2026高考数学一轮复习：直线、平面垂直的判定与性质（解析版）

新高考数学一轮复习

第讲直线、平面垂直的判定与性质

如果两个相交平面的交线与第三个平面

平面与平面垂直的定义垂直，又这两个平面与第三个平面相交

所得的两条交线互相垂直.

一个平面过另一个平面的垂

平面与平面垂直的判定定理

线，则这两个平面垂直

两个平面垂直，则一个平面内垂直于

平面与平面垂直的性质定理

交线的直线与另一个平面垂直

题型一：垂直性质的简单判定

【典例1-1】设/”4为两条不同的直线，4，%为两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若/］〃%,4〃4，则"J4

B.若44与％所成的角相等,则4〃%

c.若见_1_的，4〃%,4〃%，则4，4

D.若4-L%,4_L_L4,贝I」412

【答案】D

【解析】对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误；

对于B,乙4与％所成的角相等，则44可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，

对于C,4，%<〃%，4〃%，贝以4可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误；

对于D,-La2,ltla,,/；,la2,贝［j乙"L4，D正确.

故选：D.

【典例1-2］（多选题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的

顶点.则满足的是（）

【解析】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则的V//AC,

故/POC（或其补角）为异面直线OR及V所成的角，

在直角三角形OPC,0C=42,CP=1,故tanNPOC=J==变,

V22

故MN，0尸不成立，故A错误.

对于B,如图(2)所示，取AT的中点为Q,连接尸2,OQ,则OQLNT,PQ1MN,

由正方体SBCM-NADT可得SN1平面4VDT,而OQu平面ANDT,

故SN，。。，而SNCMN=N,故OQ，平面SN力W,

又A£Vu平面SN7M,OQLMN,而。。。尸Q=Q,

所以ACV_L平面。PQ,而POu平面。PQ,故MN_LOP,故B正确.

对于C,如图(3),连接8。，%\BDHMN,由B的判断可得OP1.3D,

故OPLMN,故C正确.

对于D,如图（4）,取AD的中点Q,A3的中点K,连接AC,尸。,OQ,PK,OK,

则AC//MN,

因为DP=PC,故PQ〃AC,WPQUMN,

所以NQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

图（4）

因为正方体的棱长为2,故尸Q=；AC=&,OQJAO。+AC=^^=6

PO=y]PK2+OK2=74+1=>/5-QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故尸。，儿W不垂直，故D错误.

故选：BC.

【方法技巧】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

【变式1-1]已知如〃是两条不重合的直线，%夕是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若加〃a,〃〃尸,。〃万，则加〃〃

B.若mua、nua,mH）3,贝！Ja〃分

C.若m工a,ml/n,a工。，则〃_L/7

D.若机_La,几_1_反m_L〃，则々_1/

【答案】D

【解析】对于A,Wall/3,则〃//a或〃ua,则如"相交、平行、异面都有可能，A错误；

对于B,若相烫z,"a,m///3,n///3,则a与夕相交或平行，B错误；

对于C,若m工a,m//n,则〃_La,又。_L尸，则〃//4或〃u/7,C错误；

对于D,由机_La,m_L〃，得〃//a或几u〃，若儿//a,则存在过〃的平面与。相交，

令交线为/,则"/〃，而〃，尸，于是分，若九u〃，而〃，△，则a，/,

因此。_L尸，D正确.

故选：D

【变式1-2]如图已知正方体A8CZ)-A4G2,M,N分别是a。，的中点，贝I]()

A.直线4。与直线垂直，直线MN//平面ABCD

B,直线4。与直线平行，直线平面2D，片

C.直线4。与直线相交，直线MN//平面ABC。

D.直线4。与直线异面，直线平面8。。用

【答案】A

【解析】

连AQ,在正方体ABCD-A与G2中，

M是的中点，所以A1为A2中点，

又N是RB的中点，所以MN//AB,

MN(Z平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MM/平面ABCD

因为A8不垂直3。，所以"N不垂直3。

则跖V不垂直平面BOR4,所以选项B,D不正确;

在正方体ABCD-44GR中，

AB_L平面的，。，所以AB_LAQ,

ADtr>AB=A,所以平面ABZ^,

RBu平面A8R,所以ADLRB,

且直线A。,是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

题型二：证明线线垂直

【典例2-1］如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABC。，底面ABC。为正方形，E为线段AB的

求证：BD1PC；

【解析】证明：・；PA_L平面ABC，3£>u平面ABC。，.•.BUBD.

又底面ABC。为正方形，，AC.

又PAp|AC=A,且E4,ACu平面E4C,.,.HD工平面B4C,

；PCu平面以C,..3D_LPC.

【典例2-2】如图，多面体ABCDEF中，己知面ABC。是边长为4的正方形，4EBC是等边三角形,

EF//AB,EF=-AB,平面FBC_L平面ABC。.

2

求证：EFLBF；

【解析】由ABCD是正方形，得AB_LBC,而平面FBC_L平面ABCD,平面FBCp|平面ABCD=BC,

ABu平面ABCD,则平面F6C,又FBu平面目?C,于是AB_L7®,又EF/IAB,

所以EF工BF.

【方法技巧】

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面n勾股定理（题目中线段数据多）

证明4,4先看两直线位置关系

其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

异面一考虑用线面垂直推导异面垂直=>找重垂线=在重垂线对应平面内找垂直

【变式2-1]如图，已知多面体ABCD-A瓦G2的底面ABC。是菱形，侧棱B与，底面458,且

(=2暇=4瓯=4西.

G

证明：A^CLBD.

【解析】因为2瓯=4瓯，所以J54〃A4,,

又因为明，平面ABCZ),所以441平面A2CZ),

又因为3£>u平面ABCD,所以相_LB。，

因为四边形ABC©是菱形，所以3D_LAC,

又因为ACCA41=A,AC,A4,u平面AA〈，

所以工平面,

又因为ACu平面AAC，

所以8。，AC；

【变式2-2】如图所示，在三棱锥尸-ABC中，平面P4C，平面ABC,PAVAB,/PAC为锐角.

证明：ABJ.AC-,

【解析】在平面PAC中，过点尸作AC的垂线，垂足为。.

平面PAC_L平面ABC,且平面PACC|平面ABC=AC,PDu平面APC,

故PD,平面ABC.又ABu平面PAC,所以PDLAB

又E4_LAB,PA[\PD^P,PDu平面PAC,PAu平面PAC,

所以45_L平面PAC,又ACu平面PAC,故AB人AC.

题型三：证明线面垂直

【典例3-1】如图，平行六面体ABCD-A与GR中，底面ABCL（是边长为2的菱形，且/BW=60。,

A4,=施/41AB=幺4）,然与平面ABC。所成的角为45°,AC与BD交于0.

证明：A。，平面ABCZ）；

【解析】

连结BCt,DC1,

,底面ABC。是边长为2的菱形，:.AB=AD.

•;Z41AB=Z^AD,AA[=AA[,

.,.△AA虐△AAD,:,B\=D\.

丁点。为线段8。中点，\OLBD.

•.•筋8为菱形，，4(?_1824(7门40=0,47,40£=平面440,二.BDJ"平面44(

又3Du平面ABC。，.,.平面AAC_L平面ABC。,

44]在平面ABC。上的射影为AC,

.•■乙姆。为直线AA与平面ABCD所成的角,即乙妻。=45。.

在AA]A。中，A4,=",AO=：AC=6,N4AO=45。，

M+O42_A02

cos/AAO=40=y/3.

2x4AxOA

则4万=。*+4。2,；a。10A

又OA8£>=O,OAu平面ABCD,8Du平面ABCD,

A0-L平面ABCD.

【典例3-2】在VABC中，ZABC=90°,AB=3C=6,。为边AB上一点，AD=2,E为AC上一点,

DEIIBC,将VADE沿。E翻折，使A到A处，/ZM'B=90。.

证明：A'3_L平面型DE；

【解析】证明：由题意知DE_LA。，DE±BD,

又次。「应＞=。，所以DE_L平面A89,

又A'3u平面A8O,所以DELA'B，

又ADLAB,DEHA,D=D,所以A3_L平面WDE

【方法技巧】

方法一：线面垂直的判定.

线线垂直n线面垂直，符号表示为：aLb,aA-c,b^a,c^a,br\c=P,那么a_Lor.

方法二：面面垂直的性质.

面面垂直二线面垂直，符号表示为：c_L/?,1「］/?=仇aua,a_L6,那么aJ_£.

【变式3-1】如图，在三棱锥P-ABC中，PA=BC=2瓜PC=AB=6,PB=屈,/ABC=9O\D为

AC上的动点.

若AD=g,求证：PD_L平面ABC；

【解析】

在RtZXABC中，AB=6,BC=2瓜贝UAC=46，

又PA=2班,PC=6,所以AC2=PC2+PR2

由勾股定理可得为直角三角形，ZAPC=90\

PCr-

所以tan/PAC———=v3,所以APAC=60°

PA

在△R4D中，因为=由余弦定理可得：

PD2=AP2+AD2-2.AP-ADcos^PAD=（2石产+（退了一2x26x石xcos600=9

则尸加+仞？=75A2,所以即_|_4）,

又CD=3石,ZACB=60。,在△OC3中由余弦定理可得：

=BC?+CO?-28C•COcosNACB=（2若了+卜』『一2x2退x3百xcos60°=21,

则正犷+引＞=依2,所以尸z）_LRD,

又ADcBD=D,ADu平面ABC,BDu平面ABC,

所以平面ABC

【变式3-2】四棱锥尸-ABCD中，AP=AC,底面ABCD为等腰梯形，CD//AB,

AB=2CD=2BC=2,E为线段PC的中点，PC±CB.

【解析】因为AP=AC,E为线段尸c的中点，所以AELPC,

在等腰梯形A2CD中，作CFLAB于歹，则由AB=2CD=23C=2得/8,

2

BF1

所以cos』C&!=——=-,所以2CBA=60°,NTCB=30。，

BC2

因为AB=2BC,所以——=——=—,所以BCF~ABAC,

ABBC2

所以Z3C尸=1区4。=30。，所以NAC3=90°,所以AC_L3C,

因为尸CLCB,尸CcAC=C,PC,ACu平面尸8,所以3CL平面PCA,

因为AE在平面尸C4内，所以

因为PCc3C=C,PC,3C在平面PCS内，所以AE_L平面PCB.

题型四：证明面面垂直

【典例4-1】在三棱台ABC-中，底面VA5c是等边三角形，侧面AACQ是等腰梯形，。是

AC的中点，B0是两异面直线48和AC的公垂线，且AB=9A4=26，BB、=2叵.

证明：侧面48耳4,平面耳AC；

【解析】由耳。是两异面直线与AC的公垂线可得，Bt01AC

又VABC是等边三角形，。是AC的中点，所以ACL3O,

因20c耳。=。,BO,瓦。u平面BBQ,故得AC，平面B}B0,

又与8u平面片B。，则AC_L81B,

因_Lq。，ACc=0,AC,BQu平面耳AC,故BtB±平面B.AC,

又B、Bu平面ABB^,所以侧面ABB^±平面B}AC.

【典例4-2】如图，在三棱柱A8C-A4G中，底面A3C是等边三角形，=D为BC

的中点，过瓦G的平面交棱于E,交AC于F.

求证：平面4人。-L平面EBgF■

【解析】证明：连接48,4c.

因为幺AB=/4AC,AB=AC,M=AA,

所以△AAB且△AAC,所以A8=AC.

因为。为BC的中点，所以

因为A8=AC,D为BC的中点，所以3CLAD.

因为A,D,ADU平面A/D

所以3C，平面AAD.

又BG〃BC,所以801，平面AAD.

又用Ju平面EBCF

所以平面A4。，平面防CF.

【方法技巧】

主要证明方法是利用面面垂直的判定定理(线面垂直n面面垂直).证明时，先从现有的直线中寻找

平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.

【变式4-1］如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面平面A2CZ),底面ABCD为菱形，

ZABC=60°,AB=6PA=4iPB=2,E是CD的中点.

(1)证明：平面尸3c_L平面R4E.

(2)求点A到平面PBE的距离.

【解析】连接AC.因为底面A3C£>为菱形，ZABC=60°,所以AACD是正三角形.

又E为CD的中点，所以AELCD,则AELAB.

因为平面R4B_L平面ABCO,平面R4fic平面ABCD=AB,AEu平面ABC£>.

所以AE_L平面E4B.

因为P3u平面RIB,所以A£_LPB.

因为AB=®PA=®PB=2,所以上42+形2=.2,则R4_LP&

因为PAnAE=A,MAEu平面以E,所以pg,平面外

又PBu平面尸BC,所以平面尸3C_L平面R4E.

【变式4-2］如图，在三棱柱4BC-AgG中，A4与B旦的距离为6，AB=AC=AiB=2,

%C=BC=2&

C

证明：平面，平面ABC；

【解析】取棱AA中点。，连接8£),

因为=所以BOJ.AA|

因为三棱柱ABC-AgG，所以抽〃台4

所以BD_L84，所以3。=有

因为AB=2,所以AD=1,AA]=2.

因为AC=2,AC=2也,

所以止+酒二*,,

所以AC1M，

同理AC_L4S,

因为441nAB=A,且AA，ABu平面所以AC,平面4人台用，

因为ACu平面ABC,所以平面AABB1，平面ABC；

题型五：面面垂直的性质定理

【典例5-1】在四棱锥P-ABCD中，平面R4D_L平面ABC。，AB//CD,AB±BC,DC=BC=2,

证明：BDLAP.

【解析】因为ABLBC,OC=8C="=2,所以BD=2贬,ZDBA=^,

24

由余弦定理可得AB|2+1BD|2-21AB\\BD\COS=^16+8-2x4x272=272,所以

AD2+BD2=AB2^则ADJ_BZ)

因为平面PAD_L平面ABCD,且平面RlDc平面ASCD=AD,">u平面PAO,

所以fiD工平面PAD.

因为APu平面必⑦，所以BDLAP.

【典例5-2】如图，在三棱锥尸-ABC中，24,底面ABCD为A3上一点，且平面R4B，平面

2

PCD,AC=BC=PD=6,三棱锥尸—ABC的体积为

P

求证：。为A3的中点；

【解析】过A作AA7_LPD于点Af,由平面R4B_L平面PCD,

平面_1_平面尸CD,

■.-CDu平面PCD,:.AMLCD,

又B4_L底面ABC,CDu平面PAD,

:.PA±CD,-.-AMC\PA=A,AM,PAu平面PAD,

所以。。_1底面上4。,：43匚平面皿），，4^_18,

又•.•AC=BC,，n为AB的中点；

【方法技巧】

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

【变式5-1］如图，在三棱锥尸-ABC中，。为AC的中点，平面尸03,平面ABC,△ABC是窖腰直角

三角形，ABLBC,AC=PA=y/^,PB=6.

证明：PA=PC；

【解析】证明：因为VA5C是等腰直角三角形，AB,3c，。为AC的中点,

所以ACLO3,ACu平面ABC,

又因为平面尸03J_平面ABC,平面尸08口平面至。=。3，

所以AC，平面尸OB

因为尸Ou平面尸。3,所以AC_LPO,又。为AC的中点，

所以A/MC是等腰三角形，故PA=PC.

【变式5-2】如图，四棱锥P-ABCD,侧面抬。是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD

PM

是ZABC=60°的菱形，"为棱PC上的动点且="4e[0,1]).

(1)求证：△PBC为直角三角形；

2

(2)试确定力的值，使得三棱锥P-40。的体积为1.

【解析】(1)证明：取中点0,连结OP,OC,AC,

因为四边形ABCD为菱形，且NABC=60°,

所以AABC,^ACD均为等边三角形，

因为也为等边形三角形，

所以OC_LAD,OP_LAD.

又因为OCnOP=。OCu平面POC,OPu平面POC,

所以AD_L平面尸OC,

又PCu平面尸OC,所以ADLPC,

因为5C//AT),所以BCLPC,

即ZPCB=90°,从而APBC为直角三角形；

(2)由(1)可知PO_LAO,

又平面皿＞_L平面ABC。，平面RLDc平面AFCD=AD,尸Ou平面B4£),

所以PO_L平面ABCD,

PM

因为M为棱PC上的动点且不二=〃/1€[0』]),

=

所以Vp_AMD=VM_pAD=^VC-PAD^P-ACD,

因为△PAD,AACD都是边长为2的正三角形,

所以「O=OC=6，

SP0XX4XL

所以Lr-nAy-CUD=~3△ACzDJ34=-—^='>

2

因为三棱锥P-如血）的体积为§,

2

所以4=早

题型六：垂直关系的综合应用

【典例6-1］如图，在直三棱柱ABC-ABCi中，ZBAC=90°,AB=AC=1.试在平面ABC内确定

一点”，使得AHJL平面ABC,并写出证明过程;

【解析】取棱BC的中点。，连接A。，AD.在等腰直角AABC中，AD±BC,

又A4,_L平面ABC,BCu平面ABC,所以BCLAA，

ADPlM=AA。,A4iu平面ACM,,故3c_L平面AT%.

又BCu平面ABC,故平面ABC_L平面AZM，这两个平面的交线为4。.

在△AZM1中，作AH_LA。，AHu平面皿）,

则有AH,平面ABC；

【典例6-2］如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形且NABC=工，

3

PB=PA=4,PC=V6-

P

⑴求尸。的值；

(2)若丽=2而,是否存在力,使得平面CC归_1_平面R4B?若存在，求出;I的值；若不存在，请说明理

由.

【解析】(1)取线段A3的中点E,连接CE、PE,

因为四边形A2CD是边长为2的菱形，则BC=2,BE=l,

因为NABC=-,由余弦定理可得CE2=BC2+BE2-2BCBEcos-=3,

33

:.BE2+CE2=BC2,所以3ELCE,即CE1AB,

又•.•PB=JR4且E是AB的中点，:.PE±AB,

PEnCE=E,PE、。石匚平面尸。£,.:/16工平面尸。£,

•.・PCu平面尸CE,,'.PCIAB,-.-CD//AB,:.PC1,CD,

•；PC=巫，PD=VPC2+CD2=Vio；

(2)过点C在平面PCE内作CMLPE,垂足为点V,

因为AB_L平面PCE,Afiu平面BW,

所以，平面BIB,平面PCE,

,平面R43c平面尸CE=PE,CMu平面尸CE,CM1,PE,

所以，CM_L平面卜4B,

过点M作及N〃/R,分别交％、PB于点、N、H,

因为CD〃AB,则HN//CD,

所以，C、D、N、H四点共面，

因为CMu平面CDNH,

所以，平面CDNH_L平面R4B,

因为24=PB=4,AE=l,PELAB,

贝UPE=y/PA'-AE2=715，

因为CE=6，PC=瓜,由余弦定理可得cos/PCE="+CE尸后=,

2PCCE2

所以，sinZPCE=Vl-cos2Z