安徽省部分示范高中2024-2025学年高三第三次联考数学试卷（含解析）

安徽省部分示范高中2024-2025学年高三第三次联考数学

试卷

一、单选题(本大题共8小题)

1.已知集合/={x[l<x<2},B={x\x<a},若4=8,则实数。的取值范围是

()

A.(2,+co)B.(F,2)C.(-oo,2]D.[2,+oo)

2

2.在复平面内，复数z与T一对应的点关于实轴对称，则2=()

1-1

A.l+2iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.函数〃x)=(x-2)3cosox.若存在QER,使得/(x+a)为奇函数，则实数刃的值

可以是()

A./B.里C.乌D.乌

4423

4.现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，

则不同的放法共有()

A.24种B.35种C.56种D.70种

5.已知。力是正实数，若函数〃》)=("-D(ei-e)40对任意xeR恒成立，贝|

4

7-〃的最大值为()

b

A.—B.-C.1D.e

e2

6.若函数/(x)=log/+loga+iX是减函数，则实数。的取值范围是()

(指(石-1J「1八D.时

12J12JL2J

7.设等差数列{g}的前〃项和为S",且%>0,4邑+1+1,将数列{%}与数

202

列的公共项从小到大排列得到新数列{g},则£一=()

Z=1Ci

A40n80c20n40

A.——B.—C.—D.——

41412121

8.已知抛物线C:/=x的焦点为尸，准线与x轴交于点尸，直线/过焦点厂且与C

交于A,8两点，若直线/P的斜率为卜则以理=()

A.1B.2C.4D.8

二、多选题(本大题共3小题)

9.已知王<工2<%，样本数据工：占户2，9，S[：X]+-2,工2+「39±±，则

9

()

A.E的平均数一定等于S2的平均数B.岳的中位数一定小于$2的中位数

C.凡的极差一定大于$2的极差D.R的方差一定小于$2的方差

10.已知函数1(x)=sinx|cosx|+cosxkiiu|,则下列说法正确的是()

A./(x)的周期为］

B.〃x)的图象关于x=£对称

C./(x)在［0,可上恰有3个零点

D.若/(s)(o>0)在0,1上单调递增，则。的最大值为g

11.设aeR,函数/(力=工3-3依+°3,贝ij()

A.y(x)有两个极值点

B.若a>0,则当x>0时，/(%)>-1

C.若/⑴有3个零点，则。的取值范围是(0,血)

D.若存在s/eR,满足f(s-f)+/'(s+f)=2/(s),则W=0

三、填空题(本大题共3小题)

12.已知具有线性相关性的变量x，九设其样本点为4(尤”%)«=1,2,3,…,20),经验

2020

回归方程为步=-2x+&,若£占=60,£%=40,贝!］&=.

1=11=1

13.在三棱锥中，R4_L平面/BC,若C4=2CB,且P8=3,则三棱锥

的体积的最大值为.

22

14.已知片，片分别为双曲线二-勺=1(。>0,b>0)的左、右焦点，过片的直

ab

线/与双曲线的右支交于A、8两点(其中A在第一象限)，△/4心的内切圆半径

为外，45片外的内切圆半径为2，若q=2々，则直线/的斜率为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游

戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得4

分，抽中白球得1分，且抽中黑球的概率为g;再从第二个箱子中随机抽一个小

3

球，抽后放回，记抽中黑球得1分，抽中白球得3分，且抽中黑球的概率为一.记一

4

次游戏后，得分总和为X分.

⑴求X的分布列和数学期望；

⑵若有3人玩该游戏各一次，求恰有2人游戏得分不低于4分的概率.

16.已知函数/（x）=aQx~x-Inx+In6；.

（1）当。=e时，求曲线y=〃尤）在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的

面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.

17.如图，在四棱锥尸-48CD中，尸。，底面AB=\,BC=^,

P/=2亚，侧棱尸C与底面48co所成的角为45。，且PC1BC.

(1)求PD；

⑵求平面4PC与平面3PC夹角的余弦值.

18.在平面直角坐标系X0V中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐

标轴上的椭圆E上的两点.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若尸为椭圆E上任意一点，以点P为圆心，|。以为半径的圆与圆

。:/+卜+6y=5的公共弦为证明：AC血W的面积为定值，并求出该定值.

19.已知无穷数列｛%｝满足以下条件：①%=2,当〃22时，2a“=03+2%_1；

②若存在某项。二-4,则必有/e｛l,2,3,•••「-：!｝,使得%=q+2（酷2且ieN）.

（1）若％<1,写出所有满足条件的知；

⑵若名>1，证明：数列｛与｝为等差数列;

（3）设以=-2024,求正整数左的最小值.

参考答案

1.【答案】D

【详解】由题意，因为/=即集合A是集合8的子集，所以。22.

故选D.

2.【答案】B

22(l+i)

【详解】由三可得八一+

故z=1-i,

故选B.

3.【答案】C

【详解】函数/(%)=(%-2)3cosox的定义域为R,/(X+Q)=(x+a-2)%os(3+皈)，

存在QER,函数/(X+。)为奇函数，则4=2或COS3Z=0,

当Q=2时，/(X+2)=X3COS(69X+2⑼为奇函数，则函数＞=cos(ox+2。)是偶函数，

于是2G=E，左wZ,解得。=@，左EZ,当左=1时，CD=—,C符合，ABD不符合；

22

3

当cosQa=0时，coa=—+kn,keZf此时f(x+a)=(x+a-2)sincox

或/(x+a)=-(x+«-2)3sincox,当且仅当G=0时为奇函数，与cos3/=0矛盾，

所以实数。的值可以是

2

故选C.

4.【答案】B

【详解】先在每个盒子中分别放入一个小球则剩余8个小球，

只需保证4个盒子中分别再放入至少1个小球，则采用隔板法可得有C；=35种放法.

故选择B.

5.【答案】C

【详解】由题意可知，y=ax-l为增函数，y=ei-e为减函数，且零点分别为L

a

b-l,

因［3=(依一1乂/，一6)40对任意收11恒成立，

贝|J函数＞=ax—1与＞=3一、一e有相同的零点，

则工=6_1,即6-4=1,

aa

则3=dT=5-。+'5-i,

4

当且仅当仍==，即。=1,6=2时取等号，

ab

4

则7-Q的最大值为1.

b

故选C.

6.【答案】B

【详解】由题意得，函数/(x)定义域为(O,+8).

X

,•*/(x)=logflx+loga+\，

/，⑴=—+[=1n(。+1)+-=一(/+。)<0

x]naxln(o+l)xln〃・ln(Q+l)xlno」n(Q+l)

：a>0且awl,ln(a+l)>0,则(厂+叭°,

\na

ln(a2>0-i./s

a2+a>a\，解得-----A-<tz<B

Ina<02

当“=T+6时,a2+a=\,/[x)=帅：")=0,不合题意,

2v7xlna-ln(a+l)

的取值范围是f.

故选B.

7.【答案】A

【详解】因为%>0,4S“=<+i-2«„+1+h

当时，则4S._]=端-2a“+1,

两式相减得4%=-a；-2。用+2%,

整理可得(%+-2)=0,

且。”＞。，贝Ua”+i+。”＞。，可得®„+i~-2=0,即。用一a“=2,

可知等差数列｛4｝的公差［=2,

当〃=1时，则4%=a；-2%+1=（%+2『-2（%+2）+1,解得%=1；

所以为=1+2（M-1）=2H-1,可知数列｛七｝为正奇数列，

对于数列｛/T｝,

当〃=2左一1（左eN*）时，可得〃2—1=（2左一Ip—1=4©左一1）为偶数；

当〃=2以左eN*）时，可得〃2_1=4左2一1为奇数；

所以数列｛%｝与｛/-1｝的公共项从小到大排列得到数列｛q｝的通项公式为

c„=4M2-1,

,22211

则———;2---=------------=------------

7cti4n-l(2W-1)(2W+1)2n-I2n+I

所以g2=l一工+」一1+…+J_1,140

白c,3353941--7i-

故选A.

8.【答案】C

【详解】抛物线—的焦点吗,。)，准线A—,过A作准线的垂线，垂足为

A',作4D_Lx轴于。，

由直线旌的斜率为9得翳血八tan”尸而

\AA\^AF\,\A'P^AD\,

则sm〃E甯4设点，(2)"%),令&FD9P=\,

十日P/P、八AnZR1+COS0PDTEl-cos0p

于正玉一，=a+5)c°se’解付为=匚蓊万'同理无2=下嬴；'

因止匕|/切=5尸|+|3尸|=X|+X2+?=§(产笔+H)+?

21-cosc/1+cos”

,1+cos0,、2p。A

=P(-----^+D=—=8/2=4,

1-cos20sin20

当夕为钝角时，同理求得|/切=4,所以|/B|=4.

故选C.

9.【答案】AC

【详解】对B，邑分别求平均数，均为西+；+%，故A正确；

凡的中位数为马，星的中位数为当土，大小关系不确定，

不妨设原数据为：1.2.5,3,中位数为2.5,则新数据为：1.75,2.75,2,中位数为2,

故B错误；

跖的极差为三-七，邑的极差为当上，故C正确；

由王＜巧强＜五产＜卫|三＜工3,且工和S2的平均数相等，从而s；＞s；,故D错

误.

故选AC.

10.【答案】BD

【详解】①当xe2砒2痴+鼻(左eZ)时，

f(x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx=sin2x,

②当XE2E+],2E+7iJ(左EZ)时，/(x)=sinx(-cosx)+cosxsinx=0,

-3c

③当％w2左兀+兀,2左兀+《-J(左£Z)时，

/(x)=sinx(-cosx)+cosx(—sinx)=-2sinxcosx=-sin2x

「3兀

④当XG2H+——，2左兀+2兀1(左cZ)时，/(x)=sinxcosx+cosx(-sinx)=0,

兀

sin2x,2A：7i<x<"兀+—

兀

0,2析+—<x<2A：兀+71

因此，/(%)=<左£Z

.3兀'

一sin2x,2左兀+7i<x<及兀+—

3兀

0,2左兀+—<x<2kn+2兀

所以函数/(x)的图象，如图所示:

71一2元C

72\2

=2兀__3兀或，Z_Q_71必/九___5式攵

F222

选项：因为万7171

A/1%+=smXH—cosX+—+COS

222L

=cosx|sinx|-sinx|cosA:|W/(X),故A不正确；

71

B选项:——+X

、4

71

=smsin

22

=cos+sin

所以/(X)的图象关于x=2对称，故B正确；

C选项：由/(x)的函数解析式以及函数图像可知：

当x=0时，/(x)=0,当时，/(x)>0,当xe兀时，/(x)=0,

所以f(x)在［0,可上有无数个零点，故C错误；

JTTT

D选项：由①>0,0<x<—,得OWoxW—。，

一22

因为〃5)(0>0)在0,|上单调递增，所以由/(X)的图象可知解得

o<@wL

2

则。的最大值为了，故D正确；

故选BD.

11.【答案】BCD

【详解】对于A选项，•.■广3=312一°）,

••・当时,r（x）>0,/（x）单调递增，〃尤）无极值点;

当a>0时，['（X）>0得x>G或x<-&，<0,得-五<x<6,

则f（x）在卜8,-，?）和上单调递增,在[-上单调递减,

此时/'（X）有两个极值点，故A选项错误；

对于B选项，当。〉0,x>0时，

由上述知，/（X）在（而+8）上单调递增，在[。,问上单调递减，

3/3、2

贝U/（x）2f[y[a^=a3-2a^=*一1-1>-L故B选项正确；

对于C选项，当时，”X）单调递增，/（x）至多只有一个零点，不合题意;

当〃〉0时，若/（x）有3个零点,

3

f(-4a)=-a3+2a^>0

则由单调性可知必然有13，解得.€(0,次).

2<Q

而当“£（0,返）时，/（-1-«）=-1,f^y/3a^=a3>0,

「•/（x）在区间卜1-。,一夜），卜&,6）,中分别各有一个零点，故C选项

正确；

对于D选项，・•,/（5-/）+/（5+Z）-2/（5）=6^2,

.,./（5-。+/（5+。=2/3等价于8=0或£=0,.・.5/=0,故D选项正确.

故选BCD.

12.【答案】8

120120

【详解】由题意可得：于=而£匕=3,歹=右2弘=2，

2Ul=i2Uj=i

可知经验回归方程为f=-2x+&过样本中心点（3,2）,

贝!]2=-6+0,可得G=8.

13.【答案】空/马拒

33

【详解】在三棱锥尸一/3C中，尸/,平面/3C,尸3=3,设4B=a,P4=h,则

/+/=9,

以线段45的中点。为原点，直线力5为工轴建立平面直角坐标系，

则/（-I，。）,械,0）,设c（x,y）,由C4=2CB,得4（x-J十句？=&+|>+/,

整理得(X-二5。)2+歹2=4X〃2,点。在以(S0)为圆心，7〃为半径的圆上,

6963

22

则点C到直线距离的最大值为；a,V/3C面积的最大值为幺，

33

三棱锥/-28c体积的最大值为k='土.〃="一也一"=,

3399

设/=/e(0,9),f(t)=9t2-t3,求导得/'(/)=18/「3d=3/(6-/),

当0<f<6时，f'(t)>0.当6</<9时，f'(t)<0,函数/⑺在(0,6)上递增，在(6,9)上

递减，

因此〃/)max="6)=108,所以三棱锥尸-N8C体积的最大值为迥=型.

93

14.【答案】2啦

【详解】设2的内切圆的圆心为a，△台片名的内切圆的圆心为Q,

记边/耳/工，4B上的切点分别为尸,M，4，

由切线的性质可得：|4P|=|/M|,|可尸|=田41，|巴M|=IB4I，由双曲线定义可得:

\AFx\-\AF2^2a,即|4P|+1耳尸|-(||+1|)=2a,则

片「|=|片4月42a,又由42c(c=G+一).

IHH1=1+1F2AX\=

则W4|=c+a,|Q4|=c-a,又I。片|=c,IO1041=a,即4(a,0).

同理可得，々鸟的内切圆也与轴相切于点4(。,0).

连接。02，则。«与x轴垂直，设圆&与/相切于点N,连接QMOzN,

过点&作。2r，°陷，记垂足为我，则。阳，/瓦。川，48.

IT

在四边形q4KM中，注意到N/y/q=Ng4Q=5，又四边形内角和为2兀,

则/MQ4=e,在Rt4002氏中，I。。2Hq4l+e4li+弓=3々，

\O.R|=|\-\RM|=|OXM|-1O2N\=r{-r2=r2,

则|QR|二J|O02『-|<W=J（3L=2亿，

则直线斜率，即tan0-tanAMOXAX=T~~―r="~~2/"2.

|平|r2

7

15.【答案】（1）分布列见解析，E（X）=]

（2）1

【详解】（1）由题知，X可能取的值为2,4,5,7.

]_尸（）（；卜（司得,

尸(X=2)=3=4=1-1

2

尸（X=5）=#=；，尸（X=7）0“司―

xX=7

12-2,

（2）由（1）知，得分不低于4分和低于4分的概率均为：

故3人玩该游戏各一次恰有2人游戏得分不低于4分的概率为C；gjq3

8,

2

16.【答案】(1)--(2)[l,+oo)

e-i

【详解】(1)Qf(x)=ex-lnx+l,f\x)=ex--,k=fr(V)=e-1.

x

Q%l)=e+1,・,•切点坐标为Q,l+e),

，函数/(x)在点(1”⑴处的切线方程为尸"1=("l)(x—1),即歹=(e—l)x+2,

-2

・•・切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(—-,0),

e—\

一1-22

二・所求三角形面积为-X2X|----r|=-----•

2e-1e-1

(2)[方法一]：通性通法

Q/(%)=aex~}-Inx+Ina,f\x)=aex~l--,且a>0.

x

设g(x)=f'{x},则g\x)=aex-x+3>0,

X

g(X)在(0,+功上单调递增，即f'(x)在(0,+8)上单调递增，

当。=1时，/'(1)=0,.•/(4加=1⑴=1,成立.

111J--1

当。>1时，一<1，.•.eU<i，，/'(一)/'(l)=a(e“-l)(a-l)<0,

a..e、ia

...存在唯一x0>0,使得/(%)=。/。--工=0,且当xe(O,x0)时八x)<0,当

,x0-11

x£(%o，+oo)时/'(%)>0,/.ae=一,Intz+x0-1=-Inx0,

x

因此/(x)min=/(%)=ae°~'-lnjf0+lna

-FIntz+XQ-1+Ina22Ina-1+2/—,%。=2Inu+1〉1,

%”o

.：/(x)>l,恒成立;

当0<a<1时，/(l)=a+lnfl<a<l,/./(I)<l,/(x)21不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是［1,+8).

［方法二］【最优解】：同构

由/'(x)21得ae*--Inx+lna21,即e山"+*T+Ina+x—1WInx+x,而

lnx+x=elBX+lnx,所以0必"+'7+Ina+x-l2e111*+lnx.

令h(m)=e"1+m,则砥⑼=e"'+1>0,所以在R上单调递增.

由e*+z+ina+x-iNe-+lnx,可知/"Ina+x-1)2〃(lnx),所以lna+x-12lux,所

以lna“nx-x+l)max.

11—V

令厂(x)=lnx-x+l,则尸'(x)=—-1=-

XX

所以当xe(o,l)时，F(x)>O,F(x)单调递增；

当xe(l,+⑹时，尸'(x)<0,/(x)单调递减.

所以风初厘=/⑴=0,则Ina詈0,即

所以a的取值范围为

［方法三］:换元同构

由题意知。>0,x>0,令ae*-'=t,所以lna+x-1=lnt,所以Ina=ln/-x+l.

于是/(x)=aev-1-Inx+lna=Z-lnx+ln?-x+l.

由于/(x)>1,Z-Inx+InZ-x+1>1<=>f+InZ>x+Inx,而y=x+lnx在xe(0,+oo)时为增

Y

函数‘故E'即5”分离参数后有心尸

x~l_xex~x

令g(x)=W所以e

e2x-2

当0<x<l时g'(x)>0,gCr)单调递增；当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

所以当x=l时，g(尤)=告取得最大值为g⑴=1.所以

e

［方法四］：

因为定义域为(0,+8),且为x)Nl,所以/⑴21,即a+ln/1.

令S(“)="+ln”，贝!|£(。)=1+工>0,所以5(a)在区间(0,内)内单调递增.

a

因为S⑴=1,所以时，有S⑷2S⑴，即〃+ln〃2l.

下面证明当。21时，恒成立.

令T{a}=aex~x-Inx+lntz,只需证当Q21时，7（。）21恒成立.

因为7（0）=«1+1>0,所以？（。）在区间口,+功内单调递增，贝!|

a

I

［T（«）］mm=T（l）=^--lnx.

因此要证明时，恒成立，只需证明［T⑷京=e'i-lnx21即可.

由e*Nx+l,lnx4x-l,得e'-1>x,-lnx>l-x.

上面两个不等式两边相加可得ei-lnx21,故时，〃x）21恒成立.

当0<。<1时，因为/⑴=a+lna<l,显然不满足/（尤）21恒成立.

所以a的取值范围为

【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数/（"的单调性，求出其最小值，由

7mhiNO即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；

方法二：利用同构思想将原不等式化成*。+a+lna+x-12*，+lnx,再根据函数

6（⑼=*+优的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；

方法三：通过先换元，令再同构，可将原不等式化成t+ln此x+lnx,再

根据函数>=x+lnx的单调性以及分离参数法求出；

方法四：由特殊到一般，利用/⑴21可得。的取值范围，再进行充分性证明即可.

17.【答案】⑴2

⑵这

7

【详解】（1）因为PD，平面48cD,3Cu平面/BCD

所以尸DLBC,

又PC工BC,PDcPC=P,PD,PCu平面PDC,

所以8C_L平面PDC,又。Cu平面尸DC,

所以BCLQC,

因为尸D，平面ABCD,所以尸C在平面A8CD上的射影为。C,

所以/尸CD为直线PC与底面N5CD所成的角，

因为尸C与底面/BCD所成的角为45。，所以NPCD=45。，又NPDC=90。,

所以尸D=CD,没PD=t,

因为AB_L3C,AB=1,BC=△,

所以/C=2,AACB=30°,XSCIDC,故N/C£>=60。，

贝UDN?=户+2?一2xfx2xcos60°=产一2/+4,

因为因为PO_L平面48C。，4Du平面48CD

所以所以=pf,

所以r+产-2/+4=（2回,

解得/=2或/=-1（舍去），

故尸。=2.

（2）以C为坐标原点，CD,无分别为x、了轴的正方向，过C作垂直于平面

的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，

则C（0,0,0）,尸（2,0,2）,/（1,后0）,5（0,^,0）,

则屈=（2,0,2）,丽=（1,百,0）,而=（0,君,0）

设平面/PC的法向量为应=（尤

m-CP=2x[+24=0

m-CA=xx+6另=0

令再=A/3,得必=-1,4=—A/3,

则行=（石,-1,-73）为平面/PC的一个法向量，

设平面8PC的法向量为为=（%，%/2）,

ri'CP=2x2+2Z2=0

m-CB=y5y2=0'

令々=1，可得%=0，Z2=-1,

得万=（1,0,-1）为平面8PC的一个法向量，

设平面4PC与平面5PC的夹角为。,

EnW•司2GV42

贝ijcos0=।一||_|=~r=一7==---

|同同＜7xV27

所以平面4PC与平面5P