（）9.直线\(x+y-1=0\)与圆\(x^2+y^2-2x-2y=0\)相交。（）10.圆\(C_1\)：\(x^2+y^2=1\)与圆\(C_2\)：\(x^2+y^2-4x=0\)的公共弦所在直线方程是\(4x-1=0\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求圆\(x^2+y^2-4x+6y-3=0\)的圆心坐标和半径。答案：将圆方程化为标准方程\((x-2)^2+(y+3)^2=16\)，所以圆心坐标为\((2,-3)\)，半径\(r=4\)。2.已知圆的圆心为\((1,-2)\)，且过点\((-1,0)\)，求圆的标准方程。答案：先求半径\(r\)，\(r=\sqrt{(1+1)^2+(-2-0)^2}=2\sqrt{2}\)，则圆的标准方程为\((x-1)^2+(y+2)^2=8\)。3.求直线\(2x-y+1=0\)与圆\(x^2+y^2=5\)相交所得弦长。答案：圆心\((0,0)\)到直线距离\(d=\frac{\vert0-0+1\vert}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)，弦长\(l=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{5-\frac{1}{5}}=\frac{4\sqrt{30}}{5}\)。4.已知圆\(C_1\)：\(x^2+y^2=1\)，圆\(C_2\)：\((x-3)^2+(y-4)^2=16\)，求两圆的位置关系。答案：两圆\(C_1(0,0)\)，\(r_1=1\)；\(C_2(3,4)\)，\(r_2=4\)。圆心距\(d=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=5\)，\(r_1+r_2=5\)，所以两圆外切。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论直线\(y=kx+2\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系与\(k\)的取值的联系。答案：圆心\((0,0)\)到直线\(y=kx+2\)即\(kx-y+2=0\)的距离\(d=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}\)。当\(d\gt1\)即\(\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}\gt1\)，\(-\sqrt{3}\ltk\lt\sqrt{3}\)时，直线与圆相交；当\(d=1\)即\(k=\pm\sqrt{3}\)时，直线与圆相切；当\(d\lt1\)即\(\vertk\vert\gt\sqrt{3}\)时，直线与圆相离。2.探讨如何根据圆的一般方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)判断圆的存在情况。答案：对于圆的一般方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，通过计算\(D^2+E^2-4F\)的值判断。当\(D^2+E^2-4F\gt0\)时，表示圆；当\(D^2+E^2-4F=0\)时，表示一个点；当\(D^2+E^2-4F\lt0\)时，不表示任何图形。3.当圆\(x^2+y^2=r^2\)与直线\(Ax+By+C=0\)相交、相切、相离时，分别有哪些几何特征和代数关系？答案：相交时，圆心到直线距离\(d\ltr\)，代数上直线与圆方程联立有两个不同实数解；相切时，\(d=r\)，联立方程有一组实数解；相离时，\(d\gtr\)，联立方程无实数解。其中\(d=\frac{\vertC\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。4.分析两圆位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）与圆心距\(d\)、两圆半径\(r_1\)，\(r_2\)（\(r_1\leqr_2\)）之间的关系。答案：外离时，\(d\gtr_1+r_2\)；外切时，\(d=r_1+r_2\)；相交时，\(r_2-r_1\ltd\ltr_1+r_2\)；内切时，\(d=r_2