第一章 整式乘法与乘法公式 知识清单-人教版七年级数学下学期

培优专题第一章整式乘法与乘法公式

。思维构建•理清脉络。

单项式乘单项式

。知识盘点-查漏补缺。

题型1()数形结合思想与公式变形

即学即练即学即练

知识点1：►单项式乘单项式

•单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，

连同它的指数作为积的一个因式.。

即学即练(2024•陕西榆林•三模)已知单项式4孙2与-;V，的积为如"V，则私〃的值为()

44

A.m=——,n=4B.m=-12,n=-2C.m=—,n=3D.相=—12,〃=3

33

【答案】A

【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值

4

【分析】本题主要查了单项式乘以单项式.根据单项式乘以单项式法则可得=：加"V，即可求解.

【详解】解：回单项式4孙2与-卜3y的积为加y,

回4肛2x]-gx3y)=mxny3,

4

即-=mx"y3,

4,

Bm=——,n=4.

3

故选：A

即学即练(2024•陕西西安•模拟预测)计算：(-3尤.(_2/丫=()

A.-72x12B.72/C.6xi6D.x6

【答案】A

【知识点】同底数嘉相乘、积的乘方运算、计算单项式乘单项式

【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先求积的乘方再进行单项式乘法，即可求解.

【详解】解：(-3x3)2-(-2x2)3=9犬x(-8%6)=.72针,

故选：A.

注意事项：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数

相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.

知识点21►单项式乘多项式

•单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就

是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(a+b+c)相=由，计加7+。相

22

即学即练先化简，再求值：5«(«-3a+l)-a(l-a),其中a=2；

【答案】6a3-16a2+5a,—6；

【分析】先根据单项式乘以多项式法则去括号，然后合并同类项化简，最后把〃=2代入求值即可

【详解】解：5a(a2-3a+l)-a2(l-a)

=—+5a—ci~+cr

—6"—164~+5a，

当。=2时，原式=6片-16/+5。=48—64+10=-6；

注意事项：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序.

多项式乘多项式

•多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

BP(a+Z?)(m+n)=am+an+bm+bn

即学即练(x+2g-6)-x(x-1)；

【答案】一3》一12

【详解】解:(x+2)(x-6)-x(x-l)

=x2+2x—6%—12—x2+x

=—3x—12；

【特别注意】

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项

式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1,一次项系数等于两个

因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即（x+a）（x+b）=x2+（a+6）x+ab

对于一次项系数不为1的两个一次二项式Gnx+a）和（〃x+6）相乘可以得到.

和职点4】平方差公式

•两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即m+b）（a-b尸储

即学即练下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）

A.（无+<7）（龙一<7）B.

C.D.。+〃2）（〃?一6）

【答案】B

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查了平方差公式的结构，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中

有一项完全相同，另一项互为相反数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式的结构是解此题

的关键.

【详解】解：A,C,D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；

B中两项互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算.

故选B.

即学即练先化简再求值：（4x+3y）（4x-3y）—（2x+y）（3x-5y）,其中x=l,尸一2.

【答案】10x2-4y2+7xy,-20

【知识点】多项式乘多项式一一化简求值、运用平方差公式进行运算

【分析】此题考查了整式乘法的混合运算一化简求值，掌握平方差公式以及多项式乘多项式的法则是解题的

关键.

原式利用平方差公式，以及多项式乘多项式的法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算

即可求出值.

【详解】（4x+3y）（4x—3y）-（2x+y）（3x—5y）

=16x2-9y2-6x2+Ixy+5y2

=10x2-4y2+7xy,

回％=1,y=-2

团原式=lOx?-4,2+7孙

=10x12—4X(_2)2+7xlx(-2)

=10-16-14

=—20.

【特别提醒】

①字母°、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。

系数变化(2a+3Z?)(2a-3/?)=(2a)2-(3/7)2=4q2-95

指数变化32+〃)伍2-灼=(*2-(炉)2=/_b4

整体思想(g-b-cXa-b+c^a-b}2-c2

②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，特别需要注意〃的处理.

3+a)(_/?+〃)=3+/?)(〃一6尸〃2_/?2；

''一，，的变形(位置变化)

(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+d)=(^b-^-d)(-b-a)=(^b)2-ai=b2-ci2

即学即练下列各式不能用平方差公式计算的是()

A.(a+2Z?)(a-2b)B.

C.(a—b)(b—a)D.(b—4a)(4a+b)

【答案】C

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的关键.

利用平方差公式(。+6)(。-的特点，两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，对每

个选项进行分析，即可得出答案.

【详解】A.(。+26)(“-23=/-(26)2,能运用平方差公式计算，故不符合题意；

B.(。一力(一。-力=-(。一力(。+6)=-(。2-62),能运用平方差公式计算，故不符合题意;

C.(〃-加切3-。)，不能运用平方差公式计算，故不符合题意；

D.(b-4a)(4a+b)=(b-4a)(b+4a)=b2-(4a)2,能运用平方差公式计算，故符合题意；

故选：C.

即学即练(。+力-c)(a-»-c);

【答案】a2-2ac+c2-4b2

［详解］解：(a+2b-c)(a-2b-c)

=(a_c+2/?)(a-2Z?)

=(a-c)2-4b2

=a~-2ac+c2—4b”;

【公式拓展】

公式的变形

连用公式：(〃+/?)(〃—/?)(/+从尸(〃一加)(〃2+人2户(〃2)2_&>=〃4_54

逆向运算：a2~b2=(a+b)(a-b)

即学即练已知尤+y=2024,x-y=-l,贝腐-丁=.

【答案】-2024

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查了平方差公式，以及已知式子的值求代数式的值，先整理/-丁=@+日(％-日，再代入,

即可作答.

【详解】解：13x+y=2024,x-y=-l,

Ex2-y2=(x+y)(x-y)=2024x(-1)=—2024,

故答案为：-2024.

知识点5】「完全平方公式

•完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,力口(减)它们积的2倍.

即完全平方和(4/+Z?)2+2ab+b2；完全平方差(a~b)2-cf-2ab+b2

•公式的特征：首平方，尾平方，首尾2倍中间放

即学即练先化简,再求值：(2x+y)L(2x-y)(2x+y),其中x=2,y=-l.

【答案】4xy+2y2,-6.

【分析】先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后把x=2,y=-l代入求值

即可；本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】解：(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)

=4x2+4xy+y~-4x2+y2

=4盯+2yz,

当x=2,y=-1时，原式=-8+2=-6.

【特别提醒】

①。、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；

②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式

即学即练计算：⑴(x+2y—3)(x—2y+3)；(2)(。+26-

【答案】(1)/-分2+12)7-9；(2)a2+4^+4Z?2-2a-4fe+l

【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算

【分析】本题考查了添括号法则，平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，掌握运算法则是解题

的关键.

(1)先将原式变形，然后利用平方差和完全平方公式计算即可；

(2)先将原式变形，然后利用完全平方公式和单项式乘以多项式计算即可.

【详解】(1)解：(x+2y-3)(x-2y+3)

=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]

=/一⑵-W

=x2-4y2+12y—9；

(2)解:(a+2b-l)2

=[(4+26)-1丁

=(a+26y-2(a+26)+l

=a2+4ab+4b2—2a—4b+l.

【公式拓展】

完全平方和公式与完全平方差公式之间的关系

平方和与两数和、两数积（。2〃、a+b、处）关系a2+b2-(a+Z?)2~2ab

平方和与两数差、两数积（/+加、a—b、ab）关系a2+b2-(a-b)2+2ab

两数和与两数差、两数积（a+b、a-b、ab）关系(a+b)2=(a-b)2+4ab

两数差与两数和、两数积（a-b、a+b,ab）关系(a-b)2-(a+b)2-4ab

两数积与两数和、两数差（ab、a+b,a-b）关系(a+b)2-(a-b)2=4ab

推导与变形：①a?+〃-(〃+与2-2ab-(a-b)?+lab-/[(a+b)?+(a-b)2^

②2ab=(a+b)2—(〃+/)==(/+/)—([—与2=_|[(〃+力2_伍_32]

即学即练（23-24七年级下•陕西西安•期末）若a—b=2,^+^=16,则必的值为

【答案】6

【知识点】通过对完全平方公式变形求值

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式成为解题的关键.

2

根据完全平方公式（a-，）？="+b-2ab,然后代入相关数据计算即可.

【详解】解：ffl(a-Z?)2=a2+b2-2ab,

回2?=16-2",解得：ab=6.

故答案为：6.

、。题型突围•精准提分。,

已知多项式乘积不含某项求字母的值

1.如果（~x+a）（2x-3）的乘积中不含X一次项，则。的值为（）

【答案】C

【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值

【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据已知式子，可找出所有含尤的项，合并系数，令含

X项的系数等于0,即可求。的值.

【1^角星】角麻（一x+a）（2x—3）=-2%^+3x+—3a=-2x^+^3+x—3a

回乘积中不含x的一次项，

团3+2a=0,

3

团〃=—.

2

故选：C.

解题关键:①现按照多项式乘以多项式的法则进行运算，将式子展开；②合并同类项（关键是合并系数）；

③令这一项的系数为0.

特别注意：不含X与不含X项的区别

①不含x即化简结果与x无关问题，指合并系数后式子中所有含x的项的系数都为0；

②不含x项指合并x这一项的系数后，令x的系数为0.

【变式17］已知4=炉+3%一4,B=-x,。=%3+3f+5,若45+。的值与％的取值无关，当兄=-4时，

A的值为（）

A.0B.4C.-4D.2

【答案】B

【知识点】已知字母的值，求代数式的值、整式加减中的无关型问题、单项式乘多项式的应用

【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求

出的值是多少，然后用它加上C,求出A5+C的值是多少，最后根据43+C的值与x的取值无关,

可得力的系数是0,据此求出。的值，最后代入求值即可.

【详解】解：A=f+3x—〃，B=—x,C=JC,+3x2+5,

A-BC

—+3x—〃）（一兀）+（九3+3犬2+5）

=-d—3d+ax+/+3d+5

=ax+5,

•/43+C的值与x的取值无关，

「.〃=0,

A—+3x—a—%?+3x,

当x=-4时，A=（Ty+3x（T）=4,

故选：B.

【变式1-2］若-2x（/+6+5）-6/的计算结果中不含有/项，则。的值为.

【答案】-3

【知识点】计算单项式乘多项式及求值

【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于龙的同类

项，然后令r项的系数等于零，列方程求解即可.

【详解】解：-2x（£+5+5）-6/

=—-—1Ox-6x?

=_2X3+（—2G—6）尤2—10x,

团结果中不含有f项，

团—2〃—6=0,

回a=-3.

故答案为：-3.

【变式1-3】已知计算（5-3X+7加一6巧.（一2巧_》（_3%3+m-1）的结果中不含/和川的项，求〃7,〃的

值.

3

【答案】m=wn=-10

【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值

【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，

然后合并同类项化简，再根据结果中不含/和炉的项，即含/和/的项的系数为o进行求解即可.

【详解】解：（5—3%+如2—6x3）.（一2%2）一%（一3%3+加一1）

=-10x2+6x3—2mx4+12x5+3x4—rvc2+x

=12x5+（3-2m）x4+6x3—（10+n）x2+x,

团结果中不含丁和一的项，

团3—2m=0,—（10+〃）=0,

3

回m=一,n=-10.

2

用代数式表示图形面积

压例2.下面四个式子中，不能表示图中阴影部分面积的是()

A.(x+3)(x+2)-2xB,x(x+3)+6

C.d+5xD.3(x+2)+x?

【答案】C

【知识点】多项式乘多项式与图形面积

【分析】本题考查了列代数式，能正确列出代数式是解此题的关键.根据图形列出代数式

MX+3)+3X2=X(X+3)+6或(x+3)(x+2)-2x或3(》+2)+工2,再找出选项即可.

【详解】解：图中阴影部分的面积是尤(x+3)+3x2=x(x+3)+6或(x+3)(x+2)—2x或3(x+2)+x?,

即只有选项C符合题意，选项A、选项B、选项D都不符合题意.

故选：C.

审题关键:根据给出的图形，先标注数据，再根据面积公式列出代数式：正确表示出阴影部分的面积.

【变式27】如图，通过计算，比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的算式是()

A.a(b-x)-ab-axB.[a-x)(b-x)-ab-ax-bx+^

C.(a-x](b-x]=ab-ax-bxD.b[a-x)=ab-bx

【答案】B

【知识点】多项式乘多项式与图形面积

【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考

虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是

正确表示出图①和图②中阴影部分的面积列出等式.

由题意知：图①和图②中阴影部分的面积相等，正确表示出图①和图②中阴影部分的面积列出等式即可

解答.

【详解】解：由题意知：图①和图②中阴影部分的面积相等，

图①中，阴影部分面积=(a-x)(b-x)，

图②中，阴影部分面积=a。-ax-6彳+/,

:.^a-xj[b-x)=ab-ax-bx+^,

故选：B.

【变式2-2】数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开(如图①)，

拼成新的图形(如图②)，通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为()

图①图②

A.(a-Z?)(a+Z?)=a2-b1B.(a+fe)2=a2+2ab+b2

C.(a—=cr—2ab+b~D.(a+—cr+b~

【答案】A

【知识点】平方差公式与几何图形

【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用代数式表示拼接前、后的面积可得答案.

【详解】解：阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=/-从，右边阴影部分面积=(a+，＞(a-勿，

可得：(a+b)(a-b)=a2-b2,可以验证平方差公式；

故选：A.

【变式2-3】如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为6的小正方形(。＜3,把余下的部分剪

拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是()

图①图②

A.4—/=(〃+b)(a—Z?)B.(a+Z?)2-Q?+2ab+b?

22

C.(a—b¥—Q?—2ab+b?D.(Q+2b)(〃-b)=a+ab-2b

【答案】A

【知识点】平方差公式与几何图形

【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面

积即可.

【详解】解：•・・图1中阴影部分的面积表示为：a2-b2,图2中阴影部分的面积表示为：(〃+»(4一切，

2

a2—Z?=(a+—Z?)f

故选：A.

【变式2-4](23-24七年级下•陕西西安・期中)如图①，边长为a的大正方形四个角各有一个边长为6的

小正方形(a>26).

⑴请你计算图①中阴影部分的面积；

⑵小明将阴影部分拼成了一个长方形，如图②，这个长方形的长与宽分别是多少？面积又是多少？

⑶由图②到图①可以得到什么公式？运用你所得到的公式，计算(2"+"_0)(2租-〃+0).

【答案】⑴/—442

⑵长是a+2),宽是a-26,面积是(a+26)(a-2。)

⑶(a+26)(a—2&)=4—；4m°—n2—p?+2np

【知识点】列代数式、平方差公式与几何图形

【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，注意几次分割后边的变化情况是关键，属于基础题.

(1)用大正方形面积减去4个小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积；

(2)根据图形得出长方形的长和宽分别为。+2〃，a—2b，由此可计算出面积即可;

(3)根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式，然后进行求解即可.

【详解】(1)解：图①中阴影部分的面积为：4―4/.

(2)解：图②中长方形的长是〃+2〃，宽是a-2b,

面积是2b)(a-2b).

(3)由图②到图①可以得到公式：(。+»)(，—24二片—4廿；

(2机十"一夕)(2机一〃+p)

=[2%+(〃_〃)][2机_(〃_〃)]

=4m2—〃2_p2+2np.

【解题技巧反思】

完全平方公式与平方差公式的几何背景

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式:(a+b)2-(a-1)2=4ab

应完全平方公式的变形求值

法例3.已知a+b=5,ab=-3,则/十〃的值为()

A.25B.19C.29D.31

【答案】D

【知识点】通过对完全平方公式变形求值

【分析】本题考查了完全平方公式(。±6)2=4±2"+62,利用完全平方公式变形求解即可.

【详解】解：回a+6=5,ab=-3,

^cr+b2=(a+Z?)2-2aZ?=25-2x(-3)=31.

故选：D.

【变式3】(23-24七年级下•陕西咸阳・期中)已知：/72=4042且y+x=2021,贝.

【答案】-2

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式，相反数定义等知识，由条件，利用平方差公式得到尤-y=2

即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键.

【详解】解：：炉-yJ4042,

.,.(x+y)(x-y)=4042,

y+x=2021,

;.x—y=2,贝！]\_尤=—2,

故答案为：—2.

【解题方法总结】

利用完全平方和公式与完全平方差公式之间的关系求求〃+〃、a-b.ab

@a2+b2=(a+b)2-lab=(a-b)2+lab=g[(a++(a-]

(2)2ab=(a+Z?)2-(a2+Z?2)==(a2+b2)-(a-b)2=+Z?)2-(a-/?)2]

③(a+G)2=(a~b)2+4ab

④(〃-。)之二(a+b)2-4ab

应确定完全平方式中的字母系数

豆苣例4.如果a+1是一个完全平方式，则机的值是()

A.2B.±2C.-2D.±4

【答案】B

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的形式(。±6)2=/±2"+〃，是解题的关键.

根据完全平方公式的结构形式，即可得到答案.

【详育窣】解：*/x2+mx+1=x2+mx+12,

:.mx=±2x,

回机=±2.

故选：B.

【变式47】（23-24七年级下•陕西宝鸡•期末）已知/+2（左+l）x+16是一个完全平方式，则上的值为（）

A.2B.3或一5C.1D.±2

【答案】B

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用完全平方公式的结构特征

判断即可确定出％的值.

【详解】解：团/+2（%+1b+16是一个完全平方式，

E2（?t+l）=±4x2,

解得：左=3或左=-5,

故选：B.

【变式4-2］若代数式4/_4区+1是完全平方式，则左=.

【答案】±1

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键.根据完全平方式

的结构特点进行解答即可.

【详解】解：回多项式4炉-4区+1是完全平方式，即：4X2-4^+1=（2X±1）2

04x2—4kx+1=4%2±2-2x-1+1

回一4左=±4,

回左=±1,

故答案为：±1.

【解后反思】根据完全平方公式（。±6）2=/±2"+〃，分类讨论完全平方公式中的一次项系数

利用平方差公式进行简便运算

例5.运用乘法公式计算：20242-2023x2025.

【答案】1

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】本题主要考查了有理数混合运算，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键.根

据平方差公式求出2023x2025,然后进行计算即可.

【详解】解：20242-2023x2025

=20242-（2024-1）x（2024+1）

=20242-（20242-1）

=20242-20242+1

=1.

【变式5】计算：20252-2024x2026=.

【答案】1

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键.把原式变形为

20252-（2025-1）x（2025+1）,再利用平方差公式计算即可得到答案.

【详解】解：20252-2024x2026

=20252-（2025-1）x（2025+1）

=20252-（20252-1）

=2025?-20252+1

=1,

故答案为：1.

例6.（23-24七年级下•陕西西安・期末）小明遇到下面一个问题：

计算.（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）.

经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问

题，具体解法如下：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（24-l）（24+l）（28+l）

=（28-l）（28+l）

=216-1-

请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）

【答案】⑴232-1

⑵M332T

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

（1）原式补上（2-1）,利用平方差公式计算即可得到结果；

（2）原式补上;（3-1）,利用平方差公式计算即可得到结果.

【详解】（1）解：原式=（2-1）（2+1乂22+1）04+1）08+1）（*+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（）6+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（*+1）

=（28-1）（28+1）（216+1）

=（216-1）（216+1）

=232-1;

（2）解：原式=g（3-l）（3+D（32+l）（34+l）（38+l）（3%l）

=1（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）06+1）

44816

=1（3-1）（3+1）（3+1）（3+1）

8816

=1（3-1）（3+1）（3+1）

=|（316-1）（316+1）

沙一）

破题思路：S—D（优+4+L+1）="+1—1nQ”+〃+L+1=-----

a-1

K变式6-1】算式（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）……（21024+1）的个位数字为.

【答案】5

【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算

【分析】本题主要考查了平方差公式，数字类的规律探索，先把原式变形为

（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）……（21024+1）,再利用平方差公式计算出最终的结果为22048T，再

找到规律292,23…2"…这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，2,4,8,6依次出现，据此规律求

解即可.

［详解］解：（2+1乂2?+1）（2%+1）（28+1/216+1）……（21024+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）……（21024+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）……（21024+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（*+1）……（21024+1）

=（28-1）（28+1）（26+1）……（21024+1）

=（216-1）（216+1）……（21024+1）

=（21024-1）（21024+1）

=22048_1，

2】的个位数字是2,2?的个位数字是4,2,的个位数字是8,2"的个位数字是6,的个位数字是2,2$的

个位数字是4,……，

回21,22,23…2"…这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，2,4,8,6依次出现，

020484-4=512,

回22。48的个位数字是6,

1322048T的个位数字是5,

故答案为：5.

【变式6-2】观察下列等式：

第1个等式：1.

第2个等式：(a—1乂a~+a+l)=/―1.

第3个等式：(a—1乂口3+4~+4+1)=1.

第4个等式：(a—1)(/+口3+a~+a+1)=a，-1.

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第5个等式：.

(2)写出你猜想的第"个等式(用含"的式子表示)，并尝试通过计算说明猜想成立.

【答案】(1)(。—1乂+/+a'+f?2+4+1)=67。—1

(2)猜想:5-1乂优+4+…+1)=--1；说明见解析

【知识点】多项式乘法中的规律性问题

【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算：

(1)观察前4个式子，即可求解；

(2)由(1)猜想出第〃个等式，根据多项式的乘法法则，计算等式的左边，即可求解.

【详解】(1)解：第5个等式为(a—I),，+。4+0，+〃+。+1)=a，—1；

故为：(a-1)(a，+a"+4++a+1)=ci6-1

(2)解：由(1)猜想出第〃个等式为(af…+1)=巾-1

左边=a(a"+a"T+…+1)-(/+…+1)

=an+'+an+an-l+---+a-an-4-------1

=右边.

22222222

例7.(23-24七年级下•陕西西安,期中)利用平方差公式计算LI—_7+L3-L4+—5-6匕+…+丝2023_-2024的

37114047

结果为.

【答案】-1012

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，把分子利用平方差公式分解因式，然后约分化简.

12-2232-4252-6220232-2024

【详解】解:+,•,+

37114047

(1+2)(1-2)(3+4)(3-4)(5+6)(5-6)(2023+2024)(2023-2024)

=3+7+11+……+4047

=(-1)+(-1)+(-1)+•••+(-1)

=(-1)x1012

=-1012,

故答案为：-1012.

任应用多项式乘多项式解实际问题

^§例8.（24-25八年级上•陕西宝鸡・期末）如图，晴晴家有一块长为（4a+b）米，宽为（3。+6）米的长方

形耕地，为响应国家"把饭碗牢牢端在自己手中"的号召，爸爸决定只留一块长为（24+3米，宽为（4+6）米

的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦.

4a+b

（1）求种植小麦的耕地面积.（用含。、6的代数式表示，要求化简）

⑵当a=200米，6=100米时，求种植小麦的耕地面积.

【答案】⑴种植小麦的耕地面积为（10/+4"）平方米

（2）种植小麦的耕地面积480000平方米

【知识点】含乘方的有理数混合运算、已知字母的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积

【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握

多项式乘以多项式是解题的关键.

（1）根据图形及题意可直接进行求解；

（2）由（1）可知退耕还林的面积为+4而）平方米，然后把。=200米，6=100米代入求解即可.

【详解】（1）解：根据题意得：

（3a+6）（4a+6）—（a+6）（2。+Z?）=12a~+7a6+6~—（2a~+3cih+

-12a2+lab+b2-2a2-3ab-b2=（10片+4"）平方米

(2)解:当a=200,6=100时,

10a2+4ab=10x2002+4x200x100=480000平方米

答：退耕还林的面积480000平方米.

【变式87】（24-25九年级上•陕西西安•期中）如图，一公路旁有一块小型长方形的果园（果园到公路旁的

间隙忽略不计），已知该果园长3c=20m,宽AB=10m,为了扩宽车道，该公路现计划沿DA方向拓宽

且要求至少拓宽12机.考虑到园主利益，施工方提议，可将果园沿A8方向加宽仙，并向园主承诺，拓宽

后的果园面积Win?）只多不少.请你用所学的知识帮园主判断，施工方的承诺能否兑现.

4-111Q

公

B___________________路

Tc

xm

y|

【答案】施工方的承诺不能兑现，理由见解析.

【知识点】多项式乘多项式与图形面积

【分析】本题考查因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是读懂题意，表示出果园原来的面积和

改变后的面积，先表示出果园原来的面积和改变后的面积，相减判断差的符号即可.

【详解】解：施工方的承诺不能兑现，理由如下：

果园原来的面积为20*10=200（m2）,

改变后果园面积为（20-x）（10+x）=（f2+10x+200）m2,

0x>12,

回（20—%）（10+x）—200=—%?+10x—%（10—%）v0

团改变后果园面积变小，施工方的承诺不能兑现.

【变式8-2］（23-24七年级下•陕西西安•期末）陕北秧歌在今年春节期间走向了世界，让全国各地百姓以及

世界各地了解到陕北人民的豪爽气魄.如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造一个秧歌观赏台（阴影

部分）.

⑴请用7",W表示观赏台的面积S.（结果化为最简）

（2）如果修建观赏台的费用为200元/平方米，且加=20米，〃=12米，那么修建观赏台需要费用多少元?

【答案】（1）3加〃

（2）144000元

【知识点】列代数式、已知字母的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式

【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系.

（1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可；

（2）将力=20米，〃=12米代入（1）进行计算得到面积，再利用面积乘以单价即可解题.

【详解】（1）解：由图知，S=n（m+n）+n（2m-n）,

=+mn+2mn—n2>

=3nm.

（2）解：5=3x20x12=720（平方米），

所以修建观赏台需要费用200x720=144000元.

【变式8-3］（23-24七年级下•陕西榆林•期中）为进一步推动"双减"工作落地生效，深化教育体制改革，切

实减轻学生课业负担，体现出学校教育主体性角色的回归和强化.如图，这是某校劳动实践基地的两块边

长分别为a，b的正方形用地4B,其中A种菜，8种花，不能使用的面积为

（1）用含b,M的代数式表示种菜和花的总面积为.

⑵经测量，a与6之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了24平方米，问a比6多多少米?

【答案】（1）。2+廿一2四

(2)a比6多3米

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查列代数式及求值、整式运算的应用，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系

是正确解答的前提.

(1)根据面积之间的关系，分别从边长为。和匕的正方形面积中，减去不能使用的面积M即可；

(2)用代数式表示种菜的面积比种花的面积多了24平方米，。与方之和为8米，再利用平方差公式进行计

算即可.

【详解】(1)解：种菜和花的总面积为=大正方形的面积+小正方形的面积-2x去不能使用的面积，

BPa2+b2-2M,

故答案为：a2+b2-2M；

(2)根据题意得：a^b^a2-M-(b2-M)=a2-b2=24,

因为(夕_8)(〃+8)=〃2,

24

所以Q-。=胃=3,

O

答：a比6多3米.

"包某》定义新运算

例9.教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验.

abab

现定义，为二阶行列式，规定它的运算法则为：=ad-bc.

34

例如:

56

20242027

⑴求的值.

20212024

2x+lx+5

(2)若=10,求x的值.

4x-l2x+l

【答案】⑴9

【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值

【分析】本题考查了新定义，平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算，正确理解新定义的运算法则

是解题的关键.

20242027

(1)根据题意将变形为20242-2027x2021,再结合平方差公式进行运算，即可解题；

2x+lx+5o

(2)根据题意将=10变形为(2x+iy-(x+5)(4x-1)=10,再结合完全平方公式，以及整式的

।X乙人JL

混合运算求解上式，即可解题.

ab

【详解】(1)解:=ad—be,

cd

20242027

=202492-2027x2021

.20212024

=20242-(2024+3)(2024-3)

=20243-20242+9

=9；

2%+1x+5

(2)解：:二10,

4x—12x+l

(2X+1)2-(X+5)(4X-1)=10,

整理得41+4》+1-(4*2+19X-5)=10,

4

解得x=-不.

【变式9】定义：对于任意四个有理数a、b、c、d,定义一种新运算：ab=a2+d2+bc.

cd

-1-2

3

m-nm-n

⑵=_；若是完全平方式，则左=_;

km2nkrriln

m+4n-4

(3)若有理数相、加满足%+3〃=5,且=13.

4m2+2九24m-n

①求的值;

②如图，四边形ABC。是长方形，点E、RG、”分别在边AS、BC、CD、ZM上，连接EG、FH交于点P,

且EG、FH将长方形ABCZ)分割成四个小长方形，若AB=9",BF=3n,CF=3m,DG=m,在①的条件

下，求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴n

⑵rrr—kmn+An2;±4

⑶①2;②?

【知识点】多项式乘多项式一一化简求值、求完全平方式中的字母系数、完全平方式在几何图形中的应用

【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关

键.

(1)根据?=/+陵+6。计算即可;

ca

ab

(2)根据，=/+屋+税计算，再根据完全平方式的特征求解即可;

ca

(3)①根据二片+/得出(根+4〃)2+(4加一〃)一4(4机2+2/)=13,再结合m+3几=5即可求出mn=2；

ca

②根据图象可得S阴影=S矩形Me。—S矩形曲”—SvEBC-Sv”OC，化简后代入机+3〃=5,切H=2即可求解;

【详解】(1)解：=(-1)2+42+3X(-2)=1+16-6=11；

m-n

(2)解：=m2-kmn+4n2;

kmln

m-n

若是完全平方式，则左=±4；

kmln

m+4n-4

(3)解：①团=13,

4m2+2H24m-n

回(机+4〃)2+(4机一〃y—4(4利2+2〃2)=13,

团“+9/=13,

团(加+3〃)2—6mn=13,

回根+3〃=5,

团25—6帆H=13,

团mn=2，

②由题意可知:S阴影=S矩形-S矩形AEP”-S~EBC-S'HDC

=9n-(3n+3m)—3mn——■3m-9n——(9n—相)(3"+3m)

22

27i

=27〃2+27mn-3mn-----mn-----(27n2+24mn—3m2')

22

271

=27n2+27mn—3mn—工mn----(27n2+24mn—3m2)

22

2733

=——n2'—mnH-—m~2

222

33

将加+3〃=5,根〃=2代入可得，原式=一

2

例10.小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于X的多项式炉—2%+3,由于

X2-2X+3=(X-1)2+2,所以当尤-1取任意一对互为相反数的数时，多项式/一2彳+3的值是相等的，例如，

当x-l=±l,即尤=2或0时，/-2尤+3的值均为3；当了-1=±2,即x=3或一1时，—2x+3的值均为6.

于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式，若当XT取任意一对互为相反数的数时,该多项式的值相等,

就称该多项式关于x=7对称.例如：V-2尤+3关于x=l对称.

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(1)多项式Y-4x+5关于x=对称；若关于x的多项式--2法+3关于彳=6对称，贝1|6=

⑵关于x的多项式炉+26+。关于x=-l对称，且当了=。时，多项式的值为5,求x=~4时，求多项式

x2+2ox+c-4的值.

【答案】⑴2；6

(2)6

【知识点】通过对完全平方公式变形求值

【分析】(1)对多项式f-4x+5进行配方，即可求出关于x=2对称，求出Y-2法+3的对称轴，由关于x=6

对称，即可求解；

（2）对多项式尤2+2G+C=（元+a）2+c-/进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可;

本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键.

【详解】（1）解：由d