二次根式（4大考点11类题型）（苏科版）

专题12.11二次根式（4大考点11类题型）（中考常考点分类专题）

第一部分【知识梳理与题型目录】

考点与题型目录

【考点一】二次根式的意义与性质

【题型1】二次根式的意义.............................................................1

【题型2】二次根式的性质............................................................3

【考点二】二次根式的运算

【题型3】最简二次根式与同类二次根式................................................4

【题型4】二次根式的乘除运算........................................................6

【题型5】二次根式加减运算..........................................................7

【题型6】二次根式的加减乘除混合运算................................................9

【考点三】二次根式的化简求值

【题型7】已知字母的值，化简求值....................................................10

【题型8】已知条件式，化简求值......................................................n

【题型9】整体思想化简求值..........................................................13

【考点四】二次根式的应用

【题型10］二次根式的大小比较.......................................................15

【题型111二次根式的实际应用.......................................................17

第二部分【题型展示与方法点拨】

【考点一】二次根式的意义与性质

【题型1】二次根式的意义

【例题1】（2024,黑龙江绥化•中考真题）若式子"^与有意义，则机的取值范围是（）

B.C.，，二D.院二

…二3223

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得2320,即可求解.

解：回式子J2n1-3有意义,

[?]2m-3>0,

解得：m>|3,

故选：C.

【变式4(2425八年级下•重庆•期中)如果关于x的分式方程二-3==有负整数解，且关于。的二次

X+lX+1

根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和.

【答案】-6

【分析】本题考查解分式方程和二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意的条件求出-5Va<0,再解

方程求出x=一且xwT,根据方程有负整数解求出整数a的值求和即可.

解:团关于。的二次根式在实数范围内有意义，

yJ-Cl

[5+a>0

*c，解得-5<a<0,

[一a>0

即整数。的值为-5,-4,-3,-2,-1,

解分式方程3-3==得：x==且XN-1,

x+1x+12

又回分式方程有负整数解，

回整数。的值为：-4,-2,

即所有整数a的和为T+(-2)=-6,

故答案为：-6.

【变式2](2425八年级下•新疆乌鲁木齐•阶段练习)若a,b是一直角三角形的两边长，且满足等式

Ja-3+3d3-a=b-4■

(1)求a,b的值；

(2)求第三边c的长.

【答案】(1)。=3,6=4；(2)或5

【分析】本题考查二次根式有意义的条件、勾股定理，分类讨论是解答的关键.

(1)根据二次根式有意义的条件求得。值，进而求得。值；

(2)分4为斜边和c为斜边两种情况，利用勾股定理求解即可.

解：(1)解：由题意，得a—320且3—。三0,

0a>35.a<3,贝i]a=3,

将a=3代入Ja-3+3j3-a=6-4,得0=6-4,

0Z?=4；

(2)解：fflcz,b是一直角三角形的两边长，

回若4为斜边，则c="2—32=占：

若c为斜边，则c=J42+32=5，

综上，第三边c的长为近或5.

【题型2】二次根式的性质

【例题2】(2024,内蒙古呼伦贝尔•中考真题)实数匕在数轴上的对应位置如图所示，则

J(a-b)2_(》_Q_2)的化简结果是()

1tl11211>

-3-2-1012

A.2B.la-2C.2-2bD.2

【答案】A

【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得-3<a<-2,

0<&<1,,再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可.

解：由数轴知回一3<〃<一2,0</?<1,

团a—bvO,

04(a-b)2-伍-a-2)

=\a-l)\-{b-a-2)

=,_a_2)

——a+Z7—Z?+〃+2

=2,

故选：A.

【变式1](2425七年级下•湖南永州•期中)阅读材料：由

6+2君=5+1+2石=(6『+2x6xl+12=(正+1『，可知6+26的算术平方根是指+1,类似地，

15-6#的算术平方根是.

【答案】3-V6

【分析】本题考查算数平方根的概念即一个正数。有两个互为相反数的平方根，正的平方根叫做。的算术

平方根.本题通过观察将15-6#表示为（筋-"-2漏+6的形式，再联立方程运算求解即可.

解：将15-6#表示为（G-痣）=a-2ab+b,

HI1[a+b=15

，（2ab=6#'

解得｛窗或｛窗，

故15-6«的算术平方根是3-m.

【变式2]（2425八年级下•全国•课后作业）已知VABC的三边为a、6、c,试化简Js+c—4-1（b-c-a）2.

【答案】2b-2a

【分析】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，绝对值的应用，关键是去掉绝对值符号.根据三角形

的三边关系定理得出6+c>a,c+a>6,根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号

后合并即可.

解：回。,仇。是VABC的三边长，

:.b+c>a,c+a>b,

•*-a『_J（：_c_a）2

=l3+c）—ci|一|b—（c+a）|

=b+c—a+b—c—a

=26—2a.

【考点二】二次根式的运算

【题型3】最简二次根式与同类二次根式

【例题3】（2023•山东烟台・中考真题）下列二次根式中，与也是同类二次根式的是（）

A."B.76C.瓜D.V12

【答案】C

【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可.

解:A、4=2,与及不是同类二次根式，不符合题意；

B、而与也不是同类二次根式，不符合题意；

C、&=2近，与&是同类二次根式，符合题意；

D、/=2退，与万不是同类二次根式，不符合题意；

故选：C.

【点拨】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二

次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

【变式1］（2425八年级下•河南许昌・期中）J乐与最简二次根式57^工1能合并，贝!］〃?=.

【答案】1

【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键.能合并就是同类二次根式,

都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可.

解：V18=3A/2,

如与最简二次根式5，w+l能合并,

...根+1=2,

解得：m=\,

故答案为：1.

【变式2］（2324八年级下•山东东营•开学考试）把二次根式卮—与分别化成最简二次根式后，被开

方数相同.

（1）如果。是正整数，那么符合条件的。的值有哪些？

（2）如果a是整数，那么符合条件的。的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？

【答案】（1）符合条件的正整数。的值为5,15,21；（2）如果。是整数，那么符合条件的。有无数个.其

中。的最大值为21,没有最小值.

【分析】本题考查的是最简二次根式的意义及同类二次根式的意义，根据本题的特点，当a为正整数时,

。的取值是有限的，当。为整数时，a的取值是无限的，掌握知识点是解题关键.

（1）由于。是正整数，所以可得此时的情况有23-。=2,23-a=8,23-。=32三种；

（2）当。是整数时，除了（1）中的三种情况，还可以列出无数种，所以此时a值有无数个，没有最小值,

最大值是21.

解：（1）\'=亨，旦与的被开方数相同，

...当23-。=2时，a=21；

当23—a=8时，a=15；

当23—。=18时，＜2=5；

当23-。=32时，a=-9（不合题意，舍去）.

,符合条件的正整数。的值为5,15,21.

（2）由（1）,得当23-。=50时，a=—27；

当23-。=72时，a=T9；

如果。是整数，那么符合条件的。有无数个.

其中。的最大值为21,没有最小值.

【题型4】二次根式的乘除运算

【例题4］（2023•山东潍坊,中考真题）从一加、也,庭中任意选择两个数，分别填在算式口北）『十夜里

面的“口"与"。"中，计算该算式的结果是.（只需写出一种结果）

【答案】172-273（或4行-2#或|应+6,写出一种结果即可）

【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得.

解：①选择-血和百，

贝1“一加+@，&=（2_2#+3）+血

=（5-2网+0

=5+拒-2屈;⑪

=-A/2-2A/3.

2

②选择-友和面，

贝1］卜71+网2+忘=（2_2疮+6卜0

=（8-2而'卜逝

=8-72-2^/124-72

=4夜-28

③选择力和y/6,

贝+夜=（3+2如+6/夜

=（9+6@+垃

=2忘+6.

2

故答案为：172-273（或4血-或|血+6,写出一种结果即可）.

【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.

【变式1］（2425八年级下•全国•课后作业）已知一个菱形的两条对角线的长分别为3而和26，则这个菱

形的面积为.

【答案】3底

【分析】本题考查了菱形的性质，二次根式的乘法；根据菱形面积等于两对角线乘积一半，利用二次根式

乘法计算即可.

解：菱形的面积为（x3拈x2退=3回;

2

故答案为：3-^0.

【变式2】（2425八年级下•全国•课后作业）计算:

【答案】（1）一逅；（2）—妪

63

【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键:

（1）先计算括号内，再进行除法运算即可;

（2）利用除法法则进行计算即可.

解：(1)解：原式=_.至，依54]=/至+(2=12勿=4.218+3=_如；

313)3\3)386

__15L10^2515[64—8-

(2)原式=一11亍GTV27X25

【题型5】二次根式加减运算

【例题5】（2024•山东济宁•中考真题）下列运算正确的是（）

A.72+73=75B.V2XA/5=710

C.2+0=1D.必？=-5

【答案】B

【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法

则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断.

解：A.0与否不能合并，所以A选项错误；

B.也又如=屈，所以B选项正确；

C.272=-j4-^2=s/2,所以C选项错误；

D.7（-5）2=|-5|=5,所以D选项错误.

故选：B.

【变式1］（2425九年级上•四川眉山•阶段练习）计算：我一击+出'=.

【答案】2

【分析】本题考查了二次根式的减法运算，分母有理化及负整数幕，先化简二次根式，计算负整数幕，再

加减即可.

解：原式=2应-20+2

=2.

故答案为：2.

【变式2］（2425七年级下•天津•期中）计算：

（1）修夜-⑹+（豆-&）；（2）>/16-0+|1-^|.

【答案】（1）&;（2）5+0

【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，算术平方根，立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上

运算法则.

（1）直接合并同类二次根式即可；

（2）先求解算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可.

解：（1）（2拒-若）+（石-亚）

=2忘-6+若-近

=V2;

（2）麻-舛+"闽

=4+2+72-1

=5+应

【题型6】二次根式的加减乘除混合运算

3

【例题6】（2024・甘肃・中考真题）计算：7T8-V12X

【答案】0

【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【变式1］（2425八年级下•内蒙古呼和浩特,阶段练习）计算:|l-V3|-V2xV6

【答案】-y

【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，化简绝对值，二次根式的乘法，分母有理化，负整数

指数幕等知识.先化简绝对值，计算二次根式的乘法，分母有理化，负整数指数塞，然后进行加减运算即

可.

1

解：|1-A/3|-V2XV6+

2-杷

=73-1-273+2+73--

4

_5

--4,

故答案为：-：.

4

【变式2】（黑龙江省龙东地区20242025学年下学期八年级数学期中考试卷）计算:

(1)27184-72-（2）（舟佝（夜_宿）-（遥+2可.

【答案】（1）4；（2）-13-4A/15

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则及乘法公式.

（1）分别计算二次根式的乘除，零次幕，再合并同类二次根式;

（2）先整理再利用平方差公式和完全平方公式计算，最后求和即可求解.

=74^9-^+]

=6-3+1

=4；

(2)解：(而+#)(寂一西卜(君+2君了

=2(V8+^)(A/8-^)-(5+12+4A/15)

=2(8-6)-17-4715

=2x2-17-4715

=-13-4-715

【考点三】二次根式的化简求值

【题型7】已知字母的值，化简求值

【例题7】（2023,湖南湘西•中考真题）先化简，再求值：+其中a=0-l.

1a-\）a-1

【答案】0+1,及

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简

结果，最后把。的值代入计算即可.

Q—1+1(Q+1)(Q—1)

Cl—1Cl

a(Q+1)(Q-1)

a—1a

=♦+1

当4=戊-1时，原式=应一1+1=0，

【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式1】（2425八年级下•全国•课后作业）已知”=君+2,贝lk/2—4a+5=

【答案】6

【分析】本题考查的是求代数式的值，二次根式的混合运算，把原式利用完全平方公式变形是解题的关

键.利用完全平方公式变形，原式=（。-2）?+1,把°=百+2代入计算即可.

解：a2-4a+5=（a-2）：+l=（^+2-2）2+l=6,

故答案为：6.

【变式2］（2425八年级下•江西新余•期中）小明在解决问题：己知。=马!，求2/-8°+1的值，他是

这样分析与解答的:

_1_2-石耳

“一邛/r(2+司(2-⑹'•"2=一技

二.(a-2)2=3,即〃2_4〃+4=3./,a2-4a=-1y2^2—861+1=2^a2—4a^+l=2x(—1)+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

⑴计算：念r——，

【答案】（1）72-1;（2）3

【分析】此题考查已知式子的值求代数式的值，正确掌握分母有理数化简方法，完全平方公式是解题的关

键.

（1）分子、分母同乘以夜-1，进而即可得到答案；

（2）根据例子求出。=逐+2,原式变形得到2s-2）2-7,再代入求值即可.

1及-1r-

解：⑴解：百F产耐刁二夜一1'

故答案为：V2-1;

1V5+2r--

⑵解：回若-2)(-+2)=:+2'

【题型8】已知条件式，化简求值

【例题8】（2024•湖南怀化•一模）已知f+Jy-6=6九一9,求的值.

【答案】3夜

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把所给条件式变形为（％-3）2+6后=0,

进而利用非负数的性质求出％=3,y=6,据此代值计算即可.

解：回％、+Jy-6=6无一9,

团X2—6%+9+Jy-6=0,

团(％-3)+Jy-6—0,

回工一3二0,＞一6二0,

团x=3,y=6,

01xy—J3x8=3^2.

【变式1］（2024八年级下•全国•专题练习）已知工=若-1-=君+1,则工的值为_________.

Xy

【答案】1/0.5

【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，根据已知易得：孙=4,y-元=2,然后利

用异分母分式加减法法则进行计算，再把孙=4,y-x=2的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，

准确熟练地进行计算是解题的关键.

解：x=-y/5—1,y=y/5+1,

.•.冲=（石-1）函+1）=5-1=4，

>7=b+1-（括-1）=2,

.11.1

xyxy42

故答案为：y.

亚-坦

【变式2］（2425八年级上•上海宝山•期中）己知:求：3/-5孙+3/的值.

A/5+A/3

【答案】181

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到x=4-岳,

j=4+715,再求出尤+y=8,盯=1,再根据3x?-5q+3y2=3（%+才-11孙进行求解即可.

V5-V3

解:回％=6+6

75+73y=亚-下）

（石-可5-2V15+3M+可5+2后+3

团X==4—,y==4+715,

心+塔心-司5-3心+⑹心-⑹一-5^3-

0无+y=4-厉+4+VI?=8,xy=（4-V15）（4+V15）=16-15=1,

03x2-5xy+3y2

=3（炉+2盯+力一11孙

=3（^x+y）2-llxy

=3x82-llxl

=181

【题型9】整体思想化简求值

【例题9】（2015•广东汕尾•中考真题）已知a+6=—求代数式Q—1）2+b（2a+b）+2a的值.

【答案】3.

【分析】先把代数式按乘法公式展开，然后合并同类项，再分组后根据完全平方式变形出a+b,用整体代

入法求值.

解：原式=〃-2。+1+2。6+/+2。

=+1+2ab+

=(a+6)2+1

当a+b=&时，原式=3.

【变式1]（2324九年级上•四川达州•期中）己知必=2,则+的值是.

【答案】2友或一20

【分析】

本题考查了二次根式的化简求值，此题的难点在于需考虑两种情况.由已知条件可知，本题有两种情况需

要考虑：。〉0,Z?>0；々<0,b<0.

解：当〃>0,匕>0时，

原式=ab+y/ab=^2+A/2=2A/2；

当a<0,hvO时，

原式=-\[ab-\[ab=-2^2•

故答案为：2也或-2A/2.

【变式2]（2425八年级下广东广州•阶段练习）请阅读下列材料：

问题：已知％=石+2,求代数式X2-4X-7的值.

小明的做法如下：

x-+2，

x-2—,

两边平方，得：

/.f—4x+4=5,

x2—4x=1.

把X2-4X作为整体代入，得%2-4%-7=1-7=-6,即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.

仿照上述方法解决下列问题：

(1)己知x=y/10-3,求代数式V+6尤一8的值；

(2)已知x=苴二1,求代数式X3+2X2的值.

2

【答案】(1)一7；(2)1

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确理解题意是解题的关键.

(1)根据％=质-3求出x+3=而，然后两边平方后求出d+6x+9=10，求出d+6x=l,再代入求出

答案即可；

(2)根据>"求出2x+l=石，再两边平方求出4/+4x+l=5,求出Y+X=1,再变形后代入，即可

求出答案.

解：(1)解：冗=如-3,

x+3=J10,

两边平方得：(X+3)2=("~5),即f+6x+9=10，

+6%=1,

.e.x2+6x—8=1—8=—7;

(2)解：x=避二1,

2

2%=-1,

2x+1=y/sJ

两边平方，得(2x+lp=(君『，即4£+4X+1=5,

?.4x2+4%=4,即x?+%=1,

/.x3+2x2

=x3+x2+x2

=X(^X2+X)+%2

=x+X

=1.

【考点四】二次根式的应用

【题型10］二次根式的大小比较

【例题10】(2021•湖北恩施•中考真题)从虚，-5-④这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2

的有（）个.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解.

解：由题意得：

-A/3x0=-瓜-逝x0=-2,-A（-0）=",

团所有积中小于2的有-n,-2两个；

故选C.

【点拨】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键.

【变式】】⑵25八年级下•全国•课后作业）已知"儒，匹鸟I'比较大小：J（填…＜

或"=

【答案】＜

【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算4=、202。21,再进一步比

bV20202

较大小即可.

1201912020/20192021_/(2020-1)(2020+1)_他。-

~b~V2020"\2021-V2020X2020-V2020"-V20202

202()2-1

0<1

20202

I20202-1

<1,

V20202

QY

回不<;

故答案为：＜

【变式2］（2425八年级下•全国•课后作业）比较夜-1与世-应的大小可以采用下面的方法:

(01)(0+1)

72-1=

V2+1

2-1

-V2+1

1

=g；

g石_(6一后)(6+夜)

―V3+V2

3-2

-V3+V2

1

一省+0•

显然逝+1<6+加,所以

仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：

(1)猜想：J2011-J2010与J2012-42011的大小关系;

(2)尝试计算：上十与片+*++忠丽.

【答案】(1)V2011-V2010>V2012-72011：(2)9

【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因

式是符合平方差公式的特点的式子.即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.

(1)根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较；

(2)原式变形后，计算即可得到结果.

解：⑴解：所一河=河一的的师)=-L,

lx(V20H+V2010)V20H+V2010

标一回n=(匹-您》舞+标)1

(V2012+<2011)x1V2012+V2011

显然J2011+J2010<J2012+J2011,

所以J2011+J2010>J2012+J2011•

所以,2011-J2010>J2012-J2011

且1111

⑵解:百1+百&+。++小夜

72-1石-忘2-石10-M

一(0+1)(0-1)(73+72)(73-72)(2+A/3)(2-V3)(10+799)(10-^/99)

=(血-1)+(石-伪+(2-拘++(10-A/99)

=-1+10

=9

【题型11］二次根式的实际应用

【例题11】（2021•四川眉山・中考真题）观察下列等式：芯W+L

I122221x2

1+ih;

%+-L；

123x4

根据以上规律，计算%+々+%3++々020-2021=

1

【答案】-

2021

【分析】根据题意，找到第〃个等式的左边为J1+*11r等式右边为1与而仁的和；利用这个

结论得到原式=m吗+*+...+1募词-2皿然后呜化为14:化为1

2020x2021

化为小—一77,再进行分数的加减运算即可•

20152016

解：由题意可知，卜,+品11+小

%2020-1+2020x2021

玉+W+%3++”2020—2021

1111

=1-+1-+1—+...+1-----------2021

26一122020x2021

11111

=2020+1------1-----——+...4-----------------2021

22320202021

1

=2020+1-------2021

2021

1

2021

故答案为：-焉・

【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便

运算.

【变式1］（2324九年级上•广西河池•期末）如图，VABC与」。EC关于点C成中心对称，AB=3,AE=5,

NBAD=90°,则点A到BE的距离是.