广东省惠州市2012届理科数学二模

广东省惠州市2012届高三模拟考试数学(理科）及答案本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．集合，，若，则实数的值为（）A．或B．C．或D．2．设为实数，若复数，则（）A． B． C．D．3．“”是“”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．非充分非必要4．公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项，，则等于（）A．18B．24C．60D．905．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）1A．10B．20C．30D．4016．函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 （）A．B．C．D．7．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）A．B．C．D．8．定义函数，若存在常数C，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的均值为C．已知，则函数上的均值为（） A． B． C． D．10二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）开始输出结束是否（一）必做题：第开始输出结束是否9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是人．10．右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.11．则的值为.12．由曲线,围成的封闭图形面积为.13．已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14．（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数）上一点到点、由此得故选C．二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只选做一题．9．76010．2711．212．.13．.14．815．9．【解析】．10．【解析】答案：27.由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)*1=1，n=n+1=2，依次循环s=(1+2)*2=6，n=3，注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s=(6+3)*3=27，n=4，此刻输出s=27.11．【解析】．12．【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为．13．【解析】按二项式公式展开得，函数有4个零点，等价于函数与，再利用数形结合可得．14．【解析】曲线表示的椭圆标准方程为，可知点、为椭圆的焦点，故．15．【解析】为直径所对的圆周角，则，在中，，由等面积法有，故得．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分分）解：（1）由得…………3分整理得显然∴…………4分∵，∴…………5分（2）∴＝＝＝…………8分∵∴…………9分∴…………10分∴，即函数的值域为.…………12分17．（本小题满分12分）解：（1）六个函数中是奇函数的有，，，由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数．……………2分记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知…4分（2）可取1,2,3,4……………5分,,………9分故的分布列为1234……………10分答：的数学期望为……………12分18．（本小题满分14分）解：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.………………1分∴，即四棱锥P－ABCD的体积为eq\f(2,3).………3分(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.………………4分证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.………5分∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC.………6分又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.………7分∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.………8分(3)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，AE＝AE＝eq\r(3)，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角．……………10分在Rt△ADE中，DF＝eq\f(AD·DE,AE)＝eq\f(1×\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴BF＝eq\f(\r(6),3).…………11分又BD＝eq\r(2)，在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB＝，…………12分∴∠DFB＝eq\f(2π,3)，………13分即二面角D－AE－B的大小为eq\f(2π,3).………14分解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，………9分从而eq\o(DA,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，－1,1)．设平面ADE和平面ABE的法向量分别为，由，取由，取…………11分设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，…………13分∴θ＝eq\f(2π,3)，即二面角D－AE－B的大小为eq\f(2π,3).…………14分注：若取算出可酌情给分。19．（本小题满分14分）解：（１）经计算，，，．…………3分当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，；…………5分当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，．…………7分因此，数列的通项公式为．…8分（２），………9分①②…………10分①、②两式相减，得．……………12分．………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）因为满足，……2分，解得，则椭圆方程为……4分（2）①将代入中得……6分，……7分因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分②由（1）知，所以……………11分…12分…14分21．（本小题满分14分）解：（1）

故在递减…3分

（2）

记………5分

再令

在上递增。

，从而

故在上也单调递