高三海淀区一模数学试卷

高三海淀区一模数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.在函数y=f(x)中，若f'(x)>0，则函数f(x)的单调性为：

A.递增

B.递减

C.不确定

D.先递增后递减

2.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=2，则第10项an的值为：

A.21

B.23

C.25

D.27

3.已知圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，则该圆的半径为：

A.1

B.2

C.3

D.4

4.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为：

A.1/2

B.1/3

C.2/3

D.3/4

5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f'(x)=：

A.3x^2-6x+4

B.3x^2-6x-4

C.3x^2+6x+4

D.3x^2+6x-4

6.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，则数列{an}的前n项和Sn为：

A.n^2

B.n^2-1

C.n^2+1

D.n^2-2n

7.已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1=1，q=2，则第5项an的值为：

A.16

B.32

C.64

D.128

8.已知函数f(x)=(x-1)^2-2，则f(x)的图像开口方向为：

A.向上

B.向下

C.向左

D.向右

9.已知数列{an}的前n项和Sn=n^2+2n，则数列{an}的第3项a3为：

A.5

B.6

C.7

D.8

10.已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|，则f(x)的图像在x轴上的零点个数为：

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列关于函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的性质，正确的有：

A.当a>0时，函数图像开口向上

B.当a<0时，函数图像开口向下

C.函数的对称轴为x=-b/(2a)

D.函数的顶点坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))

E.函数的极值点为x=-b/(2a)

2.下列关于数列{an}的性质，正确的有：

A.等差数列的通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d

B.等比数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)

C.等差数列的前n项和公式可以表示为Sn=n(a1+an)/2

D.等比数列的前n项和公式可以表示为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)

E.数列的极限存在当且仅当数列收敛

3.下列关于复数的性质，正确的有：

A.复数a+bi的模可以表示为|a+bi|=√(a^2+b^2)

B.复数a+bi的共轭复数可以表示为a-bi

C.复数a+bi的乘法满足(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

D.复数a+bi的除法满足(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i

E.复数a+bi的乘方满足(a+bi)^n=(a^n-b^n)+(anb+bn)/(a^2+b^2)i

4.下列关于三角函数的性质，正确的有：

A.正弦函数y=sin(x)的周期为2π

B.余弦函数y=cos(x)的周期为π

C.正切函数y=tan(x)的周期为π

D.正弦函数在第一象限是增函数

E.余弦函数在第二象限是减函数

5.下列关于立体几何的性质，正确的有：

A.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

B.在等边三角形中，中线、高线和角平分线相互重合

C.在平行四边形中，对角线互相平分

D.在矩形中，对角线相等且互相平分

E.在正方体中，所有面对角线互相垂直

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)的零点为______。

2.在等差数列{an}中，若首项a1=2，公差d=3，则第5项an的值为______。

3.圆的方程x^2+y^2-4x-6y+9=0的标准方程为______。

4.向量a=(2,3)与向量b=(-1,2)的点积为______。

5.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,-4)，则a=______，b=______，c=______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算题：已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的导数f'(x)，并求出f'(x)的零点。

2.计算题：在等差数列{an}中，已知首项a1=5，公差d=3，求第10项an和前10项和Sn。

3.计算题：已知圆的方程为x^2+y^2-4x+6y-11=0，求该圆的半径和圆心坐标。

4.计算题：已知向量a=(2,-3)和向量b=(4,2)，求向量a与向量b的点积和它们的夹角θ（θ用弧度表示）。

5.计算题：解下列三角形，已知a=5，b=7，∠C=45°。

6.计算题：已知函数f(x)=(x-1)/(x+2)，求函数的导数f'(x)，并求出f(x)在x=2时的切线方程。

7.计算题：已知数列{an}的通项公式为an=2^n-1，求该数列的前10项和Sn。

8.计算题：已知复数z=3+4i，求复数z的模|z|，共轭复数z*，以及z的乘方z^3。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案及知识点详解：

1.A（递增）：导数大于0表示函数在该点附近是递增的。

2.B（23）：等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10计算得到第10项。

3.B（2）：将圆的方程转化为标准方程(x-2)^2+(y-3)^2=2^2，半径为2。

4.C（2/3）：向量点积公式a·b=|a|*|b|*cos(θ)，代入向量的坐标计算得到cos(θ)=2/3。

5.A（3x^2-6x+4）：根据导数的定义，对函数f(x)求导得到f'(x)。

6.C（n^2+1）：根据等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，代入a1和d计算得到Sn。

7.C（64）：等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，代入a1=1，q=2，n=5计算得到第5项。

8.A（向上）：开口向上的抛物线顶点在x轴下方。

9.C（7）：根据等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，代入Sn和a1计算得到第3项。

10.B（2）：绝对值函数的零点个数为函数图像与x轴的交点个数。

二、多项选择题答案及知识点详解：

1.A、B、C、D、E：函数的单调性、导数的几何意义、等差数列和等比数列的定义及求和公式。

2.A、B、C、D、E：等差数列和等比数列的定义、通项公式和前n项和公式。

3.A、B、C、D、E：复数的定义、模、共轭复数、乘除运算和乘方运算。

4.A、B、C、D、E：三角函数的周期、奇偶性和特殊值。

5.A、B、C、D、E：平行四边形、矩形和正方体的性质。

三、填空题答案及知识点详解：

1.3：f'(x)=3x^2-6x+9，令f'(x)=0，解得x=3。

2.5，100：an=a1+(n-1)d，代入a1=5，d=3，n=10计算得到an=5，Sn=n(a1+an)/2，代入n=10计算得到Sn=100。

3.(2,3)：将圆的方程转化为标准方程(x-2)^2+(y-3)^2=2^2，得到圆心坐标为(2,3)。

4.-6：向量点积公式a·b=|a|*|b|*cos(θ)，代入向量的坐标计算得到a·b=-6。

5.a=1，b=-4，c=3：根据函数图像的性质，a>0，顶点坐标为(1,-4)，代入顶点坐标求解a，b，c。

四、计算题答案及知识点详解：

1.f'(x)=3x^2-6x+9，f'(x)的零点为x=3。

2.an=5+3(n-1)=3n+2，Sn=10(5+3(10-1))/2=100。

3.半径为2，圆心坐标为(2,3)。

4.点积a·b=2*(-1)+(-3)*2=-8，|a|*|b|=√(2^2+(-3)^2)*√(4^2+2^2)=2√5*2√5=20，cos(θ)=a·b/(|a|*|b|)=-8/20=-0.4，θ≈2.047弧度。

5.利用正弦定理和余弦定理，可求得c=√(a^2+b^2-2ab*cos(∠C))≈√(5^2+7^2-2*5*7*cos(45°))≈8.6。

6.f'(x)=(x+2)/(x+2)^2，切线斜率为f'(2)=3/4，切点坐标为(2,f(2))=(2,3/