甘肃近5年高考数学试卷

甘肃近5年高考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.2018年甘肃省高考数学试卷中，以下哪个函数的零点最多？

A.$f(x)=x^2-2x-3$

B.$f(x)=x^3-3x+2$

C.$f(x)=\sqrt{x^2-1}$

D.$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

2.2019年甘肃省高考数学试卷中，若$\triangleABC$的三边长分别为$a,b,c$，则以下哪个不等式恒成立？

A.$a^2+b^2>c^2$

B.$b^2+c^2>a^2$

C.$a^2+c^2>b^2$

D.以上都不正确

3.2020年甘肃省高考数学试卷中，以下哪个方程的解集为空集？

A.$x^2-4x+3=0$

B.$x^2-5x+6=0$

C.$x^2-6x+9=0$

D.$x^2-7x+10=0$

4.2021年甘肃省高考数学试卷中，若$y=\sinx$，则以下哪个结论正确？

A.当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$y$单调递增

B.当$x\in(\frac{\pi}{2},\pi)$时，$y$单调递增

C.当$x\in(0,\pi)$时，$y$单调递减

D.当$x\in(0,\pi)$时，$y$先增后减

5.2022年甘肃省高考数学试卷中，以下哪个函数的图像关于原点对称？

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=\sqrt{x}$

C.$f(x)=\frac{1}{x}$

D.$f(x)=x^3$

6.2018年甘肃省高考数学试卷中，若$f(x)=ax^2+bx+c$，则以下哪个结论正确？

A.当$a>0$时，$f(x)$在$x$轴两侧的图像都开口向上

B.当$a<0$时，$f(x)$在$x$轴两侧的图像都开口向上

C.当$a>0$时，$f(x)$在$x$轴两侧的图像都开口向下

D.当$a<0$时，$f(x)$在$x$轴两侧的图像都开口向下

7.2019年甘肃省高考数学试卷中，若$\triangleABC$的面积为$S$，则以下哪个结论正确？

A.$S=\frac{1}{2}ab\sinC$

B.$S=\frac{1}{2}bc\sinA$

C.$S=\frac{1}{2}ac\sinB$

D.以上都不正确

8.2020年甘肃省高考数学试卷中，若$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$，则以下哪个结论正确？

A.当$x>0$时，$f(x)$单调递增

B.当$x<0$时，$f(x)$单调递增

C.当$x>0$时，$f(x)$单调递减

D.当$x<0$时，$f(x)$单调递减

9.2021年甘肃省高考数学试卷中，若$y=\lnx$，则以下哪个结论正确？

A.当$x>1$时，$y$单调递增

B.当$x<1$时，$y$单调递增

C.当$x>1$时，$y$单调递减

D.当$x<1$时，$y$单调递减

10.2022年甘肃省高考数学试卷中，以下哪个函数的图像是周期函数？

A.$f(x)=\sinx$

B.$f(x)=\cosx$

C.$f(x)=\tanx$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.2018年甘肃省高考数学试卷中，下列哪些是复数的性质？

A.复数可以表示为实部和虚部的和

B.复数的模长是非负实数

C.两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等

D.复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律

2.2019年甘肃省高考数学试卷中，以下哪些函数属于基本初等函数？

A.$y=e^x$

B.$y=\lnx$

C.$y=\sqrt{x}$

D.$y=x^3$

3.2020年甘肃省高考数学试卷中，关于直线的方程，以下哪些是正确的？

A.$Ax+By+C=0$表示一条直线

B.斜率为$k$的直线方程可以表示为$y=kx+b$

C.如果直线垂直于x轴，那么它的方程可以表示为$x=a$

D.如果直线垂直于y轴，那么它的方程可以表示为$y=b$

4.2021年甘肃省高考数学试卷中，关于二次函数，以下哪些结论是正确的？

A.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像是一个抛物线

B.当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下

C.二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

D.二次函数的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$

5.2022年甘肃省高考数学试卷中，以下哪些是解析几何中的基本概念？

A.点到直线的距离公式

B.直线与直线之间的夹角公式

C.圆的标准方程

D.线段的长度公式

三、填空题（每题4分，共20分）

1.2018年甘肃省高考数学试卷中，若$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a^2+b^2}$的最小值是______。

2.2019年甘肃省高考数学试卷中，函数$y=2\sinx$的周期是______。

3.2020年甘肃省高考数学试卷中，直线$x+2y-1=0$与直线$3x-y+2=0$的夹角是______。

4.2021年甘肃省高考数学试卷中，二次函数$y=x^2-4x+3$的顶点坐标是______。

5.2022年甘肃省高考数学试卷中，若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\triangleABC$的内角$A$的正弦值是______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求函数$f(x)$的导数$f'(x)$，并找出函数$f(x)$的极值点。

2.计算题：已知三角形的三边长分别为$a=5$，$b=6$，$c=7$，求三角形的外接圆半径$R$。

3.计算题：解下列不等式组：

$$

\begin{cases}

2x-3y\geq6\\

x+4y\leq10\\

x\geq0\\

y\geq0

\end{cases}

$$

并画出不等式组的可行域。

4.计算题：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-2^n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。

5.计算题：已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求函数$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.C

3.D

4.A

5.D

6.A

7.A

8.A

9.A

10.C

二、多项选择题答案：

1.ABCD

2.ABCD

3.ABCD

4.ABCD

5.ABCD

三、填空题答案：

1.1

2.$2\pi$

3.$45^\circ$

4.$(2,-1)$

5.$\frac{4}{5}$

四、计算题答案及解题过程：

1.解题过程：

函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的导数为：

$$f'(x)=3x^2-6x+4$$

令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。

对$f'(x)$求导得$f''(x)=6x-6$，代入$x=1$得$f''(1)=0$，代入$x=\frac{2}{3}$得$f''(\frac{2}{3})=0$。

因此，$x=1$和$x=\frac{2}{3}$是$f(x)$的极值点。

2.解题过程：

根据海伦公式，三角形的外接圆半径$R$为：

$$R=\frac{abc}{4S}$$

其中，$S$是三角形的面积，可以用海伦公式计算：

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

其中，$p=\frac{a+b+c}{2}$是半周长。

代入已知数据得：

$$p=\frac{5+6+7}{2}=9$$

$$S=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt{6}$$

$$R=\frac{5\cdot6\cdot7}{4\cdot6\sqrt{6}}=\frac{35}{4\sqrt{6}}$$

3.解题过程：

将不等式组转化为标准形式：

$$\begin{cases}

2x-3y\geq6\\

x+4y\leq10\\

x\geq0\\

y\geq0

\end{cases}$$

画出每个不等式的图像，找出可行域。可行域是所有不等式图像交集的区域。

4.解题过程：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n-2^n}$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot3^n-2\cdot2^n}{3^n-2^n}$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{3-\frac{2^n}{3^n}}{1-\frac{2^n}{3^n}}$$

当$n\to\infty$时，$\frac{2^n}{3^n}\to0$，因此：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3-0}{1-0}=3$$

5.解题过程：

函数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$的导数为：

$$f'(x)=3x^2-12x+9$$

令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=3$。

对$f'(x)$求导得$f''(x)=6x-12$，代入$x=1$得$f''(1)=-6<0$，代入$x=3$得$f''(3)=6>0$。

因此，$x=1$是$f(x)$的极大值点，$x=3$是$f(x)$的极小值点。

代入$x=1$和$x=3$得：

$$f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1-1=3$$

$$f(3)=3^3-6\cdot