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文档简介

第4.3节

向量组的秩一、向量组的最大无关组与秩二、二、矩阵的秩与向量组的秩的关系线性代数4.3向量组的秩引入向量组A:含最多个向量的线性无关部分组向量组的线性无关部分组矩阵的非零子式最高阶的非零子式（阶数）（所含向量个数）由矩阵秩的概念引入向量组的秩.“类比”思想线性代数4.3向量组的秩定义5设有向量组A，若在A中能选出

r个向量的部分组

：

(2)向量组A中任意

个向量（如果A中有个向量的话）都线

性相关.则称向量组

是向量组A的一个最大线性无关向量组，

简称最大无关组.最大线性无关组所含向量的个数

称为向量组A的秩.记作.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0一、向量组的最大无关组与秩，满足(1)向量组线性无关；向量组A:的秩记作

或线性代数4.3向量组的秩说明（2）一个向量组的最大无关组一般不唯一.（3）线性无关的向量组其自身就是它的最大无关组.（5）向量组和它的最大无关组是等价的.

（4）有限向量组线性相关的充要条件是向量组的秩小于向量组所含向量的个数.（1）向量组的含向量个数最多的线性无关部分组即最大无关组.线性代数4.3向量组的秩最大无关组的等价定义设向量组：是向量组A的一个部分组，且满足(1)向量组线性无关；(2)向量组A的任一向量都能由向量组线性表示;那么向量组便是向量组A的一个最大无关组.证

只要证向量组A中任意个向量线性相关.设

是A中任意个向量，由条件(2)知这

个向量能由向量组

线性表示，从而故任意

个向量

线性相关.因此向量组

满足定义5所规定的最大无关组的条件，所以向量组

是最大无关组.线性代数4.3向量组的秩二、矩阵的秩与向量组的秩的关系定理6

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.证根据定理4，由

知所在的

列构成的

矩阵的秩为

，故此

列线又由

中所有

阶子式均为零，知

中任意

个列向量构成的矩阵的秩都小于

，故任意

列都线性相关.因此

所在的列是

的列向量组的一个最大无关组，所以

的列向量组的秩等于.设

，

，并设

阶子式性无关；类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于.线性代数4.3向量组的秩向量组构成矩阵

，则.

说明

若是矩阵

的一个最高阶非零子式，则所在的

列即是矩阵的列向量组的一个最大无关组，

所在的

行即是矩阵

的行向量组一个最大无关组.

由向量组秩的定义及矩阵的秩等于它列向量组的秩，可知前面建立的关于向量组线性表示的相关结论中出现的矩阵的秩都可以改为向量组的秩.并利用最大无关组作过渡将有限向量组推广到无限向量组.线性代数4.3向量组的秩例4.6

已知向量组A:求向量组A的一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.解记矩阵对

施行初等行变换化为行最简形矩阵：线性代数4.3向量组的秩把上述行最简形矩阵记作可见

故

的列向量组的最大无关组含3个向量.由于而

线性无关，秩为3，所以

秩为3，线性无关，故为矩阵

的列向量组的一个最大无关组.线性代数4.3向量组的秩因为矩阵

行等价于矩阵

，所以方程组

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