2025年中考数学总复习《圆中的最值问题》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《圆中的最值问题》专项测试卷（附答案）

学校:姓名：班级：考号：

1.如图，是：。的直径，点C、。是。上的点，且8〃%,AC分别与班）、OD相交

⑴求证：点。为AC的中点；

⑵若。的半径为5,4XM=80。，点尸是线段上任意一点，试求出PC+PD的最小值.

2.如图，在Rt.Q钻中，ZAOB=90°,OA=OB=4,以点。为圆心，2为半径画圆，过点A作

。的一条切线”，切点为尸，连接。乙将。尸绕点。按逆时针方向旋转到时，连接

AH,BH,设旋转角为C（0。＜以＜360。）.

（1）当弧PH的长为3时，求a的度数，并求出此时线段0尸扫过的面积；

（2汝口图，当”=90。时，求证：BH是＜。的切线；

⑶直接写出入海的最大值与最小值的差.

3.如图1所示，等边三角形A3C内接于圆。，点尸是劣弧上任意一点（不与C重合）,

连接引、PB、PC,求证：PB+PC=PA.

【初步探索】小明同学思考如下：将△APC与点A顺时针旋转60。到AQB,使点C与点3重

合，可得「、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示,

解答下列问题：

（1）根据小明的思路，请你完成证明.

（2）若圆的半径为8,则PB+PC的最大值为.

【类比迁移】如图2所示，等腰RCMC内接于圆。，44C=9O。，点尸是弧8C上任一点

（不与8、C重合），连接尸A、PB、PC,若圆的半径为8,试求△P3C周长的最大值.

【拓展延伸】如图3所示，等腰RCMC,点A、3在圆。上，ABAC=90°,圆。的半径为

8,连接OC,则OC的最小值为（直接写答案）.

4.如图，。为等边VABC的外接圆，半径为6,点。在劣弧A8上运动（不与点A,3重

合），连接DA,DB,DC.

⑴求证：DC是4D3的平分线；

（2）四边形AD2C的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不

是，请说明理由；

⑶若点"，N分别在线段C4,CB上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一

个确定的位置，M的周长有最小值/,随着点。的运动，f的值会发生变化，求所有f

值中的最大值；

5.问题提出

(1)如图①，线段在0A=4,02=2,将。8绕点0在平面内旋转360。，A3的最大值是

最小值是_；

问题探究

(2)如图②，已知在3PC中，BP=2,BC=4,在BC上取一点。，当8D的长为多少时，

PD=pC,说明理由.

问题应用

(3)如图③，已知正方形ABCD的边长为4,圆5的半径为2,点尸是圆5上的一个动

点，求如+i，的最小值.

4_________D

①②③

6.已知：如图1,在平面直角坐标系中，A(2,—l),以"(TO)为圆心，以AW为半径的圆

交y轴于点8,连结并延长交M于点c,动点尸在线段BC上运动，长为g的线段PQ〃x

轴(点Q在点尸右侧)，连接AQ.

44•

图I图2缶用图

(1)求M的半径长和点3的坐标：

(2)如图2,连接AC,交线段尸。于点N,

①求AC所在直线的解析式：

②当PN=QN时，求点。的坐标；

③点尸在线段BC上运动的过程中，请直接写出版的最小值和最大值.

7.已知。的半径为5,匹是长为8的弦，OGLE歹于点G,点A在GO的延长线上，且

AO=13.弦跖从图1的位置开始绕点。逆时针旋转，在旋转过程中始终保持0GJ_E5,

(1)AG的最小值是,最大值是.

(2)当麻〃AO时，旋转角.

［探究］若环绕点。逆时针旋转120。，如图3,求AG的长.

［拓展］如图4,当AE切。于点E,AG交EO于点C,G//LAE于H.

(1)求AE的长.

(2)止匕时E"=,EC=.

8.如图，在RtOAB中，ZAOB=90°,OA=OB=4,以点。为圆心、2为半径画圆，点。是

。上任意一点，连接BC，0C.将OC绕点。按顺时针方向旋转90。，交。于点。，连接

AD.

⑴当AD与。相切时，

①求证：BC是:。的切线；

②求点。到的距离.

(2)直接写出%1cB的最大值与最小值的差.

9.如图1,VASC内接于。，点E为VABC的内心，连接AE并延长交。于点O,交BC于

⑴若ZD3C=35。，求ZBAC的度数.

(2)如图2,连接旗，若AE=3,跖=2,求8D的长.

(3)如图3,连接OE,若。的半径为4,弦BC=4下,设OE=x,AE=y,求y与X之间的函

数关系式及y的最大值.

10.已知：矩形AOCD的边A。长为2,点尸在射线OC上，过点0、尸的8与OP相切于

点、P.

图I图2备用图

(1)如图1,若点5在对角线上，且N8P=30。，则OC的长度是

(2)如图2,以。为原点，"为工轴建立平面直角坐标系，C(6,0),设OP=〃，

①求点5坐标(用含〃的代数式表示).

②连接第，设“=制鬻隗且。＜"6,当"取最大值时，作CELOD于E交PD于F,PB与

8交于G,求喘的值.

rr

11.如图，。的内接三角形ABC中，AB=AC,AGBC,AB±AE,点。在圆上运动.

⑴求证：AG为。的切线；

⑵若三角形"C是等边三角形时，AB=2,求3DC。的最大值；

(3)如图，连接AD,BD,当ZZME=Zn4C,ZABD=45。，tan/CDB=g时，设此时△CD3的面积

为E,VADE的面积为S2,求兴的值.

12.如图1所示，A、B、。、。四点在，。上逆时针顺序分布，且满足A8=AO.

图1图2

⑴求证：点4到NC两边的距离相等；

(2)如图2,已知m与AC相交于点E,BD为。的直径.若NCBD=30。，AD=3五,求AE的

长.

⑶已知ZA>NC,9与AC相交于点E,直线血与直线8相交于圆外一点G,若线段AD为

AD

4"”+1卜小+而

△G4C的一条高，试求:的最小值.

,253x/256EC

-2025

VAE

13.如图甲，A3是。的直径，点尸在。上，且尸4=尸氏点M是(。外一点，MB与。

相切于点5,连接。加，过点A作AC〃。”交。于点。，连接BC交于点D.

(1)求证：MC是。的切线；

(2)若OD=9,DM=16,求tan/CMO的值；

⑶如图乙，在(2)的条件下，延长02至N,使=g，在,。上找一点0,使得NQ+^MQ

的值最小，请求出其最小值.

14.如图1,四边形A2CZ)内接于O,m为直径，AD上存在点石，满足AE=CD,连结砥

并延长交8的延长线于点尸，BE与AD交于点G.连接CE,CE=BG.

图I图2

(1)求证：EF=DG.

(2)如图2,在(1)的条件下，连接CG,32.

①若tanNAOB=#，求PGD的周长.

②求CG的最小值.

15.已知：VABC中，AB=BC=6,。是VABC的外接圆.

(1)如图1,若NABC=60。，求证：AC=AB;

(2)如图2,若乙瓯=60。,。为在A8上一动点，过点3作直线AD的垂线，垂足为E.求证:

CD=DE+AE；

(3)如图3,若ZABC=120。，过点3作BhBC交AC于点乙点。是线段A3上一动点(不与4台

重合)，连接厂。，求%+2尸Q的最小值.

参考答案

1.⑴见解析

(2)56

【分析】(1)利用圆周角定理得到4cB=90。，再证明8，AC,然后根据垂径定理得到

点。为AC的中点；

(2)作点。关于的对称点C,连接CD交4?于点P,连接OC,。。，利用两点之间线

段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出4>OC=120。，过点。作于点”，然

后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出从而得到PC+PD

的最小值.

【详解】（1）证明：丁科是,;。的直径，

ZACB=90°,

OD//BC,

：.ZOFA=ZACB=90°,gp：OFLAC,

AD=CD,即点。为AC的中点；

（2）解：作点。关于AB的对称点C,连接CD交AB于点P,连接0C0C,

,/PC=PC,

：.PC+PD=PC+PD=CD,止匕时，尸C+PD的值最小，

AD=CD,

ZDOC=ADOA=80°,

ZBOC=20°,ZDOB^100°,

J.点。关于AB的对称点是C,

I.ZC'OB=ZBOC=20°,

ZDOC=120°,

过点。作，C'D于点”，则NODH=30°,CH=DH,

在RtOHD中，OH=goD=g,DH=y/3OH=^,

DC=2DH=5A/3,

即：PC+PD的值最小为5G.

【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路

径问题、含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据轴对称的性质

找出点尸位置是解题的关键.

2.(1)210°；/

(2)证明见解析

⑶8近

【分析】(1)由弧长公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案；

(2)由越是(。的切线，可得/。%=90。，证明AOP^,BOH(SAS),则NOHB=NOB4=90。，

即(汨，进而结论得证；

(3)由勾股定理得，ABN0A+0B2=4逝,如图3,过。作此应一以交圆于华、心,如

图所示，根据的最大值与最小值的差为q应，计算求解即可.

【详解】⑴解：。的半径是2,弧P"的长为不，

a7

:.—X2TIX2=-TI,解得。=210。；

3603

，线段。尸扫过的面积=券皿22=>；

3603

(2)证明：•・•初是。的切线，

/.ZOPA=90°,

Va=90°,ZAOB=90°,

ZPOH-ZAOH=ZAOB-ZAOH,艮|JZAOP=ZBOH,

在AOP和30”中，

OP=OH

<ZAOP=/BOH

OA=OB

AOP空BOH(SAS),

/.ZOHB=ZOPA=90°,HPOH±BH,

•.♦OH是半径，

是。的切线；

（3）解：由勾股定理得，ABNOA+OB。=40,

过。作H户2，相，交圆于凡、区，如图所示：

•・S^AHB的最大值与最小值的差为SAB%-SAEH}=—ABHlH2=-X4A/2X4=8A/2,

：•SAAHB的最大值与最小值的差为8应.

【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾

股定理，等知识.熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性

质是解题的关键.

3.初步探索：（1）证明见解析；（2）16;类比迁移：160+16;拓展延伸：8&-8

【分析】初步探索：（1）由旋转得AQ=",QB=PC,ZABQ=ZACP,则

ZABQ+ZABP=ZACP+ZABP=180°,所以尸、B、。三点在同一条直线上，再证明△转。是等

边三角形，贝lj尸3+PC=P3+QB=PQ=R4；

（2）当PA是：。的直径时，PA=16,此时PA的值最大，所以PB+PC的最大值是16;

类比迁移：先由NBAC=90。证明BC是：。的直径，且圆心。在BC上，则OB=OC=8,5c=16,

再证明P、B、。三点在同一条直线上，则尸8+PC=PB+Q8=尸。=五尸4,当PA是。的直径

时，PA=16,此时以的值最大，则尸8+PC=160,即可求得PBC周长的最大值是160+16;

拓展延伸：连接。A,将线段A。绕点A逆时针旋转9。。到AE,连接。E,先求得OE=8&,

再连接EC、OB,证明EACAOAB,得EC=O3=8,所以OC+828应，则OC28应-8,所以

OC的最小值为8亚-8.

【详解】解：初步探索：(1)证明：由旋转得AQ=AP,QB=PC,ZQ=ZAPC,ZABQ^ZACP,

,ZACP+ZABP=180°,

/.ZABQ+ZABP=180。，

，P、B、。三点在同一条直线上，

PB+PC=PB+QB=PQ,

MC是等边三角形，

ZAPC=ZABC=ZAPB=ZACB=60°,

：.ZQ=60°,

.•.△4PQ是等边三角形，

：.PQ=PA,

:.PB+PC=PA-

(2)机是〔。的弦，且。的半径为8,

，当PA经过圆心。，即PA是＜。的直径时，此时PA的值最大，最大值为16,

.•.PB+PC的最大值是16,

故答案为：16.

类比迁移：如图2,AB=AC,ABAC=90°,

二3。是。的直径，且圆心。在2C上,

图2

/.OB=OC=8,BC=16,

将绕点A顺时针旋转90。到.AQ3,使点C与点B重合，则QA=PA,QB=PC,ZABQ=ZACP,

ZACP+ZABP=180°,

AABQ+ZABP=180°,

，P、B、。三点在同一条直线上，

ZPAQ=90°,

PB+PC=PB+QB=PQ=JPN+QA2=J2PA2=0PA,

当PA经过圆心。，即PA是。。的直径时，此时PA的值最大，最大值为16,

.•.PB+PC的最大值为16应，

.•.M+PC+BC的最大值为160+16,

.•.△PBC周长的最大值是I6a+16.

拓展延伸：如图3,连接以，将线段4。绕点A逆时针旋转90。到AE,连接OE,

EA=OA=8,ZOAE=90°,

:.OE=^O^+E^=782+82=8A/2,

连接£C、OB,

NBA。=90。,

.\ZEAC=ZOAB=90°-ZOAC,

AC=AB,

E4c咨OAB(SAS),

,\EC=OB=S,

OC+EC>OE,

.■.OC+8>8A/2,

:.OC>8y/2-S,

.：0C的最小值为8忘-8.

【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与

性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需

要的辅助线是解题的关键.

4.⑴见解析

（2）是，s=。

⑶12班

【分析】本题考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质

等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

（1）由等边三角形的性质可得NA3C=N3AC=ZACB=6O。，圆周角定理可得ZADC=N3r>C=60。,

可得结论；

（2）将AAPC绕点。逆时针旋转60。，得到△3HC,可证DC段是等边三角形，可得四边

2

形ADBC的面积S=SADC+SBDC=SCDH=^CD,即可求解；

（3）作点。关于直线AC的对称点E,作点。关于直线BC的对称点F,由轴对称的性

质可得=DN=NF,可得DMN^j^^z=DM+DN+MN=FN+EM+MN,则当点石，点

点M点尸四点共线时，刖的周长有最小值，即最小值为所"，由轴对称的性

质可求CD=CE=CF,NECF=120。,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求

EF=2PE=6EC=6CD=t,则当。为直径时，才有最大值为12君.

【详解】（1）证明：.•"ABC是等边三角形，

・・ZABC=ABAC=ZACB=60°,

ZADC=ZABC=60°,NBDC=ABAC=60°,

JZADC=NBDC,

.二。。是一AD5的平分线；.

(2)解：四边形AD3c的面积S是线段DC的长％的函数；理由如下:

如图1,将AADC绕点。逆时针旋转60。，得到△3"C,

H

图1

:.CD=CH,/DAC=/HBC,

丁四边形ACS。是圆内接四边形,

/.ZZMC+ZDBC=180°,

/.ZDBC+ZHBC=180°,

•••点。，点8点”三点共线，

VDC=CH,NCD"=60。，

是等边三角形，

...四边形ADBC的面积S=sADC+SBDC=SCDH=；CD.与CD=与CD°，

.•.sQ=612；

(3)解：如图2,作点。关于直线AC的对称点E,作点。关于直线sc的对称点尸,

1/

F

图2

..•点。，点E关于直线AC对称，

EM=DM,

同理。N=冲，

DMN=DM+DN+MN=FN+EM+MN,

•••当E,M,N,尸四点共线时，的周长有最小值，

则连接所，交AC于V,交BC于N,连接CECF,DE,DF,作CP_L砂于P,

DMN的周长最小值为EF=t,

..•点。，点E关于直线AC对称，

JCE=CD,ZACE=ZACD,

•••点。，点/关于直线8C对称，

CF=CD,NDCB=NFCB,

：.CD=CE=CF,NECF=ZACE+ZACD+ZDCB+ZFCB=2ZACB=120(

VCP1EF,CE=CF,ZECF=120°,

；.EP=PF,NCEP=30°,

PC=-EC,PE=4ipc=—EC,

22

/.EF=2PE=V3£C=辰D=t,

•••当O有最大值时，所有最大值，即才有最大值,

•：CD为。的弦，

.•.CD为直径时，CD有最大值12,

••"的最大值为12石.

5.(1)6,2；(2)当即的长为1时，PD二PC,理由见解析；(3)5

【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识.

(1)当A,。，3三点共线，且点B在线段0A的延长线上时，点B在线段以上时，即可

得到结论；

(2)根据相似三角形的判定和性质到了即可得到结论；

(3)如图，在上取一点G,使得3G=1.由△尸叱必谢，推出票=案=：,推出PG="c,

JLJLJLJ乙乙

推出如+：PC=DP+PG,^DP+PG>DG,当。、G、尸共线时，PQ+'c的值最小，最小值

为DG=5.

【详解】解：(1)当A,。，8三点共线，且点8在线段0A的延长线上时，"的最大值

OA+OB=6,

当A,。，3三点共线，且点B在线段。1上时，秒的最小值是04-08=2,

故答案为：6,2;

(2)当即的长为1时，PD=^PC,理由如下：

QPB=2,BC=4,BD=\,

:.PB2=4,BDBC=4,

PB-=BD-BC,

.BDBP\

"Bp-BCr'

又NB=NB,

BPD^BCP,

•PDBD_1

"PC~BP

:.PD=-PC-

2，

(3)如图，在8c上取一点G,使得BG=1,连接尸3,PG,DG,

、正方形ABCD的边长为4,

1・AB=BC=CD=4,

/.CG=BC—BG=3,

•*.DG=dDC2+CG=5,

-P--B-=—2=2c,BC——4=2c,

BG1PB2

PBBC

——=—,ZPBG=ZPBC,

BGPB

/.APBG^ACBP,

•PG_BG

'~PC~~PB~2'

PG=-PC,

2

:.PD+-PC=DP+PG,

2

DP+PGNDG,

..当D、G、尸共线时，PQ+；PC的值最小，

最小值为。G=5.

6.(1)半径为瓦，8(0,3)

⑵①尸夫一2；②点Q坐标为-3；③AQ的最小值为半，最大值为冬

【分析】(1)如图1中，过点A作AEU轴，分别在RtAAEM和RtABO暇中利用勾股定理

即可解决问题.

(2)①设解析式为设以「也+%利用待定系数法即可解决问题.②可求为C=3X+3,设

点尸(x,3x+3).由题意得点N为k+：,3x+3j,因为点N落在AC上，所以3x+3=*+}-2,列方

程即可解决问题.③当点尸与C重合时，。，厂3],此时AQ=g,过点。平行BC的直线的

解析式为y=3尤-"I，过点A垂直BC的直线的解析式为y=-$T，与直线y=3尤-：的交点为

Q,,此时A。'最小，当点尸与点3重合时，。”［金，此时段=J（2-y+（T-3）J半,由此即

可判断AQ的最大值.

【详解】（I）解：如图1中，过点A作轴，

贝(jAE=l,ME=3,

AM=V32+I2=Vio,即半径为亚,

所以

OM=\,

OB=4BM2-OM-=3,即点8(0,3).

(2)解:如图2中，

①设解析式为设%c=入+6,

由题意得点c与点3关于点〃成中心对称,

设”与y轴的负半轴交于点K,连接CK,

TBC是直径，

/.ZBKC=90°,

*/BM=CM,BO=OK=3,

1•OM是5CK的中位线,

CK=2OM=2,

占

八、、C、(-2,-3z)7,

又点A（2，T）,

2k+b=-l

代入得:

-2k+b=-3

解得A=；,b=-2,

%c=/%_2，

②设为c=A+伪，代入得:

-2k+b=-3

b=3

k=3

解得:

b=3'

/.yBC=3X+3,

设点尸（x,3x+3）.

,:PN=QN=:PQ=（,PQ〃x轴，

.•.点N为,+：3x+3）,点Q（x+j3x+3j,

点N落在AC上，所以3x+3=g[+；]-2

解得--：，

所以点Q坐标为.

③如图3中，

当点p与c重合时，此时AQ=J(2.;：+(-1+3)2=］设过点。平行BC的直线的解

析式为y=3x+。，

把点叫「3］代入得：6=-|,

.，.过点2平行BC的直线的解析式为y=3x-|,

过点A垂直2c的直线的解析式为〉=-++加，则把点A(2,-1)代入得：rn=-1,

•二过点A垂直BC的直线的解析式为

与直线y=3x-|的交点为。'，此时A。‘最小(垂线段最短)，

由393,解得4

3

y=3x-5y=一

4

■■A。的最小值为*：+卜+|：=乎.

当点尸与点8重合时，。"］川，此时4。=/2。+(-1-3)2=乎,

・••硕最大值为孚.

【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、勾股定理、待定系数法、垂线段最短

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组

求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题.

___1o

7.［发现］(1)10;16;(2)90。或270。；［探究］AG=^139；［拓展］(1)隹=12,(2)y,

8

3

【分析】［发现］（1）连接山，AG,由垂径定理可得EG=4,由勾股定理可得OG=JOE?-EG?=3,

再由OA-OGVAGVOA+OG,可知当点O在线段AG上时，AG有最大值13+3=16,当点G在

线段。1上时，AG有最小值13-3=10；

（2）证明OGLOA,可得当跖在04上方时，旋转角度为90。，当斯在OA下方时，旋转角

度为270。；

［探究］如图，过点G作GQLOA于Q,求出NGOQ=60。，则NOGQ=30。，进而得到

。。=1，GQ=¥，再求出4。==,则由勾股定理得AG={AQ。+GO=呵;

［拓展］（1）由切线的性质可得N。阴=90。，则由勾股定理可得AE=JOA?-法=12;

（2）如图，过点G作GPLOE于尸，证明四边形5WGP是矩形，得至t］〃G=EP,EH=PG,证

明OGEsOPG,得到之=；=白，由止匕求出。尸T，PG==贝ijE"辞，〃G=PE=［,再证

UrJrLrJJJJ

12_CE

=

明AECsAHG得到p+1216,则CE=|.

~55

【详解】解：［发现］（1）如图所示，连接第前，

,/OG1EF,EF=8,

EG=-EF=4,

2

,/。的半径为5,

/.OE=5,

•*.OG=^OE1-EG2=3,

,/OA-OG<AG<OA+OG,

J当点。在线段AG上时，AG有最大值13+3=16,当点G在线段OA上时，AG有最小值

13-3=10,

故答案为：10;16；

/.OG1OA,

，当所在0A上方时，旋转角度为9。。，当跖在3下方时，旋转角度为180。+90。=270。,

故答案为：90。或270。；

［探究］:如图，过点G作GQLOA于Q,

OG=3,

ZOGQ=30°,

■°Q=^GQ=¥，

323

/.AQ=OA-OQ=13--=—

在Rt^AQG中,由勾股定理得AG=JA02+3=底；

［拓展］：(1)切。于E,

/.ZOEA=90°,

在RtZXAEO中,由勾股定理得AE=JOA2—0石2=12;

HGLAE,OE±AE9

，四边形石"G尸是矩形，

:.HG=EP,EH=PG,

NOGE=ZOPG=90°,ZGOE=ZPOG,

/.OGEsOPG,

.OGOEEG

'^OP~^G~~PG'

.3_5_4

.OP_§一拓，

912

:.OP=~,PG=——,

55

:.EH=—,HG=PE=OE-OP=5--=—

555

OE±AE,HG.LAE,

/.CE//HG,

AECs&AHG

,AE_CE

,丽二丽’

12_CE

55

:.CE=-,

3

故答案为：y,|.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的性质与判定，求旋转

角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定等等，通过作出辅

助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键.

8.(1)①详见解析；②百

(2)872

【分析】(1)①由切线的性质得加＞。=90。，再证300AoD(SAS),根据全等三角形对

应角相等，可得N3CO=4DO=90。，即可证明是(。的切线；②过点。作CELO3,垂足

为E,则CE即为点。到QB的距离，根据力℃=；8。。。=；。"。?即可求解；

(2)作直线于点H,交。于G和3,当点。位于G处时，S“B取最小值，当。

位于G处时，工研取最大值，则最大值与最小值的差为

【详解】(1)①证明：•「AD与。相切，

/.ZADO=90°,

*.*ZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOB-ZAOC=ZCOD-ZAOC,

即ZCOB=ZAOD,

又＜OB=OA,OC=OD,

：.BOC-AQD(SAS).

/.ZBCO=ZADO=90°.

又Yoe是。的半径，

••.8C是。的切线；

②如图，过点。作CELOB,垂足为E,则CE即为点。到。8的距离，

BC=y]OB2-OC2=442—2?=2y/3,

'：sBOC=^BCOC=^OBCE,

即点。到。8的距离为名.

(2)解：RtOAB中，ZAOB=90°,OA=OB=4,

・・AB=y/OA2+OB2=A/42+42=4A/2.

如图，作直线8,钻于点”，交。于G和

由题意知，当点。位于G处时，S△皿取最小值，当。位于g处时，工心取最大值，

的最大值与最小值的差二-GH)=；A2CG=；＞＜4&x4=8e.

【点睛】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆到直

线的距离，解题的关键是掌握切线的判定方法，找出工皿取最值时点。的位置.

9.(l)ZB4C=70°

(2)50=6

(3)y=-；/+4,y的最大值4

【分析】本题考查三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理；

(1)由点E为7ABC的内心，可得AE和3E是VABC的角平分线,则ABAD=ACAD,ZABE=ZCBE,

再根据圆周角定理得到4®C=NMC=35。，即可得至lJ/r®C=4AD=NC4D=35。，最后根据

NBAC=ZBAD+ZCAD=70°求解；

(2)^ZABE=ZCBE,NDBC=NBAD=NCAD,可得ZDBE=NBED,得至1］如=0段则

DF=DE-EF=BD-2,DA=DE+AE=BD+3,再证明得至［J%=当，代入解方程

UrL)D

即可；

(3)连接8交8C于“，连接08,过。作0N_L"＞于N,先利用垂径定理求出&D"E=4,

则AD=OE+AE=4+y,再根据0N_LAO,得至I」AN=DN=：AD=2+；y,OE2-EN2=ON2=OD1-DN2,

代入后整理得到片-：《+4,再根据二次函数的性质求最大值即可.

【详解】(1)解：•••点E为VABC的内心,

/•AE和砥是VABC的角平分线，

，ZBAD=ZCAD,ZABE=/CBE,

CD=CD,NDBC=35。,

ZDBC=ZDAC=35°,

，ZDBC=ZBAD=ZCAD=35°,

，ABAC=ZBAD-^-ZCAD=70°；

(2)解：VZABE=ZCBE,ZDBC=ZBAD=ZCAD,

，ZDBE=ZDBC+ZCBE=ABAD+ZABE=ABED,

BD=DE,

•/AE=3,EF=2,

/.DF=DE-EF=BD-2,DA=DE+AE=BD+39

NDBC=NBAD,ZBDF=ZBDA,

/\DBF^/\DAB,

•DBDA

••5F-DB?

•DBBD+3

9*BD-2~DB'

解得班》=6；

(3)解：连接OD交BC于"，连接。8,过。作ONJLAD于N,

D

ZBAD=ZCAD,

••BD=CD,

8垂直平分3C,

/.BM=-BC=2yf3,

2

OB=OD=4,

OM=>JOB2-BM2=卜-仅⑹？=2,

DM=OD-OM=4-2=2,

/.BD=y/DM2+BM2=J2?+(2道『=4,

由(2)得BD=DE=4,

'：AE=y,

/.AD=DE+AE=4+,

ONIAD,

：.AN=DN=^AD=2+^y,?ONE?OND90?,

/.EN=AN-AE=2-,OE2-EN2=ON2=OD2-DN2,

OE=x,

X2一(2-9)=ON2=42-^2+^y^,

整理得尸-；/+4,

y=-；/+4?4,

.,.当x=0即。与E重合时，y=-；/+4=4最大.

10.⑴动

⑵①8&，-12+口)；②(

【分析】(1)连接3P,求解ZB/®=90。，ZDBP=90o-30°=60°,ZDOP=ABPO=30°=Z.ODP,结

合AO=CZ)=2,ZODC=60°,进一步可得答案.

(2)①如图，过B作即，OC于J,则々"=90。，分两种情况：当"<6时，当心6时，如

图，此时CP=“-6,再进一步求解即可；

②如图，由----=2=4一J"'1力=可得当"=3时，M最大，止匕时

-OP-CD八"，）"4

2

即=-：/+》=1，8已：），尸（3,0）,。（6,2）,求解为y="同理可得：BP为:

可得求解GP=讲，过/作尸KLCD于K,而CEJ_8,ZOCD=90°,可得

tanZDOC=tanZJDCE=|=!=!^,设尸K=/,贝|CK=3九可得空_五_2,可得尸尸=岖，进

63腿而丁行11

一步可得答案.

【详解】（1）解：连接的,

;过点0、尸的8与DP相切于点尸，ZODP=30°.

ZBPD=90°,ZDBP=90°-30°=60°,

*/BO=BP,ZDBP=ZDOP+ZBPO,

/.ZDOP=ZBPO=30°=ZODP,

•••矩形AOCD的边AO长为2,

/.AO=CD=2,ZODC=60°,

/.OC=CDtan600=2百.

(2)解：①如图，过3作即，OC于J,则NR7P=90。,

VOP=n,BO=BP,

：.OJ=PJ=-n,

2

当〃V6时，

;矩形A。。。，OP=n,C(6,0),AO=2,

..CP=6-n,CD=AO=2,NOCD=90。，

结合切线性质可得：NBPD=90°=NPCDZBJP,

/.NBPJ=90°-ZDPC=ZPDC,

tanZ.BPJ=tanNPDC,

•BJ_CP

**~pj~~CD"

BJ6-n

，「二丁，

—n

2

•123

••DJ——〃H—n.

42

当心6时，如图，此时CP=〃-6,

同理可得：tanNBPJ=tanZPDC,

•BJ_CP

••~pj~~CD"

BJ_n-6

，L亏，

—n

2

・\BJ=—n2——n,

42

.Jl123)

…匕y+2w}

综上：«:”广；/+34；

②如图,

〃,

42

84

3

当〃二-4--=3时，M最大,

2x

此时夕=-32+3尸(3,0),0(6,2),

42"I,Brib

设OZ）解析式为产巴则6e=2,

解得：e=；

.•.8解析式为丫=>

93

e-=-k+b

设的解析式为尸丘+。,则42

Q=3k+b

%」

解得:2

6,

2

39

尸解析式为：y=——x+—,

22

1

y=—x

联立3

39

y=——x+—

22

27

x=——

解得:11

9，

y=­11

二.二2

Gn,nj,

过/作FK_LC。于K,而CEJ_QD,ZOCD=90°,

ZDOC=ZDCE=90°-ZODC,

•FKLCD,ZOCD=90°,

FK//OC,

DFKsDPC,

•FKDKDF

••CP~~DC~~DP"

.f_2~3f

••32'

解得：f=M

g

.••空二旦

DP311

VCP=3,CD=2,ZOCD=90°,

PF巫

11

3A/13

•G尸一"1F」

…FP97B3-

11

【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，相似三角形的判

定与性质，锐角三角函数的应用，一次函数，二次函数的应用，切线的性质，本题的

难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键.

11.⑴见解析

(2)

4

⑶E

【分析】（1）连接A。并延长，交BC于点F,连接08OC,证得=再利用等

腰三角形三线合一性质证得。尸，为，再用平行线性质可证得结果；

⑵过点。作孙先求得s皿邛皿当点。与点A重合时，S”最大，此

时3DCD也最大，据此求解即可；

（3）如图，分别延长AE、3。相交于点尸，过点。作DKL”，过点。作CQBZ）,连接A。

并延长，交BC于点H,连接CJ,设CJ=4a,则CD=3a,再分别用含有。的代数式表示出

H及S2的面积，再求解即可.

【详解】（1）证明：连接A。并延长，交BC于点尸,连接。民。。，

:.ZAOB=ZAOC,

:.ZFOB=ZFOC,

OB=OC,

OF±BC,

AG//BC,

AGLOA,

，AG是。的切线;

(2)如图，过点。作CULM,

三角形ABC是等边三角形时,AB=2,

/.AB=AC=2,ZBAC=60°,

ZBDC=ZBAC=60°

在RtACDH中，sinNCDH=老，

CH=CD.sinZCDH,

5„=-BD.CH=-BD.CD.sinZ.CDH=-BD.CD.sinZ60°=—BD.CD

BnDCr2224

点。在圆上运动.

二当点。与点A重合时，S.c最大，为£X2=6,

4

此时3DCD也最大，

•••—BD.CD=y[i

4

得BD.CD=4,

.•.3D8的最大值为4;

(3)如图，分别延长依班》相交于点尸，过点。作。KUP,过点。作CA&),连接AO

并延长，交BC于点“，连接C7,

A

G

ZE'、K

\\力、

rD

BH

由（1）结论得

BH=HC

:.ZJBH=NJCH

AB=AC^

ZABC=ZACB

.\ZABJ=ZACJ=45°

.\ZABJ=ZACD=45°

.•."07=45。+45。=90。

4

tanZCDB=-

3

・•・设C7=4a,贝lJCQ=3〃，

由勾股定理得：

JD=y]CD2+CJ2=7(3a)2+(4a)2=5a

BD=5Q+4。=9a

Se,=-CDCJ=-CLDJ

CDJ22

crCD*CJ3ax4a12

DJ5a5

,11254

..5v,=—x9Q〃x——a=­a2

1255

ZDAE=ZDAC

DE=DC=3。，

四边形ABDE是圆内接四边形,

:.ZDEK=ZABD=45°

DKLAP,

•.厢是等腰直角三角形，

V23A/2

..KE=KD=—DE=-----a

22

AB±AE,ZABD=45°

/.ZP=45°

Z丽是等腰直角三角形，

:.DP=DE=3a,KP=KE=a,

2

AP±AB,AP±DK

:.DK//AB

:._PKD^_PAB

.PKPD3a_1

"PA~PB~3a+9a~4

PA=4PK=4x^^a=6y/2a

2

:.AE=PA-PE=6y/2a-3缶=3正a

S,=—x3y[^ax----a=-ci~

2222

【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质与判定定

理、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质以及特殊角

的锐角三角函数值，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不

错的中考压轴题.

12.(1)见解析

(2)AE=3#-3&

些

I；2024

【分析】(1)连接AC,首先根据同弧所对的圆周角相等得到ZAC3=ZAC。，然后根据角

平分线的性质定理求解即可；

(2)过点Z)作。。EC,交2C延长线于点。,根据平行线分线段成比例得到皆=||,

得到tanNG4D="=g,设Z)E=a,则8E=疯?，得出a+氐=6,求出DE=3g-3,BE=9-3^3,

BE3

然后证明出△B-在，得到会果进而求解即可;

（3）首先得出ZMMG,证明出.血飞即，得到器=器=喘，设黑，，求出

1AD

MG+型」---------------1---------=；,同理可证，.AEQS

AGtcosZGDGk得至嚷啮翁喘H黑、

进而求解即可.

【详解】（I）如图1,连接AC,

图1

•AB=AD，

：.ZACB=ZACD,

.•.点A到-c两边的距离相等;

(2)VCD=CD,

：.ZCAD=ZCBD,

•••加为直径，

/./BCD=90°,

tanACAD=tanZCBD=—,

BC'

如图2,过点。作32EC,交BC延长线于点0,

ZACB=ZQ,ZACD=ZCDQ,

又由（1）知：ZACB=ZACD,

ZCDQ=ZQ,

：.CD=CQ,

,：CEDQ,

•DECQ

.DECD

**BE-BC'

tanZCAD=,ZCAD=ZCBD=30°,

贝I]tanZCAD=—=—,

7BE3

设=则BE=6a,

\'即为直径，

ZBAD=90°,

*/AB=AD=3五,

：.BD=6,

I.a+=6,

解得：a=38-3,

:.DE=3^-3,BE=9-3y/3,

又,//BCD=90°,CD=BD-sinZCBD=3,

NBDC=ABAC,ZABD=ZACD,

J八BAEs/\CDE,

•DECD

・°A£-ABJ

AE=（34—3）.半=3#-30；

（3）如图所示，题＞与AC相交于点E,直线3A与直线C£＞相交于圆外一点G,

G

•「ZM为△GAC的一条高，

若OALAG,贝!jN无⑦=90。=/灰刀，与题意矛盾.

：.DA