2025届甘肃省高三4月二模考试数学试题（解析版）

2025年甘肃省高三月考试卷(4月)

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轨复数是

A.-1-iB.-1+iC.l-iD.1+i

【答案】A

【解析】

【详解】z=/(z+1)=z2+z=-1+i,

复数z=z(/+l)(/为虚数单位)的共软复数是TT.

本题选择A选项.

2.已知Z={x|log2x2_1},5=|xj=71-x2j,则()

A.[1,2]B.(0,2]C.5/]D.—,1

【答案】D

【解析】

【分析】由对数函数单调性解不等式及1-/20求解不等式，再由交集运算即可求解.

【详解】A={x|log2x>-1}=<xlog2x>log2y=

由I—YNO可得：-IWxVl,则3={x|-1Vx<l},

所以zn8=1,1,

l_2」

故选：D

3.对于数列｛2｝,“%=初+人”是“数列｛2｝为等差数列”的（）

A,充分非必要条件；B.必要非充分条件；

C.充要条件；D.既非充分又非必要条件.

【答案】C

【解析】

【分析】由等差数列的定义、通项公式以及充要条件的定义即可求解.

【详解】解：若数列｛%｝的通项公式为%=初+6,则%+「%=左5+1）+6-（协+切=左（左为常数）,

由等差数列的定义可得数列｛4｝为等差数列；

若数列｛%｝为等差数列，设首项为外,公差为d,则通项公式为%=%+（〃-l）d=〃1+（%-d）,

令d=k,%—d=6,则数列｛4｝的通项公式可写为%=协+6,（k,b为常数,neN）.

所以对于数列｛%｝，"％=协+6”是“数列｛%｝为等差数列”的充要条件.

故选：C.

4.已知B是两个单位向量，@与B的夹角为《，则出*（）

A.1B.1C.V2D.V3

【答案】B

【解析】

【分析】利用数量积的定义求出小b，再由B卜柄及数量积的运算律计算可得.

TT

【详解】因为万，B是两个单位向量，2与B的夹角为一，

6

所以万石=\a\161cos—=1x1x,

1111622

所以一"卜'（6万_B）=个3a2一2md+片

3x12—2百X+12=1.

2

故选：B

5.若O为坐标原点，当。4绕O点逆时针旋转工至。4'时，4的坐标为()

(55)2

4

A.B.C.D.

51)

【答案】B

【解析】

【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式可得解.

(34।TC

【详解】设点在角a的终边上，则4在角a+万的终边上,

一、，43713714

由三角函数的定义，可知sina二一,cosa二一，则sin(a+—)=cosa=一,cos(a+—)=-sina=——

552525

则点/'(cos(a+10，sin(a+19),即/'(-g,g).

故选：B.

6.在数列""｝的项2,和之间插入，・个«:1,2,3,…,MN*)构成新数列｛4｝,则％0。=()

A.13B.213C.14D.214

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意条件，求出新数列中不超过2,的数的个数，再分组计算为)。.

【详解】在2,和2用之间插入，个中=1,2,3,…,ieN*)构成数列{a,},

{%}:2,1,22,2,2,23,3,3,3,2”,…,

则数列{2"}中不超过2,的数的个数为z+[l+2+---+(z-l)]=z+"D=1(zZ+i)，

11

当1=13时，-(1329+13)=91,当；14时，5(1429+14)=105,

所以qoo=13.

故选：A

7.若函数/(x)=ln(x-1)+/+仪的图象上存在两个不同点，使得/(x)在这两点的切线与直线

y=—垂直，则。的取值范围是()

2

A.^―℃,—2-72jB.co,—2^2jU(4,+co)

C.(-oo,3)D.R

【答案】A

【解析】

【分析】由存在两个不同的点满足条件，可得出/'(x)=2存在两个大于1的解，结合根的分布讨论得出。

的取值范围.

【详解】由题意，函数的定义域为xe(l,+。)，=—L+2x+a.

因为函数/(X)图象上存在两点处的切线与直线y=-垂直，

故/<x)=_L+2x+a=2有两个不同的大于1的解，

即2f+(a—4)x—。+3=0有两个不同的大于1的根.

令g(x)=2x2+(a—4)x—a+3,

g(l)>0,a£R,

则《△二(a—4)2+8(a—3)>0,即<a.2肥，或小2母,

a-41

-------->l.a<0.

4

所以a<-2A/2-

故选：A

8.如图，在三棱锥S—45c中，平面48C,NBZC=90°且S4=48=/C=J2,若在△MC内

(包括边界)有一动点P,使得/尸与平面SSC所成角的正切值为Y6,则点尸的轨迹长为()

2

s

4兀2兀

A.——B.兀C.—D.6

33

【答案】c

【解析】

【分析】过A作_L平面5SC，〃为等边△SBC的中心，由等体积发可得/笈="，则/p与平面1sse

3

22

所成角为N4PH,所以尸〃=w，尸的轨迹为以〃为圆心，以一为半径的落在△部。内的圆弧.

33

【详解】过A作平面SBC,因为S4=45=/C=J5,

所以△SSC是边长为2的等边三角形，易知〃为△SBC的中心,

41xV2x6=-x—x2x2x^-AH>

由^S-ABC=匕1-SBC'则一X—X

32322

则2笈=逅，/尸与平面SSC所成角为N4PH,

3

因为NP与平面5SC所成角的正切值为"，所以tan/4PH=逅

22

22

解得列7=所以尸的轨迹为以〃为圆心，以一为半径的落在△勖C内的圆弧.

33

根据5〃=述，可知四边形5MHN是菱形，旦NMHNJ

33

根据对称性可知：尸所形成的轨迹是三段等长的圆弧，故尸的轨迹长为河=军

3

S

8C

B

故选：c

【点睛】关键点点睛：根据线面角的定义找到NP与平面SSC所成角，从而得尸的轨迹是解题关键.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.数据22,18,19,23,24,30,25,24,26,23的第35百分位数为22

B.数据（专匕）«=123,…,10）组成一个样本，其回归直线方程为»=x-3,其中元=8.2,去除一个异

常点（1,7）后，得到新的回归直线必过点（9,5）

C.若随机变量0：则函数/（x）=P（x<7<x+2）为偶函数

D.在2x2列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则/2变为原来的3倍

〃(ad-be)?

其中n=a+b+c+d>)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据百分位数的定义即可判断A；根据正态曲线的性质即可判断C；根据回归方程的性质即可判断

B；根据力2的公式计算即可判断D.

【详解】对于A,数据按照从小到大的顺序排列为18,19,22,23,23,24,24,25,26,30,

因为10x35%=3.5,所以数据第35百分位数是从小到大的第4个数23,故A错误；

对于B,数据=…,10）组成一个样本，其回归直线方程为/=x-3,其中元=8.2,则

y=8.2-3=5.2,

去除一个异常点（1,7）后，其中.=8.2X；0_1=9,则3=空卢工=5,得到新的回归直线必过点

（9,5）,故B正确；

对于C,因为随机变量7~N（l,b2）,所以对称轴为〃=1,则函数

f(x)=P(x<C<x+2)=P(-x<C<2-x)=/(—x)为偶函数，故C正确;

7n(ad-be)2

对于D,在2x2列联表中，力一=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d[

若每一个数据均变为原来的3倍，则

3n(9ad-9bc^n(ad-be)"

二3=3/2,则/变为原来的3倍，故D正

34(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

确.

故选：BCD.

10.函数/(%)=卜inx|+|cosx|,则()

7T

函数最小正周期为一

2

B.X=兀是函数的一条对称轴

C.函数图象有对称中心

D.若/(x)=加,xe[0,2兀)有四个解，则加=1

【答案】AB

【解析】

【分析】画出函数图像，根据图像判断各个选项的对错即可.

771,

V2sin2Ml<x<—+2左兀，左€Z

z)兀

V2sin:一—+2k7l<X<71+2左兀，左€Z

【详解】对于A：/(x)=|sinx|+|cosx|=<

371)371

V2sin.71+2左兀<X<--F2左兀#€Z

彳,)2

3兀)371

V2sinL---1-2kn<x<2兀+2kji,kGZ

L4J2

函数图像如下:

斗

2-y=6

丫丫丫丫/幻

।।।■1

■■iii

------------>

-2兀3n-7t匹。匹兀37127rx

F~221

一71

可得函数的最小正周期为一，故A正确;

2

对于B：由图可得工=兀是函数的一条对称轴，故B正确;

对于C：根据函数图象可知函数没有对称中心，故c错误;

对于D：由图可得当函数/(%)=同岗+卜0词=后时，x=j?，+，F，所以/(x)=加,xe[0,27i)

有四个解，则机也可以是后，D选项错误.

故选：AB.

2

11.已知双曲线E:3—/=1的左、右焦点分别为片，F2,过月的直线/交E的右支于A,3两点，则

下列命题箱送的是()

A.在直线片2上取不同于A的点C,若茄.工=的2,则△/大巴的面积为1

B.若直线/的斜率存在，则斜率范围为

C.当直线/的斜率为-1时，的面积为勺叵

3

D.尸为双曲线右支上任意一点，过尸作O£»:(x—4)2+/=1的两条切线/r12,切点分别为"，K,则

PH-PK的最小值为2拒-3

【答案】BD

【解析】

【分析】根据码.就=防2,可得△片/鸟是直角三角形，利用勾股定理和双曲线定义可得△片力鸟的面积,

判断A；设/的方程为：x=w+V5(m^0)，联立方程组，由方程(加2—4)/+2西町;+1=0有两个不

互为相反数的异号根得解，判断B；设直线的方程为》=-y+J?,联立方程组，由S”叫=gx2cx|%-

求解判断C；设乙HPD=a,PH=m,则两.灰=(加？+1)+「-----3,先求出加的范围即可判断

\+1

即布•元=0,所以△片/耳是直角三角形，则|/月「+|/名『=（2君）2=20,

又因为以国―以巴|=4,所以以用但闾=2,

解得△耳4耳的面积为；|4?讣恒闻=1,故A正确；

对于B,因为乙（、6,0）,直线的斜率存在且不为0,设/的方程为：X=%+君（加/0）,

联立方程］得：（加2-4）/+2a少+1=0,

27

X-4/-4=0,、

冽之一4w0

A＞0

因为直线/交£的右支于A,B两点,故＜1,

m-4

加w0

解得：me（-2,O）u（O,2）,

所以斜率上的范围为无＜—』，或左〉,，故B错误；

22

对于C,因为直线/的斜率为-1,故直线的方程为x=-7+百，

设/（石,凹），B（x2,y2）,

由B可知，联立方程得：3V2+2V5J-1=0,

.2V51

故"+72=--—>凹％=一£

JJ

DH]

对于D,设,4HPD=a,PH=m,则tana=-----二一，

PHm

因为丽.丽二网网.黑

42

m-m22Q

TTl+1)H----------3，

m2+17m2+l

—►—►2

令，=加2+1，则尸"•尸K=，+——3,

t

设。（x。，九）,贝一4）+jo=■一8x0+15（x0>2）,

因为对称轴为％=二€[2,+力），

故0则疗mm=PZ%T=。，

所以年g+j，故而.灰的最小值在/=]■时取得，最小值为《，故D错误.

2

【点睛】关键点点睛：对于D,设4HPD=a,PH=m,则两.灰=（加？+1）+1-----3,先求出加

\'m-+1

的范围即可判断D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在递增等比数列｛%｝中，已知名=1，则%=.

【答案】9

【解析】

【分析】利用等比数列性质通项公式求出q，再根据数列递增确定q和q,进而求出等比数列公式.

【详解】在等比数列｛%｝中，由等比数列性质可知为。§=“；=1•

又已知％+生=,则/、生可看作方程X?---~X+1=0的两个根.

4]=31

解这个方程（x—3）（x—；）=0,可得x=3或x=g,即<"1=3

1或＜

。5=3

因为｛4｝是递增的等比数列，所以％=g,a,=3.

设公比为4,可得生=《/，即3=；/,化简得/=9,

解得/=3或/=—3舍，又因为数列递增，所以夕=君，%=%/=9.

故答案为：9.

2

13.已知实数无，V满足f+y2_4x+2=0,则,+.2的最小值为.

【答案】3-2V2#-2V2+3

【解析】

【分析】考虑每个选项和圆的关系，考虑每个选项的几何意义即可求解

【详解】因为-4X+2=0,所以(x-2『+/=2,所以(x-2『<2,所以2-0<xW2+后,

因为1+/一4》+2=0,所以/+「=4x-2W6+4A历，当x=2+收时取等号，

2221-2广

所以二---F=---"仄=3-2：2,则二-----------^的最小值为3-2亚.

x+y4x+26+4。2x+y

故答案为：3-272

14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍薨(chumeng),其底面为矩形，

顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍蔓，EF//AB,侧面VZDE和V3CR为等边三角形,

且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有对；若48=20=4,E到底面48CD的距

离为&I，则该刍薨的体积为.

【分析】第一空：由异面直线的概念逐个判断即可，第二空：分别取AB,。。的中点M,N,将刍蔑

ABCD-EF被分为四棱锥E-AMND和三棱柱EMN-FBC.进而可求解.

【详解】由异面直线的判定定理易知：

AD与EF,BF,CF成异面直线，

BC与EF,AE,DE成异面直线，

48与CRDE成异面直线，

CD与成异面直线，

/瓦CF成异面直线，成异面直线,

共12对；

在刍薨48CD-斯中，过E作底面48CD的垂线，垂足为〃,

则下月=布，取的中点K，则尸K=2G，

HK=^FK2-HK2=1-所以ER=2-

分别取48,。。的中点N,

则刍薨ABCD-斯被分为四棱锥£-AMND和三棱柱EMN-FBC.

又因为嗅―丽°=34x2x血=,

y__a。__3IZ

P三棱柱EAW-必C_”三棱锥一”三棱锥F-AffiC-f四棱颗-M5CN，

又因为％棱锥八A/BCN=〜棱融-Z跖VD

3_

所以‘三棱柱EMN-FBC~2%棱鼾_"5。汽=4JIT,

所以该刍薨的体积为学而+4而=型JH.

33

20/—

故答案为：12；—V11

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.V4BC中，BC=6,BD=2DC-

TT

（1）角B,。所对的边为b,c,若ccosC=Z?cos3,C=—,求40的长；

3

（2）若40=2,当V48C的面积最大时，求sinN氏4c.

【答案】（1）AD=近或AD=2近

亚

10

【解析】

【分析】（1）利用边化角和二倍角公式得sin2C=sin28,所以2c+28=兀，或2C=25,分情况求ZD

的长；

（2）根据题意，A的轨迹是以。为圆心,2为半径的且除去。及5。中点的圆，显然当AD18C时，VABC

jr

的面积最大，可得NC4D=—,再利用两角和的正弦公式求解.

4

【小问1详解】

因为5c=6,BD=2DC，所以B£>=4,DC=2.

因为ccosC=bcos8,根据正弦定理，可知sinCcosC=sin5cos8,

由二倍角公式得：sin2C=sin25,

jr

所以2。+25=兀，或2C=23,即=—,或B=C,

2

7T7T

①/氏4C=—时，因为C=—,所以ZC=3,

23

在△ZDC中，根据余弦定理可得：

AD2=AC"+CD"-2AC-CD-cosC=9+4-2x3x2x-=7，

2

故AD=5;

TT

②3=C时，因为C=—,所以V48C是边长为6的等边三角形，

3

因为赤=工方+2就,

33

-,21--24—*—,4—*236414

故40=-AB+-AB-AC+-AC=—+-x6x6x-+-x36=28,

9999929

解得AD=2J7.

所以4D=J7，或40=2不；

【小问2详解】

因为4D=2,

所以A的轨迹是以。为圆心，2为半径的且除去C及AD中点的圆，

显然当18。时，V/BC的面积最大.

此时NG4D=巴，sinNBAD=^^，cosZBAD=—，

455

所以sinNBAC=sin^ZBAD+:]

6(.及363jo

=(sinABAD+cosNBAD)=x-----=--------

2,72510

16.如图，在四棱锥P-NBC。中，△上4。是一个等边三角形，底面Z8CD是平行四边形，且平面PZ。，

平面A8CD,PB=AB=4，AD=2.

(2)求平面PCD与平面P8C所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

⑵2屈

【解析】

【分析】(1)取2。的中点。，连接P。，B0,由面面垂直可得R9,平面4BCD，利用余弦定理可得

cos4=；,BD=273＞从而BD_L4D,可证平面尸40,可得证；

(2)如图，以ZX4,£出所在直线为x轴，了轴，过。作。尸的平行线为z轴建立平面直角坐标系。-xyz,

利用空间向量法求解平面尸CD与平面P6C所成角的余弦值，再由同角基本关系求解.

【小问1详解】

取40的中点。，连接P。，B0,

因为AP4D是一个边长为2的等边三角形,

所以P0_L4D,

又因为平面PAD±平面ABCD,

平面尸4DC平面48CD=4D，尸Ou平面尸40,所以POJ_平面/BCD,

又因为05u平面Z8CD,所以P0_L05,

又因为尸0=百，。5=4,解得80=拒，

在VN05中，根据余弦定理得cosZ=1+16T3=」,

2x1x42

D

C

A

所以Z=在△4D8中，由余弦定理得AD=2百，

7T

所以N4DB=—,即LAD,

2

又因为平面PAD±平面ABCD,平面PADc平面ABCD=AD,

BDu平面ABCD,

所以平面「40,P4u平面P4D,得到ADLPZ；

【小问2详解】

如图，以ZX4,£>5所在直线为无轴，》轴，

过。作。尸的平行线为z轴建立平面直角坐标系D-xyz.

5(0,273,0),C(-2,273,0),D(0,0,0),尸(1,0词,

5C=(-2,0,0),PC=(-3,2V3,-V3),DC=(-2,2A/3,0).

设平面尸CO的法向量为为=(x,y,z),

n-PC=0—3x+2,^3y—A/3Z=0,—

则《—.=>，，令歹=1得X=G，Z-1,

n-DC=0—2x+2<3y—0

所以平面尸CD的一个法向量为=(百1卜

设平面P8C的法向量为应=(七,乃,zj,

m-BC=Q=0

令％=1得Zi=2,

in-PC=01-3工1+26y1-A/SZJ=0

所以平面P8C的一个法向量而=(O/,2),

设平面尸CD与平面尸3C所成角为6,。为锐角.

贝"=鼐1

5

sin。=Jl-cos?，=2",tan。=‘也：=2戈.

5cost/

17.2022年，商汤科技(SenseTime)软件公司研制的第一款AI下棋机器人象棋专业版"元萝卜Sense

Robot”问世.2024年，商汤将大模型植入机器人推出行业首款家用四合一下棋机器人，为推介这款机器人,

该公司与某市青少年活动中心联合举办了“挑战AI下棋机器人”的象棋对弈活动，由于活动中心机器人的

数量有限，每人每天最多获得一次对弈资格，活动中心每天只抽签6次，每人在第左次被抽中的概率为

11-k,„

P=-------(左取1,2,…，6).

上k20

(1)求张明同学在第3次抽签时获得对弈资格的概率；

(2)在活动中心参与测试的有A-1型和A-2型两款机器人，活动规定：每位参赛者与机器人对弈三局，每

局均可从这两款中任选一款，假设选手选择A-1型与A-2型的可能性相同，且每局比赛结果相互独立.若

选择A-1型进行对弈，选手获胜概率为2,获胜后可得1分，若选择A-2型进行对弈，选手获胜概率为1，

33

获胜后得2分，平局或失败均不得分，记参赛者得分为随机变量X,求X的分布列及数学期望E(X).

(2)分布列见解析，E(X)=2

【解析】

【分析】(1)设“张明同学在第3次抽签时获得对弈资格”为事件A,第左(左取1,2,…,6)次被抽中为事件4，

则尸⑷=P(4)P(4)P(4),根据题意求解即可；

(2)因为每局比赛结果相互独立，则X可以取0,1，2,3,4,5,6,求得每个值对应概率，可得分布歹

即可求得数学期望.

【小问1详解】

设“张明同学在第3次抽签时获得对弈资格”为事件A,

第k(左取1,2,…,6)次被抽中为事件4,则尸(Z)=尸(%)尸(%)尸(4),

\\-k

又因为每个报名者在第左次被抽中的概率为匕=-----(左取1,2,…,6).

20

所以/(/)=811

20100

【小问2详解】

设耳：表示选手在某一局得到了，分«=0,1,2）,

则尸（8O）=LX2+4XL=L,P（BA=-X-=-,P（BA=-x-=-,

23232v17233v27236

因为每局比赛结果相互独立，

则X可以取0，1，2,3,4,5,6,

且X=0：“三局比赛均得0分”，

X=l："三局比赛中1局得1分，2局各得0分”，

X=2："三局中1局得0分，2局各得1分”或“三局中1局得2分，2局各得0分”,

X=3："三局中1局得0分，1局得1分，1局得2分”或“三局均得得1分，，，

X=4："三局中1局得0分，2局各得2分”或“三局中1局得2分，2局各得1分”,

X=5："三局中1局得1分，2局各得2分”，

X=6：“三局比赛均得2分”.

所以p(x=o)=c；I4

P(X=l)=C*1x4

i+C?吗

P(X=3)=C；I

x；+C；12

p(X=4)=C；iXi_2_

I36~72

P（X=5）=C；；x1

36

所以参赛者得分X分布列为

X0123456

]_£711711

P

8424547236216

ii711711

所以£(X)=Ox—+lx--i-2x--i-3x----F4X---i-5x---i-6x---=2.

v72424547236216

18.已知圆心在X轴上移动的圆经过点4(-4,0),且与X轴、y轴分别交于B(x,o),c(o,用两个动点.

(1)求点p(x,y)的轨迹「的方程；

(2)过4(—4,0)作直线与曲线「相交于M,N两点.

(i)£(2,0),直线EM,£N与曲线「的另一个交点分别为。，F,证明直线过定点，并求出该定

点；

(ii){纥(〃,0)}(〃=1,2,3「-,〃€?^*)为点列，直线ME",NE"与曲线「的另一个交点分别为。"，F",

s

若数列彳“鹏的前〃项和为Tn,证明16V7；<32.

SAD.E.F,,

【答案】(1)y2=4x

(2)(i)证明见解析，定点为(-1,0)；(ii)证明见解析；

【解析】

【分析】(1)根据题意，/(一4,0)与5(x,0)的中点为该圆的圆心，故圆心为s[一,o],再由囚。=手，

可得点P(XJ)的轨迹「的方程；

(2)(i)设弦"N所在直线方程为》=叩一4,设河(国,%)，"(%2，p2)，设直线EM:x=W+2,联

22

立方程组，得再租=々.勺=4,同理可得：x2xF=4,解得程今=1,故猜想若马号为定值时，直线

DR过的定点在x轴上，证明即可得定点坐标；

(2、§1z-

(ii)根据(i)的方法可得直线。过定点—9,0,从而得产之==,再利用放缩法和裂项

I4J〃一

相消法求证.

【小问1详解】

因为圆的圆心在X轴上移动，

所以/(—4,0)与5(x,0)的中点为该圆的圆心，故圆心为

又因为C(Oj)在圆上，所以|5。|=用

2

即x-4x+4

+/"T"

化简得：y2=4x,

所以点P(xj)的轨迹「的方程为/=4x；

【小问2详解】

因为弦W的斜率必不为0,故设弦W所在直线方程为》=加了-4,

x=my-4"

联立方程12-，得4叩+16=0,

y=4x

因为交于两点，故A=16加2一4义16〉0，解得加＜一2,或加＞2,

22

设㈣再,％),N(x2,y2),故％%=16,肉钎半字=16.

(i)证明：因为£(2,0),直线EM,EN与曲线「的另一个交点分别为。，F,

设直线EM:x=(y+2.

x=ty+2_

联立方程〈2,，得4勿—8=0,

y=4x

22

所以必NO=—8，XXD=2L.ZZL=4,同理可得：x2xF=4.

44

所以工也租0=16,解得xDxF=1.

由上述解答可知：过x轴上一定点的直线与抛物线交于两点时，

这两点的横坐标之积为定值，故猜想若x°x尸为定值时，直线DF过的定点在x轴上,

下面进行证明.

yFyD

因为七F="一%,可得直线DF的方程为：y-yD=~(x-xD),

Xp—XpX/7—XQ

22

令…，解得x=f6一租)+『/二①彳力一:丹%力㈤，

-

yF-yDyF-yD一~7^一一4~^)

7F曾

又因为其"=4XDx4XF=16XDXF=16,

根据题目可知，%,^尸同号，故为方=4,所以—强生=—1,

4

故直线恒过定点，定点为(-1,0)；

(ii)由(i)可知：若抛物线/=4x的弦上W与x轴交于点(凡0),

若M(玉,％),N(x2,y2),则有无也=。2,%%=—4a.

由证明出的结论可知，y1y2=16,xxx2=16,

因为{纥(〃,0)}(〃=1,2,3L・,〃€]\*)为点列，

直线"E",NE”与曲线「的另一个交点分别为。〃，Fn,

2

故xxxDn=〃2,x2xFn=n,y{yDn=-4n,y2y^=-An.

4

所以再工2%产£,=/，解得XDXFn=.

因为与:可得直线的方程为：歹-%"="—"(X—%)，

XF„~XD„XF„~XD„

由(i)同理可得：y=0时，解得》=—当h(拧，

又因为犬"用=4%x4。=n4,

2

根据题目可知为,,我同号，故为“立=/,所以(#)=—',

(21

故直线。“修过定点。.-n-,0,

所以S^NE“=6根幅一SMMEn|=-(n+4)!>>!--y21,

SSSn+

^DnE„F„=\AD„EnQ„-^nE„Q„\=~~|%“一3\

-4n-An

Sy](〃+4)卜"4

4%“出44n16

于是C-------=77---不---------=-----------

SNOEF1〃IIyD-yFn切二必〃2居〃2

…2^+-jh-^,|--

故<=16(j+：+g+…显然7；216x1=16,

1111

当〃22时，n-1n

1

故(<16|^-+1——+———+…+

〃U223n-1

所以16V7；＜32,得证.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（在,凹），（々，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为X1+%，再々的形式；

（5）代入韦达定理求解.

19.对于任意两个正数。,6（〃＜6）,记区间［凡可上曲线＞=/（x）下的曲边梯形面积为S（a,b）,并规定

S（a,a）=0,S（a,b）=-S（"a）,记S（a,x）=尸（%）-尸⑷，其中/（%）=厂'（%）.

（1）若/（x）=，时,求证:5（1,2）=5（5,10）；

JC

/、1b-aa+b

⑵若时，求证：许（亍；

（3）若/（x）=lnx+l,直线>=e与曲线S（l,x）交于"（冷必），耳马,%）两点，求证：0<xxx2<—

e

（其中e为自然常数）.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】⑴当分（x）=，时,F\x）=lnx,根据S（a,x）=/（x）-尸⑷的定义求解;

X

（2）解法一：如图可知，S（a,A）为>=：与x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积，曲面梯形的

2

面积大于S梯形0以-S梯形尸二S矩形⑼BN=传―，得证；

2ali

解法二：转化为证明：“兀",设2=/,/>1,则不等式可化为"二11（1皿,（力1）,构造函数:

1+2aa1+tx'

a

〃（%）=（/+1）In%—2z+2,利用导数证明（％+1）In/—2%+2〉0在/GQ,+8