甘肃省白银市2025届高考三模联考高三数学试题（解析版）

甘肃省白银市2025届高考三模联考高三数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.双曲线/―上=1的虚轴长为（）

12

A.2月B.2C.4后D.2岳

【答案】C

2_

【解析】因为〃=12,所以6=26，所以双曲线/—卷=1虚轴长为26=4百.

故选：C

2.设集合4={无|三>4},3={尤eZ|-4<x<7},则中元素的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},A={x\炉>4},

依题意可得AcB={2,3,4,5,6},则中元素的个数为5.

故选：B

3.若函数八％）的导函数/'（尤）为偶函数，则“X）的解析式可以为（）

A./（x）=co&xB./（x）=x3+x2

C.y（%）=%4+—D./（x）=x3+2%-3

X

【答案】D

【解析】对于选项A,/'（%）=—siiu为奇函数，A错误；

对于选项B,y'（力=3/+2尤为非奇非偶函数，B错误；

对于选项crW=4x3-4-且/'（1）=3,r（-i）=-5,r（—i）w/'（i）,

则/'⑺不是偶函数，c错误；

对于选项D,/=39+2为偶函数，D正确.

故选：D.

4.某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数

可以用排列数表示为（）

A.A：A；；B.A；；C.A：A]D.A；A《

【答案】A

【解析】4位任课老师站在一起的排法种数为A：,

将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有A；；,

再根据分步乘法得排列种数为A：A：；.

故选：A.

5.已知角Q,4满足（2-tana）（2+tan"）=5，则tan（a-£）=（）

A.-1B.-1C._2D.-3

32

【答案】B

【解析】由（2—tana）（2+tan^）=5，得4+2tan^-2tana—tanatan^=5，

整理得2（tan^-tana）=1+tanatan^>

/tana-tan£1

则tan（a—£）=---------乜=——.

1+tanatan£2

故选：B.

6.在数列｛a“｝中，=log63,且=2,则出0=（）

A.l+191og63B.l+191og62C.l+181og63D.l+181og62

【答案】D

【解析】因为6%[g]”=2,所以6%—""=2,所以。,+1—%=log62,

所以｛4｝是首项为log63,公差为log62的等差数列，则%=log63+（〃—l）log62,

lo3191O2lo3lo2181O

«20=§6+§6=§6+§6+§62=1+181og62,

故选：D.

7.将函数y=2sin，x-3图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变,

71兀

得到函数y=f（x）的图象，若函数y=f（kx）（k>0）在上单调，则上的取值范

“7

围是（）

94

AB.■C.——,+00D.—,+oo

105

【答案】B

【解析】将已知函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变,

则可得/（x）=2sin12x—^J,则/1（质）=2sin[2日—名），女〉0.

10

27c7171

设函数y=/（丘）的最小正周期为T,则7=耳22—+—

34

所以0〈左49,由兀兀0kli71Al7i2hi71

，得---------<2kx----<------

74,321010310

因为-包-71kit兀兀71Ikn7147171

<<,<<

71021010103107To,

所以根据单调性可得一-个、且-g-Q—?解得左《，

则上的取值范围是（0,。.

故选：B

8.如图，在四面体B钻C中，。，石分别为PC,A3的中点，且

AC±BC,PC±DE,AB=2,则该四面体体积的最大值为（）

12

A.-B.-C.一D.1

633

【答案】B

【解析】连接CE,PE，因为。,E分别为棱PC"的中点，S.AC±BC,PC±DE,AB^

2,

所以PE=CE=』A3=1,故P,A5c在以石为球心，1为半径的球面上.

2

设AC=m,BC=",(机>0,〃>0),则"宁+川=4,

(m+n)m2+rr+2mn4+2mn.1

mn<-------=-----------------=----------=1+—mn>

4442

即当且仅当m=〃=&时等号成立.

则S,„=—mn<—x2=1.

ABCr22

又四面体Q45c底面VA5C上的高“WPE=1,

所以ABCx/i=|xlxl=^,当且仅当PE±平面ABC时等号成立.

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知复数z=（1-i）（6+i），则（）

A.z=7+5i

B.|z-2|=5V2

C.z+7为纯虚数

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】ABD

【解析】z=（l-i）（6+i）=7-5i,

z=7+5i,A正确;

|z—2|=|5—5i|=V5775r=5夜，B正确；

z+7=14—5i不是纯虚数，C错误；

z在复平面内对应的点(7,-5)位于第四象限，D正确.

故选：ABD.

10.已知圆/：(］-1)2+0+2)2=4与圆^^：(》+根)2+(丁一1)2=疗相切，则加的取值

可以为()

A.-2B.-1C.3D.4

【答案】BC

【解析】若这两个圆外切，则|M?V|=J(l+m)2+(_2-l)2="+府=2+同,

两边平方后，解得机=-1或3；

若这两个圆内切，则|加|=’(1+丁)2+(_2_1)2="_府|=|2—|加,

解得me0.

故选：BC

11.已知函数/(%)的定义域为R,且Vx,yeR,/(x)/(y)=/(移)+%2y2(x2+y2),

则()

A./(0)=0

B./(V2)=-3

C./^x+^>/(2sinx)

D.函数g(x)=&!的值域为［1,+8)

X

【答案】AC

［解析］令x=y=l,得［/(1)］2=/0)+2,解得/(1)=-L或=

若/(1)=—1,令y=l,得—〃%)=〃％)+%2(%2+1),则〃x)=_x2(；+l),

此时小)小”立在;…，而

1

f(U22/2」\DD+)22(2工2)

f(xy)+xy(x+y)=-------------+尤y(尤+y)，

显然/(%)/(，)=/3)+X2y2(%2+y2)不恒成立.

若/⑴=2,同理得/(%)=%2(必+1),代入恒等式中验证有

/(%)/(丁)=/(孙)+龙勺2(尤2+川恒成立，

故y(x)=x2(x2+1)n/⑼=0,/(行)=6,A正确，B错误.

易知/(力=九2(尤2+1)是偶函数，且/(%)在(0,+8)上单调递增.

因为x+工222|2sinx|,且等号不能同时成立，所以x>|2sinx|,

XX

则/-X+^j>/(|2sinx|),则/[x+g]〉/(2sinx),C正确.

2

g(x)=ZM=x+l(x^0),易得g(尤)的值域为(L+8),D错误.

x

故选：AC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

rY

12.己知向量a=(4,3),||=2,且。力=1，则。一%=.

【答案】3月

【解析】由a=(4,3),得忖=,42+32=5,

贝"a—N=(a—Z?)=a-2a-b+b2=|tz|+2a-Z?+|z?|=27,

贝技

故答案为：3省.

13.已知歹是抛物线C：*=—2py(p>0)的焦点，P(100,—50)是C上一点，则|尸产|=

【答案】100

【解析】由IO。？=100°,可得0=100,贝山。司=50+~|=100.

故答案为：100

14.设々>0(i=l,2,㈤，则称国/竹22为4也,.,6"这几个数的几何平均数.若从

等比数列1,2,2?,…,2"中删除一个数2m(l<m<«-l,meN*),剩下的〃个数的几何平

均值为235,则等比数列1,2,22,.,2"的各项之和为.

【答案】271—1

【解析】若删除的是1,则剩下的几个数的几何平均数最大，

最大值为^，22―2"-也"2++"=^2^^-2^'

若删除的是2"，则剩下的〃个数的几何平均数最小，

最小值为出。+1++"-i__2^T，

则2T<235<2等，解得69<〃<71,又“eN*，可得〃=70,

所以数列1,2,22,..,2〃的各项之和为上2?=2"+1-1=271-1.

1-2

故答案为：271.1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.

15.AABC的内角ABC的对边分别为a/，c，己知02=3la0sinC

5

(1)求cosC的值；

(2)若c=5,△ABC的面积为百，求ZWC的周长.

解：(1)由余弦定理可知，=2出7cosc.

因为片+/一C2=4,absmC>所以2abeosC=生6absmC，

55

即cosC=2旧sinC.

5

由sii?C+cos2c=1,且sinC>0,

解得sinC=，则cosC=—.

33

(2)AABC的面积S=』aOsinC=6ab=6，则H?=6.

26

因为c=5，所以由02=〃2+)2—2a〃cosC,

可得25=6+b2—^|^=(a+»2-^^=(a+Z?)2-20,

则a+b=3j?，

故VA5C的周长为36+5.

16.围棋源于中国，是中国传统文化中的瑰宝，下围棋可陶冶情操.某中学坚持开展围棋活

动，以提高学生的思维能力，其围棋社的成员中有60名男生，50名女生.为了解围棋社成

员是否利用AI学棋的情况，现采用按性别比例分配的分层抽样方法抽取n名成员调查分

析.

（1）求男生和女生各抽取多少人.

（2）在抽取的11人中，有2名女生明确利用AI学棋，现在从剩下的9名成员中再依次随

机抽取3次，每次抽取1人.

①在第一次抽到女生的条件下，求第二次抽到男生的概率；

②设抽到的女生人数为X,求X的分布列与期望.

解：（1）由题意，得分层抽样的抽样比为-------=—

60+5010

所以抽取的男生人数为60义工=6,

10

抽取的女生人数为50义工=5.

10

（2）由已知得剩下9名成员中，有5—2=3名女生，有6名男生.

①设“第一次抽到女生”为事件A,“第二次抽到男生”为事件B,

则p(A)=3=L,p(AB)=3><g=L,

''93'7984

3

则「（剧

4

3

即在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生的概率为一.

4

②由题知，X的可能取值为0』,2,3,

3A320_^_

则p(x=o)=JW

r3A3

L9A384~21

P(X=D=，喑噂

C&A：_18_3

p(X=2)=

C；A；8414

「300人31

363

lJC；A；=—84

则X的分布列为

X0123

51531

p

21281484

®E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=1.

v721281484

17.如图，在四棱锥S—A3co中，A3,平面

SAD,AD1SD,AB=1,BC=—,AD=SD=43,/BCD=60.

3

(1)证明：BC±BS.

(2)求平面SBC与平面SCO夹角(锐角)的余弦值.

(1)证明：连接5。，因为A3,平面S4D,ADu平面

所以又AB=l,AD=y/i,所以5D=2.

在△BCD中，由NBCD=60,BC=N^~,BD=2,

3

BC?+CD?-BD?解得8=勺叵

所以cos60。=

2BC-CD3

则5。2+5£>2=c02,即BC工BD.

因为平面S4Q,SQu平面S4。，所以A6LSD.

又A。，SO,ABcAD=A,AB,A。u平面A5C£>,

所以SDL平面A5CD.

因为BCu平面A5CD,所以SDL5c.

因为SO8。=0,5。,8。＜=平面5瓦)，所以5C,平面Sfi£＞.

又5Su平面Sfi£>,所以5CL5S.

(2)解：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为乂丁轴，建立如图所示空间直角坐

标系.

由43=1,4。=石，可得NABD=60°，则/XBC=30，

则3（1,0,0）,0（0,也,0）,5（0,3,6）,02,日,0,

[3J

所以BC=,BS=（-1,6,6）,CD=—2,~~~,0,CS=-2,',石

设平面S5C的法向量为加二（X，x，zj,

BC-m=0

则由＜一得《

BS-m=0_%]+y/3y^+^/Szj-0

令％=上,得加=（也,一3,4）.

设平面SCD的法向量为〃=(9，%，Z2)，

2邪

%=0

CDn=0-2%2+亍

则由<一得」

CS•〃=0

%+底2=。

-2%+亍

令%=6，得”=(1,6,0)

设平面SBC与平面SCD的夹角为6,则COS8="4=¥=叵

\m\\n\4V714

即平面SBC与平面SCD的夹角的余弦值为叵.

14

18.已知函数/'(x)=aln(x+l)+x-l.

(1)若“力在(L+8)上单调递增，求。的取值范围；

(2)讨论〃尤)的单调性;

(3)若〃力在上有2个零点，求a的取值范围.

解：⑴依题意得了'(x)=—吼+120对恒成立，

即对xe(l,+co)恒成立，

所以。之一2,即。的取值范围是［—2,+8).

(2)由题知，/(司的定义域为(—1,+。)，

又/'(#=五彳，

当a20时，/,(x)>0,/(x)在(―1,+。)上单调递增.

当a<0时，令/'(x)<0,得一l<x<—a—1,令/'(x)>0,得］>—a—1,

则/(x)在(T一。-1)上单调递减，在(-a-L+8)上单调递增.

综上，当a»0时，/(%)在(—1,+8)上单调递增，

当a<0时，〃尤)在(―L—a—1)上单调递减，在(―a—1,+8)上单调递增.

（3）由⑵知，当a»0时，“X）在';,7）上单调递增,

则/⑺在"71上至多有1个零点，则a20不符合题意.

当“<0时，要使得"％）在上有2个零点,

则一!<-a-l<7,BP-8<tz<,

22

且"⑺=3aln2+6〉0,

f(一。-1)=tzln(—a)-a-2<0

设函数g(a)=aln(-a)-a_2,_8<a<——,

则gf(a)=ln(-a),

所以在(―8,—1)上g'(a)〉0,g(a)单调递增,

在上g'(a)<0,g(a)单调递减，

所以g(a)1mx=g(—l)=T<0.

,13八

am---->0

22

f_2___3_)

〃ln2+2>0,得a£

由<Iln2’21n2)

-8<a<--

2

23

即a的取值范围为In2，-21n2

19.在平面直角坐标系中，若点P（x,y）的横、纵坐标均为整数，则称尸（尤,y）为格点，若

曲线r上存在3个格点构成三角形，则称r为“3格曲线”.

22

（1）若椭圆。：工+4=1（1<〃<2）为“3格曲线”，求。的离心率；

4b

22

(2)若椭圆°：亍+今=1(0<。<2)上存在个格点，且从中任取3个格点构成

三角形，设该三角形的一个顶点为。的左顶点的概率为P(〃)，求P(〃)；

(3)若直线/：y=x+2上存在2个格点MN,使得|川^+|旌|=2，其中K为曲线

22

D-.亍+为=10>0)与y轴正半轴的交点，求6的值.

解：⑴由题可知，C的左顶点A(—2,0),右顶点4(2,0)是两个格点.

因为1<)<2,所以C的上，下顶点不为格点.又C为“3格曲线”，所以。上至少存在一个

zzzlX

异于椭圆C顶点的格点x(nv)，则竹<|时<2,贝“I,