【课件】角的平分线第2课时课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十四章全等三角形14.3角的平分线第2课时角的平分线的判定

知识关联探究与应用 课堂小结与检测

1.角的平分线的性质定理是什么?2.回忆这个定理的证明过程，说一下文字证明题的一般步骤.知识关联角的平分线上的点到角的两边的距离相等(1)根据题意画图，标注字母，写出已知.(2)观察图形，由几何直观猜想命题正确，写出求证.(3)分析问题，写出证明过程.

【情境问题】

在我们已经学过的定理中，有一些题设和结论是可以互换的，比如平行线的性质定理和判定定理，你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗?探究与应用角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．思考：这个结论正确吗？

【探究1】

探索角的平分线的判定定理

【尝试交流】

对于上面得到的新命题，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举出反例，并画图说明.探究与应用(1)根据题意画图，标注字母，写出已知.已知

:

P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，PE=PF.(2)观察图形，由几何直观猜想命题正确，写出求证.求证

:

点P在∠AOB的平分线上.(3)分析问题，写出证明过程.

【探究1】

探索角的平分线的判定定理【尝试交流】探究与应用在Rt△POE和Rt△POF

中，

OP=OP（公共边），PE=PF（已知），∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）.｛

∴点P在∠AOB

角的平分线上.∴∠EOP=∠FOP

【探究1】用正负数表示具有相反意义的量【概括新知】探究与应用判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.

【探究1】

探索角的平分线的判定定理探究与应用【概括新知】图形已知条件结论C12PDEOCB1A2PDEOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPDEOBAPDEC角的平分线的性质和判定的区别与联系两个定理的条件与结论是相反的PD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB

【理解应用】探究与应用

例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.

【探究2】三角形的内角平分线

动手操作探究与应用分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？结论：三角形的三条角平分线相交于一点

【探究2】三角形的内角平分线

动手操作探究与应用分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.

【探究2】三角形的内角平分线探究与应用已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明结论D

E

F

A

B

C

P

N

M

分析:(1)由已知可得点P到边AB、BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等。同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明:(1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上,∴PD=PE.求证：(2)△ABC的三条角平分线交于一点.探究与应用

【探究2】三角形的内角平分线证明结论D

E

F

A

B

C

P

N

M

分析：要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.证明：由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等,∴点P在∠A的平分线上.∴△ABC的三条角平分线交于一点.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例2如图所示，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF、CE交于点D，且BD=CD.求证:AD平分∠BAC.探究与应用

【理解应用】

证明：∠BED＝∠CDF，∠BDF＝∠CDF.

BD＝CD，∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.探究与应用

【理解应用】

MENABCPOD例3：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，已知OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和.温馨提示：不存在垂线段———构造应用4+4+4=12探究与应用(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.解：连接OCMENABCPOD

【理解应用】

探究与应用

【理解应用】

如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(

)A．110°B．120°C．130°D．140°A变式

【小结】课堂小结与检测角的平分线的判定内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作用判断一个点是否在角的平分线上结论

三角形的角平分线相交于内部一点，并且这点到三边的距离相等.

【检测】课堂小结与检测1．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，则∠DAC的度数为(

)A．60°

B．30°

C．120°

D．90°A

【检测】课堂小结与检测2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(

)A．线段CD的中点

B．过点O作CD的垂线所得垂足C．CD与∠AOB的平分线的交点

D．以上均不对C

【检测】课堂小结与检测3.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连接AO并延长交BC于点D，OH⊥BC于点H

.

若∠BAC=60°，OH=5cm，则∠BAD=

°，点O到AB的距