第十七章 勾股定理 同步练习（含答案）-2024-2025学年人教版八年级数学下册

小专题2利用勾股定理探索两点间距离公式

学习探究

探究平面直角坐标系中两点间的距离，设Pi(x/%),「2(切，%).

⑴如图1,当Pl,p2纵坐标相同时,PrP2=I/—尤21;;当PlH横坐标相同时,PR=Iyi-y21.

x22

(2攻口图2,P1C=|x2-x1\,P2C=|y2-y±I,由勾股定理，得PrP2=7(2-^i)+(72-y1)-

实战演练

1.如图，平面直角坐标系中,A(-4,0),C(l,0),以点A为圆心，AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点B,则点B

的坐标为()

A.(0,3)B.(3,0)

C.(2,0)D.(0,2)

2.在平面直角坐标系中，点P(3,4),则点P到原点的距离为()

A.3B.-5

C.5D.4

3.在平面直角坐标系中，点A(2,-1),B(5,3),则AB的长为()

X,V13B.5C.4D.3

4.(教材习题变式)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(1,2),C(5,2),B(5,4),则AB的长为

5.已知一个三角形各顶点坐标为A"1,4),B(-3,1),C(1,1),请判定此三角形的形状.并说明理由.

6.如图，已知A(3,0),B(0,4),在x轴上找一点C,使^ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标.

小专题3方程思想在勾股定理中的运用

类型1单勾股列方程求解

[例1]如图，在△ABC中,NC=9（r,AC=10,BC=6,EF为AB的垂直平分线，求AE的长.

解题思路:连接BE,设AE=x,贝!]BE=x,CE=.

根据勾股定理，得（CE2+BC2=BE2,

可列方程为.

解得x=.

针对训练

1.（2023•随州）如图，在RtAABC中,/C=9（r,AC=8,BC=6,D为AC上一点若BD是/ABC的平分线厕AD=-

类型2双勾股列方程求解

方法技巧1

作高，利用勾股定理构建方程

条件：已知△ABC的三边长.

AA

BD°BcD

方法:作ADLBC,垂足为D.

结论：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.

【例2]如图，在4ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,AD，BC,求BD的长

根据勾股定理，得AD2=AB2-BD2=AC?—CD?,可歹I」方程为.

解得x=.

针对训练

2.如图，在△ABC中,BC=4,AC=13,AB=15或AABC的面积.

方法技巧2

共边，利用勾股定理构建方程

条件:/ACB=90。,CD_LAB于点D.

结论⑴AC,BC,AB,AD,DB,CD中，知二可求四；

⑵C"=AC2-AD2=BC2-BD2;

⑶心=AB2-BC2=AD2+CD2.

(4)BC2=AB2-AC2=BD2+CD2.

3.如图，在△ABC中,NACB=90o,CD_LAB于点D,BD=2,CD=4,求AD的长.

ADB

小专题4利用勾股定理解决折叠问题

【例】如图，在直角三角形纸片ABC中，/B=90o,AB=8,BC=6折叠三角形纸片ABC,使点A与BC的中

点D重合.折痕为MN,求线段BN的长.

【思路点拨】先求得BD的长，由翻折的性质可知AN=DN,设BN=x，则AN=DN=8-x,在RtADBN中，由勾

股定理列出关于x的方程求解即可.

方法指导

解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长时，可利用

勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想解决问题.

针对训练

1.如图，在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则△A

BE的面积为()

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2

卡'

AED\\

:\\

B\^^F--C

第1题图第2题图

2如图，有一块直角三角形纸片，ZC=90°AC=4,BC=3.将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上

的点E处，折痕为AD,则BD的长为()

45

A-3B15C.-D.3

3如图，正方形纸片ABCD的边长为3,EF分别在边BC,CD上，将AB,AD分别沿AE,AF折叠点B.D恰

好都落在点G处.若BE=1,则EF的长为.

第3题图第4题图

4.如图，在长方形ABCD中,AB=5,BC=6,P是射线BC上一动点，1为长方形ABCD的一条对称轴，将4ABP沿

AP折叠，当点B的对应点B落在1上时,BP的长为.

5.如图，在长方形ABCD中,E是AD的中点将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.

⑴求证:DF=FG.

(2)若AB=6,BC2=96,求DF的长.

小专题5利用勾股定理解决最短路径问题

类型1平面中的最短路径问题

【例1】如图，在△ABC中,/ACB=9(T,AC=3,BC=4,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC的最小值是一

［例2］如图.A(O,1),B(3,2),点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为,

方法指导

模型图例基本策略

确定动点p所在的直线；

利用对称性，将同侧的A,B两点转化为异侧

A\¥

两点A：B,则最短路径即为线段AB;

模型一

A常构造直角三角形（RSCBA'）,利用勾股定

理求解

A

利用“垂线段最短”确定最短路径；

模型二

1构造直角三角形，利用勾股定理求解

BI

针对训练

1.如图，在RtAABC中,NC=9（r,BC=8,/ABC的平分线BD交AC于点D,且BD=10,E是边AB上一动点厕

DE的最小值为

2.如图,△ABC为等腰直角三角形AB=BC=2,Q为BC的中点,P为边AC上一动点，则BP+PQ的最小值

为.

类型2几何体中的最短路径问题

［例3］（教材习题变式）如图，有一个圆柱，它的高等于12cm,底面半径等于3cm.在圆柱的底彳73

面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是多少（兀取一、

3）?

【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱

沿着过点A的直线AA，剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走.

方法指导

几何体中最短路径基本模型如下：

类型图例

3B

居

一

4

0

4

层

一

4

长

方

体

甲乙丙

将立体图形展开成平面图形T利用“两点之间，线段最短”确定最短路线T构造直角三角

基本思路

形一利用勾股定理求解

针对训练

3.如图，圆柱形容器的底面周长是24cm,高为17cm,在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器

的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长是

()

A.20cmB.843cm

C.V433cmD.24cm

x-----X

------

•24cm

S匕

%匕%.5cm

3.5cm

第3题图第4题图

4.如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm,3.5cm,24cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的

表面爬到盒顶的点B,则它爬行的最短路程是______cm.

5.如图，有一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上,AQ=2,一只蚂蚁从点P出发沿木箱表面爬

行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是.

第5题图第6题图

6.（本专题T4变式）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过

四个侧面缠绕一圈达到点B,那么所用细线最短需要_______cm.

7.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20,3,2,A和B是这个台阶两个相对的端点，点

A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是.

第7题图

8.（2023.广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一

滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到

内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

9.如图，长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为1cm.

⑴点Ai到点C2之间的距离是多少？

（2）若一只蚂蚁从长方体的表面点A?爬到点Ci,则爬行的最短路程是多少?

A

Bi

小专题2利用勾股定理探索两点间距离公式一教材P26练习T2的变式与拓展

1.A2.C3.B4.2V5

5.解:△ABC是等腰三角彩理由如下：：AB=VC-1+3)2+(4-1)2=后,BC=

7(-3-I)2+(1-I)2=44C=V(-l-I)2+(4-I)2=V13,.-.48=XC,XB2+^C2*BC2.AABC为等月要三

角形.

6.解:设C(x,0).VA(3,0),B(0,4),.\AB=V32+42=5,4C=|3-x|,BC=+咋.①当AB=AC时,△ABC为

等腰三角形.|3-x|=5,解得x=-2或x=8.点C的坐标为(-2,0)或(8,0);②当AB=BC时,△ABC为等腰三角形

代+16=5,解得x=3或x=-3.当x=3时，点A,C重合，不合题意，舍去....点C的坐标为(-3,0);③当AC=BC时,△ABC

为等腰三角形.；.|3-x|=解得x=.点C的坐标为(-！0).综上所述，点C的坐标为(-2,0)或(8,0)或(-3,

0)或

小专题3方程思想在勾股定理中的运用

【例1】10—%(10—X)2+62=X2y

【例2】14-Xis2-x2=132-(14-x)29

针对训练

1.5

2.解:过点A作ADXBC于点口.设(CD=x.vAC2-CD2=AB2-BD2,：.132-x2=152-(4+刀尸,解得x

=5..-.AD=-JAC2-CD2=V132-52=12.SAABC=\BC-AD=|x4X12=24.

3.解:设AD=x.在RtAACD中”AC2=AD2+CD2=x2+42.在RtABCD中，BC2=CD2+BD2=42+22.在

RtAABC中,AC2+BC2=AB2,即x2+42+42+22=(x+2产解得x=8.AD=8.

小专题4利用勾股定理解决折叠问题

【例】解:；D为BC的中点，BD=CD=3.设BN=x，则AN=DN=8-x.在RtABDN中，由勾股定理得((8-x)2=

/+32,解得“=||.故BN的长为|