2025年高二升高三数学暑假作业10 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）含解析

作业10圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的离心率、焦点三角形、焦点弦、中点弦问题椭圆离心率求解的5种常用方法公式1:公式2:变形证明:公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或双曲线离心率求解的5种常用方法公式1:公式证明:公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式

(1)焦点在x轴上,AB=2psin2椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆xkAB.kOM=−b2a2=e2kAB.双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2−y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则

k抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py0中点弦斜率拓展在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=−b一、单选题1．设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（

）A．4 B．8 C．16 D．322．不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（

）A． B． C． D．3．已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（

）

A． B． C．2 D．二、多选题6．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（

）A．存在点使 B．的周长为16C．的最大面积为12 D．的最大值为7．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（

）A．，B．直线的斜率为1时，C．的最小值为6D．以为直径的圆与的准线相切8．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（

）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为C． D．直线与双曲线有两个公共点三、填空题9．点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为.10．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为.四、解答题11．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程.12．已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.1．双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为．2．已知抛物线C：焦点为，过点的直线交于、两点，交的准线于点，若为的中点，则．3．已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，则的面积为.4．在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为．5．已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（

）A． B． C． D．1．如图，已知双曲线的左顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心，R为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为（

）

A． B． C． D．22．已知分别是椭圆的左､右焦点，是的右顶点，过的直线与直线交于点，射线与交于点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．已知椭圆C：的焦距为，且椭圆经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为，求l的斜率.1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．52．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．4．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．5．（2023·全国·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小作业10圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的离心率、焦点三角形、焦点弦、中点弦问题椭圆离心率求解的5种常用方法公式1:公式2:变形证明:公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或双曲线离心率求解的5种常用方法公式1:公式证明:公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式

(1)焦点在x轴上,AB=2psin2椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆xkAB.kOM=−b2a2=e2kAB.双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2−y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则

k抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py0中点弦斜率拓展在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=−b一、单选题1．设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长.【详解】根据题意，椭圆中，根据椭圆定义，的周长为.故选：C2．不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】中点弦问题利用点差法计算可得.【详解】设，，，，则，又，所以，即，即，又，，所以.故选：A3．已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用点差法求解.【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点，且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3，设，则，两式相减得，则，解得，即，所以双曲线C的渐近线方程为，故选：A4．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义以及已知和三角形面积公式，可推，，，得为等边三角形，进而在中利用余弦定理可得到a,c之间的关系式，求得答案.【详解】如图所示，由双曲线的定义可知：，所以，又有，因为，即手，所以则为等边三角形，，由余弦定理可得：，解得．故选：B5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可.【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为，由，解得，，即点的坐标为，由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为，代入双曲线的方程，有，即，，解得，所以双曲线的离心率为．故选：A二、多选题6．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（

）A．存在点使 B．的周长为16C．的最大面积为12 D．的最大值为【答案】BCD【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断.【详解】由，得.对于A：假设存在点使得，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆没有交点，所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误；对于B：的周长为，故B正确；对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故C正确；对于D：，又，所以，所以，故D正确.故选：BCD.7．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（

）A．，B．直线的斜率为1时，C．的最小值为6D．以为直径的圆与的准线相切【答案】AD【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，,,，从而可判断A；根据可判断BC；设线段的中点为，求出点到准线的距离,即可判断D.【详解】依题意可知直线过抛物线的焦点,且直线的方程可设为,

将直线方程与抛物线方程联立可得，因为，所以，,所以,，故A正确；,当时,有最小值4，故C错误；当直线的斜率为1时，则，故，故B错误；设线段的中点为，则,所以点到准线的距离为,所以以为直径的圆与的准线相切,故D正确.故选:AD.8．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（

）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为C． D．直线与双曲线有两个公共点【答案】AD【分析】A.易得焦点三角形为直角三角形，利用勾股定理求解判断；B.利用离心率为求解判断；解：C.利用离心率为，结合求解判断；D.由直线方程与双曲线方程联立，利用判别式判断.【详解】解：如图所示：因为，，所以，又，则，，由勾股定理得，解得，故A正确；则，所以渐近线方程为，故B错误；因为，所以，则，而，所以，所以，故C错误；由，消去x得，则，所以直线与双曲线有两个公共点，故D正确，故选：AD三、填空题9．点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为.【答案】/【分析】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式即可求解.【详解】由题意方程可知，，，设，所以，，则，整理得：，①，又，得，即，②，联立①②，得，即，解得.故答案为：.10．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为.【答案】【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得，两式作差可得，即，所以直线的斜率，所以直线方程为，即.故答案为：四、解答题11．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及中点公式求出直线斜率，即可求解．【详解】（1）由题意可知，得，解得．所以椭圆的方程为．（2）由题意可知直线斜率存在，设，设，，，，联立方程组，消得，因为，设中点坐标为,，所以，所以，所以或，当，中点坐标为,直线方程为：，即．当，中点坐标为,直线方程为：，即.12．已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程；（2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果.【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，设双曲线的方程（，），由已知得，，所以，.所以双曲线方程为.（2）直线与双曲线C交于A，B两点，且，联立方程组，得，当时，设，，.所以令，解得.经检验符合题意，所以.1．双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为．【答案】/3.2【分析】根据双曲线的定义和勾股定理以及面积公式求解.【详解】由双曲线的定义得，平方得，又因为，所以由勾股定理得，代入解得，因为,所以，所以点到轴的距离为，故答案为:.2．已知抛物线C：焦点为，过点的直线交于、两点，交的准线于点，若为的中点，则．【答案】/【分析】先根据三角形中位线性质得点的横坐标，再联立方程组求点的横坐标，最后根据抛物线定义求弦长.【详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作，垂足为,由抛物线，得，准线的方程为，焦点的坐标为，为的中点，，则点的横坐标为．因为直线过点且与准线相交，所以直线的斜率存在，设其方程为，联立，化简可得，方程的判别式，设，,则，又，所以，，，．故答案为：．3．已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，则的面积为.【答案】【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得.【详解】由已知得，，所以，从而，在中，，即①，由椭圆的定义得，即②，由①②得，所以.故答案为：.4．在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为．【答案】/【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，求出，的坐标，进而得到，再由点到直线的距离公式，求出的高，即可求得的面积．【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示，设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于，则，所以直线的倾斜角为，又，故直线的方程为，联立，消整理得，即，解得或，则，，所以，又原点到直线的距离为，所以，当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求．故答案为：．5．已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.【详解】设，，，，，由题意可知，，即，得，则.故选：B1．如图，已知双曲线的左顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心，R为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为（

）

A． B． C． D．2【答案】C【分析】过点作于点，求得，则可求得，的值，进而求得即为渐近线的斜率，从而求得离心率．【详解】∵，∴，又，过点作于点，在中，,,∴，，又，∴，，∴,∴，∵渐近线方程为，∴，.故选：C．

2．已知分别是椭圆的左､右焦点，是的右顶点，过的直线与直线交于点，射线与交于点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合题意可得，借助相似三角形的性质可得，即可得，，代入椭圆方程计算即可得离心率.【详解】不妨设点在轴上方，由，即有，，则，由，即，故，，故有，整理可得，故或（大于1，故舍去），故.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助点的横纵坐标，结合题意得到的，计算出点坐标，再代入椭圆中即可得解.3．已知椭圆C：的焦距为，且椭圆经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为，求l的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）利用点差法、或设直线方程、或设直线方程、或齐次化的方法来求得的斜率.【详解】（1）因为椭圆C的焦距为，且椭圆经过点，所以，，又，解得，，；故椭圆C的方程为.（2）法一：（点差法）设，，则，两式相减，得，所以l的斜率.因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以，整理得①由得，所以，同理，因为所以，整理得②②-①，得，，所以，即l的斜率为.法二：（设线）设l：，，，（讨论斜率不存在不给分，因为此种情况明显不符），消去y，整理得，所以，，因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以，所以，所以，所以，若，则直线l：过点A，不合题意，故舍去，所以，即l的斜率为.法三：设AP：，AQ：，，，，消去y，整理得，所以，因为，所以，同理，所以，，所以l的斜率.方法四：（齐次化巧解圆锥曲线问题）因为PQ不过，所以设PQ：C：，（‘1’的代换）化简得，所以，所以l的斜率为.

【点睛】求解椭圆方程的几种方法:方法一：定义法，根据椭圆的定义直接求解，一般用题中所给的椭圆长短轴，焦点等信息就能直接算出椭圆方程.方法二：待定系数法，根据椭圆焦点位置，长短轴，先设出对应的椭圆方程，然后再代入已知条件求系数.方法三：共焦点系方程：等等.1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.2．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．【答案】/【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的