高考数学复习教案：第九章 统计（教用）

第九章统计

9.1随机抽样与统计图表

课程标准有的放矢

1.知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设

计、普查和抽样、互联网等.

2.了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性.

3.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单

随机抽样方法：抽签法和随机数法.会计算样本均值和样本方差，了解样本与总

体的关系.

4.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必

要性，掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样

本均值和样本方差.

5.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决

问题.

6.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体

会合理使用统计图表的重要性.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.总体、个体、样本

调查对象的全体（或调查对象的某些指标的全体）称为总体,组成总体的

每一个调查对象（或每一个调查对象的相应指标）称为包.根据一定目的，从

总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断

的调查方法，称为抽样调查.在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为在

主，样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.

2.简单随机抽样

（1）特点：逐个抽取，且每个个体被抽取的概率相等.本章主要研究不放回

简单随机抽样.

（2）常用方法：抽签法和随机数法.

（3）适用范围：个体性质相似，无明显层次，且个体数量较少，尤其是样

本容量较少.

3.分层随机抽样

（1）定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个

个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再

把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随

机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大

小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

（2）适用范围：总体可以分层，且层与层之间有明显区别，而层内个体差

异较小.

（3）平均数的计算：各层抽样比乘各层平均数的和.

4.统计图表

（1）常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布表、频率分布

直方图等.

（2）频率分布直方图.

①画频率分布直方图的五个步骤：求极差、决定组距与组数、将数据分

组、列频率分布表、画频率分布直方图.

②频率分布直方图的特点：各个小长方形的面积表示相应各组的频率；各

小长方形的面积的总和等于1.

常用结论

1.简单随机抽样及按比例分配的分层随机抽样中，每一个个体入样的概率都

是相同的.

2.按比例分配的分层（两层）随机抽样中，若第一、二层的样本容量分别为

加九平均数分别为莪则样本平均数为X.

m+n

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“X”.

（1）调查一款新能源汽车的最大续航里程，宜采用全面调查.（）

（2）从高三年级1000名学生中随机抽取50名学生的身高数据进行统计分

析，抽取的50名学生是一个样本.（）

（3）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（）

（4）在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（）

（5）在频率分布直方图中，纵轴表示频率.（）

【答案】（1）X

(2)

（3）X

（4）X

（5）X

2.某校有男生700名、女生400名.为了解男、女学生在空间想象能力方面是

否存在显著差异，拟从全体学生中抽取110名学生进行调查.宜采用的抽样方法

是（）

A.抽签法B.随机数法

C.分层随机抽样法D.以上抽样方法均可

【答案】C

【解】最适合采用的是分层随机抽样法.故选C.

3.（教材题改编）某城市收集并整理了该市2024年1月份至10月份每月最低

气温与最高气温（单位：°C）的数据，绘制了如图所示的折线图.已知该市每月

的最低气温与当月的最高气温两个变量具有较好的线性关系，则下列选项错误

的是（）

A.每月的最低气温与当月的最高气温两个变量正相关

B.10月份的最高气温不低于5月份的最高气温

C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份

D.最低气温低于0。（2的月份有4个

【答案】D

【解】由题图，可得当最低气温较高时，最高气温也较高，故A正确.10月份的

最高气温不低于20。（：，而5月份的最高气温低于20。。故B正确.从各月的温差

看，1月份的温差最大，故C正确.最低气温低于（TC的月份是1,2,4三个月份，故

D错误.故选D.

4.某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布

情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学

生的成绩，并进行分组：[50,60）,[60,70）,[70,80）/80,90）,[90,100],绘制成

如图所示的频率分布直方图.该图中a=.

【答案】0.020

【解】由题意，得10x（0.01+a+0.03+0.025+0.015）=1,解得a=

0.020.故填0.020.

核心考点精准突破

考点一随机抽样

例1

（1）【多选题】某学生社团有男生32名、女生24名，从中随机抽取一个容

量为7的样本.某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生，则（）

A.这次抽样可能采用的是抽签法

B.这次抽样不可能采用随机数法

C.这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样

D.这次抽样中，每名男生被抽到的概率一定小于每名女生被抽到的概率

（2）【多选题】某学校高三年级共有900人，其中男生500人.现采用按性别

比例分配的分层随机抽样的方法，从中抽取了容量为90的样本.经计算,得男生

样本身高（单位:cm）的平均数为170,女生样本身高的平均数为161.下列说法

正确的是（）

A.男、女生被抽到的人数分别为50,40

B.女生甲被抽到的概率为：

C.估计该校高三年级学生身高的平均数为166

D.若用简单随机抽样方法从900人中抽取9人，则这9人的身高均值比上述90

人的身高均值更接近总体平均值

【点拨】①当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层随机抽样.②不论哪种

抽样方法，每个个体入样的概率都是相同的.③在比例分配分层随机抽样中，若第

一、二层的样本容量分别为71,平均数分别为元包则样本平均数为四近.

m+n

【答案】(1)AC

(2)AC

【解析】

(1)【解】总体中个体数不多，此次抽样可能采用的是抽签法或随机数法，

故A正确，B错误.若按性别比例分配，则抽得的男、女生应分别为4人、3人，

故C正确.在随机抽样中，每名男生被抽到的概率和每名女生被抽到的概率均相

等，故D错误.故选AC.

(2)【解】由题意，得抽样比例为我=三，故男生被抽到的人数为Lx

9001010

500=50；女生被抽到的人数为90-50=40,故A正确.女生甲被抽到的概率

为的=2_,故B错误.样本均值为包x170+竺x161=166,故C正确.90人

900-500109090

的样本容量更大，一般更接近总体平均值，故D错误.故选AC.

变式1.

(1)总体由编号为1,2,3,…，89,90的90个个体组成，现用随机数法选

取30个个体.利用仅显示1〜100之间的计算器，产生的部分随机数如下所示，

则选出来的第5个个体的编号为.

844217895574556888

314772176335063

(2)【多选题】已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生

55000人.当地教育部门为了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、

高中生进行分层随机抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生、初中

生、高中生的近视率分别为30%,70%,80%.下列说法正确的有()

A.从高中生中抽取了460人

B.每名学生被抽到的概率为瞑

C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%

D.估计高中学生的近视人数约为44000

【答案】(1)57

(2)BD

【解析】

(1)【解】按序舍掉重复的8和超过编号范围的95,可知，前5个个体编号

为8,44,2,17,57.故填57.

(2)【解】学生总人数为120000+75000+55000=250000.高中生抽取

2000X包叫=440(人)，故A错误.每名学生被抽到的概率为

250000250000125

故B正确.估计该地区中小学生总体的平均近视率为出出X0.3+坐叫x0.7+

250000250000

包巴0.8=9=53%,故C错误.高中学生近视人数约为55000x0.8=

250000250

44000,故D正确.故选BD.

考点二统计图表

例2【多选题】某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两

全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相

关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得

出如下三个统计图，则()

A.18-29周岁人群参保总费用最少

B.30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20%

C.54周岁以上的参保人数最少

D.丁险种更受参保人青睐

【解】由题图1,得54周岁及以上的参保人数比例为1-30%—33%—20%=

17%,占比最少.其余年龄段的参保人数均比18-29周岁人群参保人数多.由题

图2,得20%X4000<17%X6000,所以18—29周岁人群参保总费用最少,

故A,C正确.

对于B,由题图1,得30周岁以上的参保人群约占参保总人群的80%,故B错

、口

沃.

对于D,由题图3,得丁险种参保人群约占参保总人群的55%,所以最受青睐,

故D正确.故选ACD.

【答案】ACD

【点拨】扇形图常被用来描述各类数据占总数的比例，折线图常被用来描述数

据随时间的变化趋势，条形图和直方图常被用来描述不同类别或分组数据的频

数和频率.统计图表，除了上述教材中出现过的外，茎叶图、雷达图、等高条形

图等也在高考中出现过.

变式2.

（1）【多选题】如图是2018—2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，

则（）

2018-2022年国内生产总值及其增长速度

亿元

1400000

1200000

1000000

800000

600000

400000

200000

0

A.2018-2022年的国内生产总值逐年递增，2020-2022年均已超过1000

000亿元

B.2018-2022年的国内生产总值增长速度逐年递减

C.2018-2022年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%

D.2018-2022年的国内生产总值的极差为290926亿元

（2）【多选题】人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长的直接因

素，是体现居民生活水平和质量的重要指标.2022年一季度和2023年一季度我

国居民人均消费支出分别为6393元和6738元.图1、图2分别为2022年一季

度和2023年一季度居民人均消费支出构成分布图，则（）

衣着

7.1%

其他

25.4%.

食品烟酒食品烟酒

32.6%31.6%

交通通信

交通通信12.2%

12.4%

居住居住

22.5%23.2°o

图1图2

A.2022年一季度和2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出均超过人均总消

费支出的30%

B.2023年一季度居民食品烟酒、衣着、居住各项人均消费支出占比较上年同期

均有所降低

C.2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出

D.2023年一季度居民人均消费支出比上年同期增长约5.4%

【答案】（1）ACD

(2)AD

【解析】

（1）【解】显然A正确，B错误.对于C,2018—2022年的国内生产总值增长

速度的平均数为・

67%+6.0%+2.2%+8.4%+3.0%=5.26%,故C正确.对于D,2018-

2022年的国内生产总值的极差为1210207-919281=290926（亿元），故D

正确.故选ACD.

（2）【解】对于A,2022年一季度和2023年一季度居民食品烟酒人均消费支

出分别占人均总消费支出的32.6%,31.6%,故A正确.对于B,2022年一季度居

民居住人均消费支出占人均总消费支出的22.5%,2023年一季度居民居住人均

消费支出占人均总消费支出的23.2%,故B错误.对于C,2022年一季度居民人均

交通通信支出为6393X12.4%〜793（元），2023年一季度居民人均交通通信

支出为6738X12.2%〜822（元），故C错误.对于D,—X100%-1~

6393

5.4%,故D正确.故选AD.

考点三频率分布直方图

例3某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量（单位：m3）数据和使用

了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0,4)[0,4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7]

水量

频数13249265

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6]

水量

频数151310165

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图.

m4

z2

z0

8

z

6

z4

z2

L0

L8

L6

4

L

2

L0

S8

6

也

o4

.

S2

O

0107030,40506日用水量/n?

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率.

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年大约能节省多少水？(一年按365天计

算，同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值代替)

【解】(1)频率分布直方图如图所示.

频率

组距

工4

32

.

30

.8

Z6

Z

4

Z

Z2

Z0

L8

L6

L4

L2

L0

8

也

66

也4

62

O

00.10.20.30.40.50.6日用水量/n?

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后,50天的日用水量小于0.35m3的频

率为(0.2+1.0+2.6+1)x0.1=0.48.

故该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为欢=/x(0.05x1+

0.15X3+0.25X2+0.35X4+0.45X9+0.55X26+0.65X5)=0.48.

该家庭使用了节水龙头后,50天日用水量的平均数为逐=/x(0.05x1+

0.15x5+0.25x13+0.35X10+0.45x16+0.55x5)=0.35.

估计该家庭使用节水龙头后，一年大约能节省水(0.48-0.35)x365=

47.45(m3).

【点拨】①在频率分布直方图中，每个小矩形的面积就是相应的频率或概率，

所有小矩形的面积之和为1.②在频率分布直方图中，纵轴上的数据是各组的频

率除以组距，而不是频率，不要和条形图混淆.

变式3.

(1)某校抽取100名学生测身高(单位：cm),其中身高最大值为186,最

小值为154.根据身高数据绘制频率分布直方图，组距为5,且第一组下限为

153.5,则组数为.

(2)【多选题】某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2024年暑期

社会实践的情况，随机抽取了一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的

时间(单位：min)进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.已知样本

中位于区间［60,70)的有20人,则()

A.a=0.020

B.N=100

C.估计该样本数据的平均数为74

D.估计全校社会实践时间在60min以上的学生约有180人

【答案】(1)7

(2)ABC

【解析】

(1)【解】极差为186-154=32,组距为5,且第一组下限为153.5,卷=

6.4,故组数为7.故填7.

(2)【解】由(0.01+2a+0.045+0.005)x10=1,得a=0.020,故A正确.

因为样本中位于区间［60,70)的有20人，所以祟=0.2,即N=100,故B正确.

平均数为0.1x55+0.2x65+0.45x75+0.2x85+0.05x95=74,故C正

确.因为样本中社会实践时间在60min以上的频率为0.9,所以估计全校社会实践

时间在60min以上的学生约有0.9x2000=1800(人)，故D错误.故选ABC.

课时作业知能提升

【巩固强化】

1.为了解高一学生的身体发育情况，打算在高一年级10个班中随机抽取2个

班，在这2个班的所有学生中按男、女生比例抽取样本.恰当的抽样方法是

（）

A.先用抽签法，再用随机数法

B.先用分层随机抽样法，再用随机数法

C.两次抽取均用分层随机抽样法

D.先用抽签法，再用分层随机抽样法

【答案】D

【解】先从高一年级10个（少数）班级中抽取2个，宜用抽签法.再从差异较

大的男、女生中按比例抽取学生，适合使用分层随机抽样法.故选D.

2.某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人.现采用按比例分

配的分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的

享受情况，则应从青年员工中抽取（）

A.8人B.10人C.12人D.18人

【答案】C

【解】由题意，可得抽取的30人中，青年员工有80+1；：+120X30=12（人）.

故选C.

3.某校采用分层随机抽样方法，从高一、高二、高三学生中分别抽取90名、

100名、120名，对餐厅服务进行评价，得到高一年级的好评率为90%,高二年

级的好评率为93%,高三年级的好评率为95%.依此估计该校学生对餐厅服务的

好评率约为（）

A.91%B.92%C.93%D.94%

【答案】C

144

【解】该校学生对餐厅服务的好评率为90X0.9+100X0.93+120X0.9593%.

90+100+120155

故选C.

4.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为子时的睡眠对一天至关重要（子时是指

23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指

数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图

所示，贝U()

A.睡眠指数在区间［60,80)内的人群中，早睡人数多于晚睡人数

B.早睡人群睡眠指数主要集中在区间［80,90)内

C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小

D.晚睡人群睡眠指数主要集中在区间［60,80)内

【答案】B

【解】因为没有给出样本量，所以不能从占比来判断人数，故A错误.

早睡人群睡眠指数主要集中在区间［80,90)内，晚睡人群睡眠指数主要集中在区

间［50,60)内,故B正确,D错误.

早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故C错

误.故选B.

5.从某中学随机选取100名学生，将他们的身高数据(单位：cm)绘制成频

率分布直方图.若要从身高在［150,160),［160,170),［170,180］三组内的学生中，

按比例分配的分层随机抽样的方法选取32人参加一次活动，则从身高在

［170,180］内的学生中选取()

【答案】B

【解】由频率分布直方图的性质，得a=0.025,所以身高在

［150,160),［160,170),［170,180］三组内的学生比彳列为0.025:0.035:0.02=

5:7:4.

由题意，知从身高在［170,180］内的学生中选取32x」一=8（人）.故选B.

5+7+4

6.［2023年上海春季高考卷］如图为2018—2021年中国货物进出口总额的条形

统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（）

2018—2021年中国进出口总额统计图

A.从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大

B.从2018年开始，进出口总额逐年增大

C.从2018年开始，进口总额逐年增大

D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

【答案】C

【解】显然A,B正确.

2020年相对于2019的进口总额减少，故C错误.

2021年的进出口总额增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相

对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母更大，故2020年的增长率

一定最小，故D正确.故选C.

7.［2021年全国甲卷改］【多选题】为了解某地农村经济情况，对该地农户家

庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布

直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】ABD

【解】该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=

0.06=6%,故A正确.

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02x3=

0.10=10%,故B正确.

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+

0.20x2=0.64=64%>50%,故D正确.

由对称性（以7.5为对称轴），并进行割补，可知平均值超过7（大致在7.5附

近），故C错误.直接计算亦可.

故选ABD.

8.某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名

男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分）.学校规

定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训.若用比例

分配的分层随机抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人

中到A班的有人.

」||女

831111

9651112489

6421327

50143

【答案】2

【解】由题意，结合题图，知这20名学生有8人到A班培训，12人到B班培训.

所以5人中到A班的有为x5=2（人）.故填2.

9.为了解某中学女生的视力情况，对该校女生的视力进行了一次测量，所得数

据整理后列出了频率分布表如下：

组另[0.85,0.95）[0.95,1.05）[1.05,1.15）[1.15,1.25）[1.25,1.35）[1.35,1.45]合计

频数1420158mM

频率0.020.080.400.300.16nN

（1）求表中n,M,N的值;

（2）将下列频率分布直方图补充完整;

频率

组距

1.051.151.251.351.45视力

（3）利用组中值计算女生视力的平均值.

【解】（1）由频率分布表，得工=0.02,即M=50.

M

所以zn=50-1-4-20-15-8=2.

所以n=&=0.04,N=1.

⑵[1.05,1.15）对应矩形的高为署=4,[1.15,1.25）对应矩形的高为首=3.补

全直方图如下：

频率

（3）女生视力的平均值为0.02x0.9+0.08X1+0.40x1.1+0.30x1.2+

0.16X1.3+0.04X1.4=1.162.

【综合运用】

10.为了解某校初中学生的近视情况，按年级用比例分配的分层随机抽样的方

法抽取100名学生进行视力检测.已知初一、初二、初三年级分别有800名、

600名、600名学生，则不同的抽样结果共有（）

A.峨。（C温尸种B.嘲°C媪C温种

c.（嚼o）2C媪种D.（C%）2c纵种

【答案】A

【解】按年级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取初一学生40名，初二、

初三学生各30名.

根据分步乘法计数原理，可知不同的抽样结果共有C豺o（C含0）2种.故选A.

11.某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重（单位：

斤）.经数据处理，得到如图所示的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔

猪的体重的频数分布表如下所示.为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直

方图中的一些数据,其中a+5的值为（）

体重22242627282931

频数1123322

A.0.144B.0.152C.0.76D.0.076

【答案】B

【解】由题意，得c+d=葛器xj=0.024,且[2(c+d)+ti+b]x5—1,所

以a+b=0.152.故选B.

12.【多选题】某校为更好地支持学生的个性化发展，开设了学科拓展类、创

新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位学生从中选择一门课程学习.

现对该校4000名学生的选课情况进行了统计，如图1,并按类型用比例分配的

分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对其所选课程进行了满意率调查，如图

2.下列说法正确的是（）

A.抽取的样本容量为4000

B.该校学生中对兴趣爱好类课程满意的约有700人

C.若抽取的学生中对创新素质类课程满意的有24人，则a=70

D.该校学生中选择学科拓展类课程的有1000人

【答案】BD

【解】对于A,抽取的样本容量为4000X2%=80,故A错误.

对于B,该校学生中对兴趣爱好类课程满意的约有4000x35%x50%=700

（人），故B正确.

对于C,80x40%xa%=24,解得a=75,故C错误.

对于D,由图1,知该校学生中选择学科拓展类课程的频率为1-35%-40%=

25%,则4000X25%=1000（人），故D正确.故选BD.

13.某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人.现按组采用比例

分配的分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则

这两人来自同一组的概率为.

【答案】|

【解】第一组抽取5x一二二2（人），第二组抽取5x^^=3（人）.基本

18+2718+27

事件总数n=髭=10.

这两人来自同一组包含的基本事件个数m=禺+髭=4.所求概率P=；=:故

14.某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案.方案一：每日底薪120

元，每销售一单提成2元.方案二：每日底薪200元，销售的前50单没有提

成，从第51单开始，每完成一单提成4元.该公司记录了销售员的每日人均业

务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为

[25,35）,[35,45）,[45,55）,[55,65）,[65,75）,[75,85）,[85,95],共7组，整理得到如

图所示的频率分布直方图.

频率

29久4；5；6；a95业务量/ll

（1）求频率分布直方图中a的值.

（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员

做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值

代替）

（3）假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400

人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达

多少单？

【解】（1）由题图，得（0.005x3+2a+0.03+0.015）X10=1,所以a=

0.02.

（2）每日人均业务量的平均值为（30x0.005+40x0.005+50x0.02+60x

0.03+70x0.02+80x0.015+90x0.005）x10=62.

方案一中人均日收入为120+62x2=244（元），

方案二中人均日收入为200+（62—50）x4=248（元）〉244（元），所以选

择方案二.

（3）因为40+400=0.1,所以设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.

由题图，得前5组的频率和为（0.005X2+0.02+0.03+0.02）X10=0.8,

前6组的频率和为0.8+0.015x10=0.95.

设该销售员每日的平均业务量为％.因为0.8<0.9<0.95,所以（％-75）X

0.015+0.8>0.9.解得%>81泉又％GN*,所以％最小取82,即他每日的平均业

务量至少应达82单.

【拓广探索】

15.某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1:6:3.现按年龄用

比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知老年

职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是点，则该单位有员工人.

【答案】70

【解】从老年职工组中抽取20X工=2（人）.

10

设老年职工组共有n人，则甲、乙二人均被抽到的概率为与=三，即鬣=

C九21

竺=21.解得n=7.

所以该单位共有员工（X20=70（人）.故填70.

9.2用样本估计总体

课程标准有的放矢

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众

数），理解集中趋势参数的统计含义.

2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），

理解离散程度参数的统计含义.

3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.

4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.百分位数

（1）第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个

值，它使得这组数据中至少有曾％的数据小于或等于这个值,且至少有（100-

小的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原

始数据;第2步，计算i=nxp%;第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为

],则第p百分位数为第工项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+

1）项数据的平均数.

2.众数、中位数与平均数

（1）众数：一组数据中重复出现次数量多的数据.

（2）中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在史

回位置的数（或中间两个数的平均值）叫做这组数据的中位数.

（3）平均数：如果n个数%1，%2，…，xn＞那么工=+%2■1---叫

做这n个数的平均数.

一般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用平均数、中位数;而对分

类型数据集中趋势的描述，可以用众数.

3.方差与标准差

（1）方差、标准差的定义：一组数据打，为2,…，Xn,用9表示这组数据

1九171

的平均数，则坡组数据的方差为工£8—幻2=工E好一产9,标准差为

ni=lni=l

（2）总体方差和总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为匕，

七，…,%，总体平均数为7，则总体方差S2=匕一7）2;如果总体的N个变

N1=1

量值中，不同的值共有々（kWN）个，不妨记为匕，Y29…照，其中X出现的频

1k—

数为力（i=1,2,3,--"）,则总体方差为52=!2力（匕一丫）2.

常用结论

1.频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数

左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重

心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以对应小长方形底边中点的

横坐标之和.

2.若数据％1，久2,…,无71的平均数为高方差为s2,则数据7HK1+a,mx2+

a,…,+a的平均数为nu+a,方差为m2s2.

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“X”.

（1）一组数据的平均数，不太受极端值的影响，因而平均数总是接近中位数.

（）

（2）若样本量九=100,则第50百分位数是从小到大排列的第50个数.（）

（3）一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论.（）

（4）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.（）

（5）如果一组数据中的每个数都减去同一个非零常数，那么这组数据的平均

数改变，方差不变.（）

【答案】（1）X

（2）X

（3）X

（4）V

（5）V

2.在某次联考的阅卷工作中，质检老师随机抽取了10份试卷，对某题的阅卷

评分进行了复查，得分记录分别为13,17,11,9,12,15,10,8,10,7,

则这组样本数据的（）

A.极差为11分B.众数为10.5分

C.平均数为11分D.中位数为10.5分

【答案】D

【解】将得分从小到大排列为7,8,9,10,10,11,12,13,15,17,故A,B错误,D正确.

13+17+11+9+12+15+10+8+10+7

平均数为11.2,故C错误.故选D.

10

3.［2021年新课标II卷］【多选题】下列统计量中，能度量样本久1，&,…,出的离

散程度的有（）

A.样本%1，%2,…,%n的标准差B.样本%1，为2,…,%n的中位数

C.样本%1，%2,…，马的极差D.样本%1，久2,…，%的平均数

【答案】AC

【解】标准差和极差符合要求.故选AC.

4.（教材题改编）一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为

1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,则该组数据的第75百分位数为

【答案】14.5

【解】因为75%x20=15,所以第75百分位数为上尹=14.5.故填145

核心考点精准突破

考点一总体百分位数的估计

例1

（1）“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书

数量统计如下：

借书数量/本5678910

频数/人58131194

则这50名学生的借书数量的上四分位数是（）

A.8B.8.5C.9D.10

（2）某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是

515分，则成绩不低于515分至少有（）

A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人

【点拨】第p百分位数的计算步骤（在频率分布直方图中）：先确定第p百分位

数所在的区间［a,5）,再确定小于a和不小于b的数据所占的百分比九％，%%,则第

p百分位数为a+头笔x（b-a）.

fb°/o-Ja/o

【答案】（1）C

（2）D

【解析】

(1)【解】由50x75%=37.5,得上四分位数为借书数量从小到大排序后的

第38个数.又5+8+13+11=37<38,所以上四分位数是9.故选C.

(2)【解】成绩不低于515分的至少有16000X(1-60%)=6400(人).故

选D.

变式1.

(1)某果园种植了100棵苹果树，从中随机抽取的12棵果树的产量(单位：

kg)分别为：

242536272832202629302633

据此预计，该果园的总产量为kg,第75百分位数为kg.

(2)某省全省联考后，教育部门在该省高三学生中随机抽取了1000名学生，

对他们的化学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则估计该省学

生此次化学成绩的第75百分位数为()

频率

0.020

0.015

0.010

0.005

405060708090100成绩/分

A.79.5分B.82.5分C.81分D.82分

【答案】(1)2800；31

(2)B

【解析】

(1)【解】：(24+25+36+27+28+32+20+26+29+30+

26+33)=28(kg),所以预计总产量为28x100=2800(kg).因为12x75%=

9,且12棵果树的产量从小到大排列后的第九、十个数字分别为30,32,所以

预计总产量的第75百分位数为31kg.故填2800；31.

(2)【解】由题图，知分数在［40,80)内的频率为(0.005+0.015+0.020+

0.030)X10=0.7,在［40,90)内的频率为0.7+0.02X10=0.9,所以第75百

分位数位于(80,90)内，且为80+丝祥X10=82.5.故选B.

考点二总体集中趋势的估计

例2【多选题】某大学共有15000名学生，为了解学生书籍阅读量的情况，该

校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此估

计该校学生本年度阅读书籍数量的情况.下列估计正确的是（注：同一组数据用

该组区间的中点值作为代表）（）

A.估计该校学生2024年阅读的书籍数量的众数为6

B.估计该校学生2024年阅读的书籍数量的中位数为6.6

C.估计该校学生2024年阅读的书籍数量的平均数为6.76

D.估计该校学生2024年阅读的书籍数量的第60百分位数为7.6

【解】由题图，知众数在[4,8]内，所以众数是6,故A正确.中位数％C[4,8],所

以0.06x4+0.1x（%-4）=0.5,解得X=6.6,故B正确.平均数为4x（2x

0.06+6X0.1+10X0.07+14X0.015+18X0.005）=6.88,故C错误.

第60百分位数约为4+竺卫X4=7.6,故D正确.故选ABD.

0.1X4

【答案】ABD

【点拨】①频率分布直方图中求中位数，一般先确定中位数所在的区间，再利

用“0.5-较低累积频率=（久-区间左端点值）x区间纵坐标”，求得力即可.②

一般地，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那

么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均

数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数.

变式2.

（1）某班学生A,B在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生

A成绩的平均数与学生B成绩的众数相等，则租=.

学生A________学生B

~93T75-

3,”5282444

32921

（2）（教材题改编）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小

关系和数据分布的形态有关.下面四个频率分布直方图中，最能说明平均数大

于中位数的是（）

A.。B.

D.

【答案】(1)5

(2)A

【解析】

(1)【解】由题意，得73+79+82+85+(8。+叫+83+92+93=&4,解得瓶=5.故填5.

8

(2)【解】对于B,D,直方图形状对称，所以平均数和中位数相等.A中图形在

右边拖“边尾”，C中图形在左边“拖尾”，故A正确.故选A.

考点三总体离散程度的估计

例3某果园试种了A,B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了

这20棵桃树的产量(单位：kg)如下表.记A,B两个品种各10棵产量的平均

数分别为丽方差分别为才和s之

A/kg60504060708070305090

B/kg40605080805060208070

(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数.

(2)求心y,S1,S1.

(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个

品种更合适?并说明理由.

【解】(1)这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30,40,50,50,60,

60,70,70,80,90.

所以极差为90—30=60,中位数为竺罗=60.

这10棵B品种桃树的产量从小到大分别为20,40,50,50,60,60,70,

80,80,80.

所以极差为80—20=60,中位数为竺罗=60.

(2)x=^x(30+40+50+50+60+60+70+70+80+90)=60.

1