解析几何中的解答题优化运算教学设计-高三数学一轮复习

单元及课时教学设计单元教学设计单元基本信息课程标准模块几何与代数使用教材版本2019年人教A版单元名称在解答解析几何题中优化运算单元课时数3一、单元学习主题分析主题名称优化解题思路，提升运算素养主题概述（1）内容本质：解析几何是历年高考中的主干知识点之一，涉及解析几何的试题经常出现运算量大、综合性强的特点，因此，优化数学运算、简化解题过程成了圆锥曲线问题中追求的一个目标．数学运算素养不仅是算得对、算得快，更要求学生掌握一定的运算技巧，能从多角度分析问题，尽可能地降低运算难度和运算量．因此，数学运算素养的培养离不开逻辑推理能力的提升．（2）知识上下位关系：学生已经系统学习了解析几何的相关知识点，并可以利用这些知识点解决一些中低档题目，会将几何关系转化为代数关系，并进行初步运算，但是对于综合性题目存在着运算准确率低、耗时长等问题，没有多角度分析问题、优化解题思路的意识．（3）内容蕴含的思想方法：利用数形结合的方法帮助学生将几何关系转化为代数关系；通过“执果索因”确定研究方向，建立解题过程中的目标意识．从而真正落实“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”的解析几何思想，领悟解析几何中的运算基本特征，感受“合理转化、多想少算”的解题策略．（4）育人价值：强化作图意识，通过“一题多解”引导学生思考如何有效简化解题过程中的运算量，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养．（5）明确教学重点：对图形中几何特征与数量关系的综合分析．二、单元学习目标设计单元学习目标1.初步理解优化运算的路径．2.在探究优化方案过程中，感悟解析几何结论发现的过程，体验研究解析几何的方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养．三、课时学习目标课时课时学习目标学习目标解析第1课时对2023年高考北京卷19题一题多解．通过学生自主探究，对问题多角度分析，初步感受对于不同转化方式导致解题过程繁简不一的巨大差异．第2课时总结优化运算路径．强化作图意识，通过“一题多解”引导学生思考如何有效简化解题过程中的运算量，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养．第3课时应用优化运算路径解决问题．通过让学生对高考题进行变式，拓展学生思维广度，提升对解析几何问题的认识．四、学生学情分析学情分析很多学生难以驾驭综合性比较强的解析几何问题。表面看，是由于学生缺少解题方向，畏难心理严重，缺少优化数学运算的理念与方法，即“想的少、算得多”；究其本质，学生在提出问题、分析问题的过程中缺少数形结合的意识，不能深挖几何条件背后的数量关系。由于平时缺少科学的解题训练，如忽视“反思”，导致欠缺不断优化数学运算的意识．五、各课时核心任务提炼与设计意图课时任务核心任务内容表述设计意图第1课时自主探究初探2023年高考北京卷第19题．通过学生自主探究，对问题多角度分析，初步感受对于不同转化方式导致解题过程繁简不一的巨大差异．第2课时小组交流小组成员交流解题方案。合作交流，总结解题方法，为学生搭建思考、探究的平台．方法对比各小组派代表阐述本组解题方案，相互之间对比解题过程的繁简程度．一题多解，解法对比，为后续的讨论指明了方向，让学生能说、敢说．总结优化运算路径通过方法对比，总结如何有效简化解题过程中的运算量．强化作图意识，通过“一题多解”引导学生思考如何有效简化解题过程中的运算量，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养．第3课时变式应用针对2023年高考北京卷第19题做变式改编并求解．通过让学生对高考题进行变式，拓展学生思维广度，提升对解析几何问题的认识，调动了学生的学习积极性．六、单元教学结构图课时教学设计课时题目优化解题思路，提升运算素养第2课时一、内容和内容解析内容以2023年高考数学北京卷解析几何解答题为例内容解析运算能力是最基本的数学能力．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将数学运算作为六大核心素养之一．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，主要表现为理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果．可见，数学运算不等同于数学计算，数学运算素养不仅是算得对、算得快，更要求学生掌握一定的运算技巧，能从多角度分析问题，尽可能地降低运算难度和运算量．因此，数学运算素养的培养离不开逻辑推理能力的提升．在具体教学过程中，教师要注重在数学运算过程中融入对学生逻辑思维能力的培养，引导学生从不同角度有逻辑地思考与转化数学问题，在减少运算量、降低运算难度、提高运算效率的目标指引下，助力学生优化运算思路、提升运算素养．二、学情分析解析几何因其运算繁琐、复杂等特点，成为历年高考考查学生数学运算素养的较好载体，但是很多学生难以驾驭综合性比较强的解析几何问题。表面看，是由于学生缺少解题方向，畏难心理严重，缺少优化数学运算的理念与方法，即“想的少、算得多”；究其本质，学生在提出问题、分析问题的过程中缺少数形结合的意识，不能深挖几何条件背后的数量关系。由于平时缺少科学的解题训练，如忽视“反思”，导致欠缺不断优化数学运算的意识．三、目标和目标解析目标1.初步理解优化运算的路径．2.在探究优化方案过程中，感悟解析几何结论发现的过程，体验研究解析几何的方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养．目标解析1.会在“设点”和“设线”两个基本思路和方法上做出选择；针对具体的“点”或“直线”能够选择恰当的表达形式；会用“执果索因”“先猜后证”等思想方法进行逆推；会用平面几何知识进行适度的推理与转化，发展数学抽象和逻辑推理素养．2.在探究优化运算路径的过程中，体会通过研究已知条件和要证结论之间的逻辑关系（例如解析几何问题中蕴含了哪些几何条件？这些几何条件有什么关系?从这些几何关系出发又能得到什么样的新的几何关系?某些几何关系成立需要有怎样的几何条件?）找到最优解题方案，发展直观想象、逻辑推理和数学运算的素养。教学重点对优化运算路径的选择．教学难点1.对优化运算路径的选择；2.寻找以“减少运算量、降低运算难度、提高运算效率”为目标的合理转化方式．四、教学方法分析为了让学生寻找以“减少运算量、降低运算难度、提高运算效率”为目标的合理转化方式，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中优化不同解题方案，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点的目的．在教学过程中，重视优化运算路径的选择，让学生体会到从繁到简的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容与核心素养有机结合的尝试。五、教学过程设计教师活动与任务设计学生学习活动与任务解决设计意图或达成目标核心任务一环节一引入课题，明确目标解析几何是历年高考中的主干知识点之一，涉及解析几何的试题经常出现运算量大、综合性强的特点，因此，优化数学运算、简化解题过程成了圆锥曲线问题中追求的一个目标．本节课我们针对2023年北京高考第19题进行求解分析，探索如何优化数学运算，希望对同学们今后的学习有所帮助．求椭圆的方程；针对第（2）问，我们来共同思考如下问题：1.你认为题干中的关键词有哪些?2.你想如何解决这个问题？3.根据以往的学习经验，你认为自己在解决问题过程中会遇到哪些困难？准备如何克服？动点——点；要证明的是变化中的不变关系，可以将几何中的平行关系转化为代数中的数量关系．转化过程中，不同的转化结果所带来的运算量和运算难度是不一样的．因此，我们要寻找以“减少运算量、降低运算难度、提高运算效率”为目标的合理转化方式．从学生自身学习体验出发提出问题，获得学生心理认同，搭建思考、探究的平台，为后续的讨论指明了方向，让学生能说、敢说．第（1）问比较简单，容易得到椭圆的标准方程．第（2）问通过3个设问帮助学生分析题意，梳理解题思路，明确探究目标．环节二分组探究交流我们已经在上节课进行了自主探究，现在每个小组成员之间进行交流讨论，然后每组派代表阐述本组解题方案．解法1思路清晰，难点在于化简直线的斜率时运算量较大，学生容易出错．解法2因为点的三角形式中已经蕴含了点在椭圆上的信息，所以利用三角形式进行运算会减少运算量．但是由于是化简求值，所以三角形式的优势体现得不是很充分，三角形式在求解代数式取值范围时优势会更加明显．解法3思路简洁，但是由于直线的方程繁琐而导致联立化简的过程较复杂.设直线的方程在与椭圆联立化简的过程中会减少一定的计算量，也是一种优化．在解析几何综合问题中，往往依据题目条件步步推进便可以形成解题路径，若能有逻辑地“翻译”相关条件则可以大幅度提高解题效率．“设点”和“设线”是处理解析几何综合问题常用的思路和方法，若能从优化运算思路的角度对从“点”入手还是从“线”入手进行细致比较，则迈出了运算素养提升的第一步．解法1.设点代入设点的坐标后，按照试题给出的已知条件分别求出点和点的坐标，此时两点的坐标均可以用点的横纵坐标，表示，求解直线的斜率后利用椭圆方程化简即可以得到其为定值．解法2.设点的三角形式解法3：设线联立这一环节，老师让学生交流自己的解题方案，积极参与到课堂的过程中，在轻松、融洽的教学氛围中，紧扣优化解题思路进行教学，使学生的思维有明确的方向，并使之发生碰撞，激起了学生的学习欲望，水到渠成地引出优化方案，使学生觉得很简单、很有趣．这样既加强了“双基”，又培养了学生良好的思维品质．核心任务二环节一显然，这样转化后计算量会大幅度减少．首先，不用求解点的纵坐标；其次，避免了对直线斜率的化简运算．请同学们按照这种思路对解法1和解法3的优化．解法4：所以，对于学生前面探究的解法13,计算量大，想要快速解决问题存在困难，因此想到“执果索因，优化过程”．学生对自己原先的理解产生质疑,与原有的知识产生了碰撞,产生了对优化解题过程的强烈渴望．整个教学流程体现了“以生为本,因材施教”的教学准则,让学生易于接受、掌握．环节二上述解法4和解法5是从代数角度对平行关系进行等价转化．由于解析几何兼具代数和几何的特性，所以我们是不是也可以尝试从几何角度，通过分析几何关系“执果索因”进行转化，进一步优化运算思路呢？这是典型的运用数形结合思想来简化运算的体现。环节三总结优化运算的路径对于解析几何综合问题来说，优化运算的方法和途径有很多，细节往往决定着解题的成败．在刚才的解题过程中，你有哪些感悟？1.解题方法的选择.要在“设点”和“设线”两个基本思路和方法上做出选择，关键是要注意直线与圆锥曲线联立后利用根与系数关系所得到的数式能否被有效利用．2.具体的“点”或“直线”及其形式的选择．设点时，选择哪个点，用哪种形式？设直线时，选择哪条直线，用哪种形式？往往关系着运算过程能否继续化简，问题能否继续解决．选择时要以参数少、形式简单为基本标准．

3.逆向思维明确方向.利用“执果索因”“先猜后证”等思想方法进行逆推，以在明确研究目标的情况下优化过程.4.要深挖几何条件背后的数量关系．可以利用平面几何知识进行适度的推理与转化，尽可能直接得到易于用坐标表达的数量关系．在解析几何问题的求解过程中，教师要以思路清晰、运算量小、复杂程度低为目标，引导学生在推理的严谨性、简洁性、灵活性，运算的正确性、敏捷性，以及算法的有效性和高效性选择上进行充分思考和比较，不断优化运算思路，鼓励学生在掌握数学运算和逻辑推理方法的基础上真正提升数学关键能力。环节四拓展问题，提升认识我们已经对这道试题进行了深入分析，总结了优化运算的一些路径，同学们能否针对这道题进行变式，并应用本节课所学解决问题？（根据课堂教学内容完成情况待定）变式1.改变椭圆的方程变式2.改变点位置变式3.改变两条平行线的位置变式4.改变两条线的平行关系通过让学生对高考题进行变式，拓展学生思维广度，提升对解析几何问题的认识，调动了学生的学习积极性．课堂小结六、作