专题1.5-1.6两直线的交点平面直角坐标系中的距离公式（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性

专题1.51.6两条直线的交点坐标，平面直角坐标系中的距离公式教学目标1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;2.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用;3.能准确求出两平行直线间的距离;4.会用解析法证明几何问题.教学重难点1.重点(1)会求两条相交直线的交点坐标，并利用解方程组法判断两直线位置关系；(2)能灵活运用各种距离公式解决问题．2.难点(1)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系；(2)会用解析法证明几何问题．知识点01两条直线的交点坐标（重点）1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)，一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行【知识剖析】求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．【即学即练】1.（2425高二上·全国·课后作业）直线3x+2y-18=0和-2x+5y-7=0的交点坐标为（

）A．-4,-3 B．4,3 C．-4,3 D．3,4【分析】解二元一次方程组即得交点坐标.【解析】解方程组3x+2y=18-2x+5y=7，得x=4所以所求交点坐标为(4,3).故选：B.【答案】故答案为：.知识点02两点间的距离公式（重点）【知识剖析】此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可以写成|AB|=(x【即学即练】1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq\f(|AC|,|CB|)的值为()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(1,2)C.3 D.2【答案】D【解析】由两点间的距离公式，得|AC|＝eq\r([3－－1]2＋4－02)＝4eq\r(2)，|CB|＝eq\r(5－32＋6－42)＝2eq\r(2)，故eq\f(|AC|,|CB|)＝eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2.2.（2025山东济南高二上联考）若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为()A.(－2,0)B．(1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))D．(eq\r(34)，0)【答案】D【解析】设点M(x,0)(x＞0)，由题意可知，eq\r(x2＋02)＝eq\r(52＋－32)，解得x＝eq\r(34).3.（2025贵州贵阳高二上联考）直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为________．【答案】eq\r(1＋\f(4,m2))(m≠0)【解析】直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,m)))，所以两交点之间的距离为eq\r(－1－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(2,m)))2)＝eq\r(1＋\f(4,m2))(m≠0)．知识点03点到直线的距离公式（重点）【知识剖析】（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；【即学即练】A． B．2 C． D．1【答案】D故选：D.A．4 B． C．4或 D．或【答案】C故选：C知识点04两平行线间的距离公式（重点）【知识剖析】（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；【即学即练】A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故选：C【答案】B故选：BA． B． C． D．1【答案】C故选：C.知识点05过两直线交点的直线系方程（拓展）1.过两相交直线交点的直线系方程设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2(A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0),则过l1,l2的交点的直线系方程为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m,n为参数,且m2+n2≠0).当m=1,n=0时,此方程即为直线l1的方程;当m=0,n=1时,此方程即为直线l2的方程.上面直线系方程也可以改写为A1x+B1y+C1+γ(A2x+B2y+C2)=0(其中γ为参数).γ=0时表示直线l1,但无论γ取什么实数,都不能表示直线l2.如果要包括直线l2,则可改写为A2x+B2y+C2+λ(A1x+B1y+C1)=0(其中λ为参数),但是此直线系不包括直线l1.2.直线过定点问题因为直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ)表示过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2＝0的交点的直线，所以含参数的直线过定点问题，常先将直线方程转化为f(x,y)+λg(x,y)=0的形式，再令f(x,y)=0且g(x,y)=0，则该方程组的解即为直线所过定点的坐标.【即学即练】2．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程为．【答案】x＋y＝0.【解析】法一：由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.题型01求两直线的交点坐标【典例】（2425高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线l1:3x-4y+5=0与l2A．2,3 B．73,3 C．3,7【答案】B【分析】联立方程组可解得答案.【解析】联立方程组3x-4y+5=04x-3y-13所以两直线的交点坐标为73故选：B.求两条直线的交点坐标,一般将两条直线的方程联立,若方程组有唯一解,则两条直线相交(含垂直相交),此解就是交点坐标.【变式1】（2425高二上·全国·课后作业）已知直线l1经过A1,-1,B2,-2两点，则直线l2:x-4y-13=0A．1,-1 B．5C．135,-13【答案】C【分析】求出直线l1的方程与l2的方程联立,即可解得交点坐标为【解析】设直线l1的方程为y=kx+b，因为直线l1经过所以-1=k+b-2=2k+b，解得k=-1所以l1的方程为y=-x将直线l1与直线l2的方程联立，解得所以直线l2与l1的交点坐标为故选：C.【变式2】已知直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay-2=0垂直，则l1A．15,-35 B．-35【答案】D【分析】根据两直线垂直充要条件列式求出a，再联立方程组求出交点坐标.【解析】因为直线l1:x+2y+1=0与直线所以1×4+2a=0，解得a=-2，直线l2的方程为4x-2y-2=0由x+2y+1=04x-2y-2=0，解得x=15故选：A.A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数.故选：B题型02判断两直线的位置关系——方程组法【典例】判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.(1)l1:xy=0,l2:3x+3y10=0;(2)l1:3xy+4=0,l2:6x2y1=0;(3)l1:3x+4y5=0,l2:6x+8y10=0.【分析】联立所给的直线方程得方程组,然后确定其解的个数,从而确定两直线的位置关系.[2]【解析】(1)解方程组QUOTE得QUOTE所以l1与l2相交,交点坐标是QUOTE.(2)QUOTE①×2②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,又9≠0,所以l1∥l2.(3)QUOTE①×2得6x+8y10=0,因此,①和②可以化成同一个方程,有无数组解,故①和②表示同一条直线,所以l1与l2重合.利用方程组法判断两条直线的位置关系的具体策略为：第一步：列方程组，将两条直线的方程联立,得到方程组QUOTE；第二步：解方程组；第三步：根据方程组解的个数进行判断，若方程组有唯一解,则两条直线相交(含垂直相交),此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线平行;若方程组有无数组解,则两条直线重合.A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限【答案】A直线与相交，且交点在坐标原点，故选：A.①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【解析】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为C.A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点【答案】A故选：A题型03求过交点的直线方程【变式2】经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为．【答案】x－y＝0.【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，因为它与直线x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，即λ＝－，故所求直线为x－y＝0.【分析】先求出两直线的交点坐标，再分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解.题型04三条直线的交点问题A． B． C． D．0【答案】ABD【分析】考虑三条直线交于一点，或与或平行时，满足条件，从而可求出答案.所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，故选：ABD.A． B．1C． D．【答案】C【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.故选：C1.三条直线相交于一点、两点的破解策略.(1)证明三条直线共一点时，只要将其中两条直线的交点代入第三条直线方程，方程成立即得证.(2)已知三条直线交于一点，要求直线方程中的参数，只需求出其中两条直线的交点，再将交点坐标代入第三条直线的方程，便可得到关于参数的一个方程，解方程即得所求.(3)若三条直线相交于两点，则必有两条直线互相平行，且均与第三条直线相交,以上述结论为出发点进行思考即可.2.三条直线相交于三点的破解策略(1)若三条直线有三个不同的交点，则需满足两个条件：①其中两条直线的交点不在第三条直线上；②三条直线斜率不同．(2)一类常见题型是三条直线构成三角形求参数的取值范围,此时往往用补集思想求解.【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值.故选：CA．2组 B．3组 C．4组 D．5组【答案】B【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案.故选：BA． B．3 C．1 D．【答案】CD故选：CD.题型05恒过定点问题【典例】求证:无论m为何实数,直线(m1)x+(2m1)y=m5都过定点.【分析】可先取两条特殊的直线,验证它们的交点在所给的直线上,交点即为定点,也可以将方程整理为过定点的直线系方程,然后求出直线的交点坐标,即为定点坐标.【证明】证法一:对于方程(m1)x+(2m1)y=m5,令m=1,得y=4.令m=QUOTE,得QUOTEx=QUOTE,所以x=9.又当x=9,y=4时，9(m1)+(2m1)（－4）=m5，所以点(9,4)即为所给直线经过的定点.命题得证.[7]证法二:将已知方程以m为未知数进行整理,得m(x+2y1)(x+y5)=0.由m取值的任意性,得QUOTE解得QUOTE所以无论m取何实数,所给直线都经过定点(9,4).解含有参数的直线过定点问题的方法:(1)特殊值法:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是含参数的直线所过的定点,从而问题得解.(2)分离参数法：将直线方程分项整理,含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零得方程组,方程组的解即为所求定点的坐标.【变式1】求证:无论m取什么实数,直线(2m1)x+(m+3)y(m11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.【证明】证法一:对于方程(2m1)x+(m+3)y(m11)=0,令m=0,得x3y11=0;令m=1,得x+4y+10=0.解方程组QUOTE得两直线的交点坐标为(2,3).将点(2,3)代入已知直线方程,得(2m1)×2+(m+3)×(3)(m11)=4m23m9m+11=0.这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,3).证法二:将已知方程以m为未知数,整理为(2x+y1)m+(x+3y+11)=0.要使无论m取什么实数,直线都过定点,则有QUOTE解得QUOTE所以无论m取什么实数,所给的直线都经过定点(2,3).（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.（2）分类讨论直线过原点和不过原点情况讨论截距问题.题型06对称问题(1)点A关于直线l的对称点的坐标;【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标.（2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程.（3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程.1.直线关于点对称设直线l1与l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上,并且l1//l2,点P到直线l1,l2的距离相等.2.直线关于直线对称直线l1与l2关于直线l对称,它们具有以下几何性质:①若l1与l2相交,则直线l是l1,l2夹角的平分线所在直线;②若l1与l2平行,则直线l在l1,l2之间且到l1,l2的距离相等;③若点A在l1上,则点A关于直线l的对称点B一定在l2上,此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上(即l是线段AB的垂直平分线).充分利用这些性质,可以得出多种求直线l2的方程的方法.【变式1】直线l:y=3x+3关于点A(3,2)的对称直线的方程为.【答案】3xy17=0【分析】思路1:设出所求直线方程→在直线l上取一点E(0,3)→求点E关于点A的对称点E'的坐标→由E'在所求直线上求出直线方程.思路2:设出所求直线方程→由点A到两直线的距离相等列出方程→通过解方程确定直线的待定系数的值→得到所求直线方程.【解析】解法一:设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l',则l∥l',可设l'的方程为y=3x+b(b≠3).取直线l上一点E(0,3),该点关于点A的对称点为E'(6,1),则E'在直线l'上,所以1=18+b,即b=17.所以直线l'的方程为y=3x17,即直线l关于点A(3,2)对称的直线方程为3xy17=0.解法二:设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l'.易知点A(3,2)不在直线y=3x+3上,则l∥l',故可设l'的方程为y'=3x'+b(b≠3).由点到直线的距离公式得|3×3即|b+7|=10,解得b=17或b=3(舍去).∴直线l'的方程为y'=3x'17.即所求直线的方程为3xy17=0.【解析】如图，【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，题型07利用两点间的距离公式求线段的长若已知两点间的距离及两点的坐标,并且坐标中含有参数,则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.题型08利用两点间的距离公式判断多边形的形状【答案】直角三角形,5【分析】利用两点间的距离公式算出三边的长度,再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形.故答案为：直角三角形；（1）三角形形状的判断：利用两点间的距离公式计算出各边的长度,根据边相等可以判断是等腰或等边三角形,根据勾股定理的逆定理及其推广可以判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形.（2）四边形形状的判断：利用两点间的距离公式计算各边的大小，再结合各边斜率之间的关系，便可判断各边是否平行或垂直，对边、邻边是否相等，从而得到该四边形的形状.A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形【答案】B【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式及斜率坐标公式计算判断.故选：B【变式2】已知三个点A(3,1),B(3,3),C(1,7),试判断△ABC的形状.【分析】已知三角形三个顶点的坐标,利用平面上两点间的距离公式求出三边的长,再由三边长进一步判断△ABC的形状.【解析】∵|AB|=(3+3)2|AC|=(1+3)2|BC|=(1-3∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,∴△ABC是等腰直角三角形.【易错警示】本题易犯由|AB|=|AC|直接认为△ABC是等腰三角形的错误.事实上,|AB|2+|AC|2=|BC|2,△ABC也是一个直角三角形,判断几何图形的形状要彻底.题型09点到直线距离公式的应用【答案】AB故选：AB．点到直线距离公式的应用主要是求线段的长度、判定三角形的形状、求三角形的面积或根据距离求参数的值等.解决此类问题的关键是正确运用公式,并进行合理转化.A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B故选：B．A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.故、两点间距离的最小值为.故选：B.【答案】或【分析】由距离公式，解方程得出a的值.【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可.当斜率存在时，题型10两平行线间距离公式的应用A．或8 B．或9 C．或2 D．或2【答案】A故选：A.利用两平行线间的距离公式求距离的步骤：第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.【答案】D故选：D.A． B．23 C．13或23 D．或【答案】C【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式计算即得.故选：C题型11与距离有关的最值问题【答案】5故当与直线，垂直时，直线，的距离最大，【典例2】（2425高二上·广东广州·阶段练习）已知点P(x,y)在直线x-y-1=0上的运动，则(x+2)2+(y+2)A．12 B．22 C．14【答案】A【分析】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式，可得答案.【解析】(x+2)2+(y+2)2可表示为点由点P(x,y)在直线x-y-1=0上的运动，则(x+2)2+(y+2)2的最小值为点-2,-2到直线d2故选：A.点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.最值问题的常用求法有两种：(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.【变式1】（2425高二上·广东汕头·期中）点A2,-4到直线l:mx-y-4m-8=0（m为任意实数）的距离的最大值是（A．5 B．25 C．4 D．【答案】B【分析】首先求出直线l过定点B4,-8，则A到直线l的最远距离为AB，此时直线l垂直于AB，求出AB，即可得解【解析】将直线方程mx-y-4m-8=0变形为y+8=m(x-4)，令x-4=0y+8=0，解得x=4y=-8，由此可得直线l恒过点4,-8，不妨设为所以A到直线l的最远距离为AB，此时直线l垂直于AB．又AB=所以A到直线l的距离的最大值为25故选：B.【变式2】（2425高二上·山西·期中）已知点A1,2，直线l：λ+2x+1-λy+2λ+7=0λ∈R，则AA．3 B．10 C．32 D．【答案】D【分析】先求出定点，再根据当l⊥AB时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可.【解析】将直线l的方程变形为λx-y+2+2x+y+7=0，由得x=-3y=-1，所以直线l过定点B当l⊥AB时，点P到l的距离最大，故最大距离为-3-12故选：D.【变式3】（2425高二上·广东广州·阶段练习）已知点P(x,y)在直线x-y-1=0上的运动，则(x+2)2+(y+2)A．12 B．22 C．14【答案】A【解析】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式，可得答案.【解析】(x+2)2+(y+2)2可表示为点由点P(x,y)在直线x-y-1=0上的运动，则(x+2)2+(y+2)2的最小值为点-2,-2到直线d2故选：A.题型12利用距离公式解决函数的最值问题【典例】（2425高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x-a2+y-b2可以转化为平面上点Mx,y与点NA．210 B．22 C．2+【分析】y可看作x轴上一点Px,0到点A1,2与点B3,-4的距离之和，可知当A，P，B三点共线时【解析】y=x则y可看作x轴上一点Px,0到点A1,2与点即PA+PB，则可知当A，P，B三点共线时，即PA+故选：A.对于若干个根式函数之和或差的函数，有时可将根号内的式子进行转化，转化为各点间的距离之和或差的问题，再数形结合，借助图象求其最值.【答案】题型13距离的实际应用【答案】A故选：A．对于距离的实际应用题，求解的关键是审题，通过审题并画出图形，将实际问题转化为各种距离之间的关系，再利用距离公式求解.【答案】C故选：C.一、单选题【答案】A故选：A.2．（2425高二上·全国·课后作业）已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是3,4，则AB=（

A．10 B．5 C．8 D．6【答案】A【分析】由中点坐标公式确定A，B坐标，再由两点间距离公式即可求解.【解析】设Aa,0,B0,b即A6,0所以AB=故选：A.【答案】C所以选：C.4．（2425高二上·广东东莞·阶段练习）若直线l1：x+2y-4=0与直线l2：kx-y+2k+1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（A．-16,C．-∞,-1【答案】A【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案.【解析】由题意联立x+2y-4=0kx-y+2k+1=0，解得x=即直线l1：x+2y-4=0与直线l2：kx-y+2k+1=0的交点为由题意可得2-4k2k+1>06k+1即实数k的取值范围是-1故选：A.【答案】B【分析】利用平行线间的距离公式列式计算即可.故选：B.6．（2425高二上·四川绵阳·阶段练习）若点m,n在直线l：3x+4y-13=0上，则m-12+nA．2 B．4 C．5 D．3【答案】A【分析】根据表达式特征求出点1,0到直线l的距离即可.【解析】易知m-12+n2代表点因此当两点连线与直线l垂直时，m-12其最小值为点1,0到直线l的距离d=3+0-13故选：A.A．12 B．14 C．16 D．20【答案】D8．（2425高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线l1:y=x+1，l2:y=-2x+4，l3A．1,-2 B．1,-2,3C．-1,2