5.1 定积分的概念与性质

第五章

定积分及其应用本章主要内容定积分的概念、性质、计算及简单应用.目录第一节

定积分的概念和性质第二节

微积分基本定理第三节

定积分的换元积分法与分部积分法第四节

广义积分第五节

定积分的应用第

一

节

定积分的概念与性质

二、一、引例二、二、定积分的概念二、三、函数的平均值二、四、定积分的性质高等数学第5.1节定积分的概念与性质一、引例引例1曲边梯形的面积.

问题：如何求曲边图形的面积？面积=？高等数学第5.1节定积分的概念与性质（五个小矩形）（十个小矩形）观察发现：小矩形越多，小矩形面积之和就越接近曲边梯形的面积．分割曲边梯形，用小矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积.无限分割，小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.高等数学第5.1节定积分的概念与性质

解决步骤:（1）分割（2）近似（以不变代变）

则整个曲边梯形被分成n个小曲边梯形.高等数学第5.1节定积分的概念与性质（3）求和

（4）取极限

极限值就是曲边梯形的面积:取极限,

高等数学第5.1节定积分的概念与性质引例2变速直线运动的路程.设物体作变速直线运动，速度

是时间

的连续函数

，且

，求该

物体从时刻

到时刻

这段时间内所经过的路程.

（1）分割.（3）

求和.（2）近似.第

个小区间

的长度为物体在小时间段

所经过的路程（4）取极限.记物体在时间间段

内所经过的路程为高等数学第5.1节定积分的概念与性质两个问题的共性:

解决问题的思想与方法:

所求量极限结构式相同:

分割,近似替代,求和,取极限.特殊和式的极限.这种和式的极限可以抽象为一般的数学概念，即定积分.引例中的两个问题：高等数学第5.1节定积分的概念与性质二、定积分的概念定义1

定积分高等数学第5.1节定积分的概念与性质积分下限被积函数被积表达式积分和积分上限积分变量

引例中

高等数学第5.1节定积分的概念与性质说明：

（1）定积分是一个特殊和式的极限值，因此它是一个数.定积分的值仅有被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母选取无关.即（2）定义中对区间的分法以及在每个小区间上选取的点

都是任意的.(3)在定积分的定义中，总假设

，如果

，规定如果

，规定（4）如果函数

在区间

上连续或只有有限个第一类间断点，则函数在区间

上可积.高等数学第5.1节定积分的概念与性质定积分的几何意义

曲边梯形面积曲边梯形面积的负值

各部分面积的代数和高等数学第5.1节定积分的概念与性质例1

利用定义计算定积分解取极限得所要计算的积分为高等数学第5.1节定积分的概念与性质三、函数的平均值连续函数在区间上的平均值的计算.把区间分成

n等份,设分点为每个小区间的长度为.设在这些分点处的函数值依次为在区间上的平均值:高等数学第5.1节定积分的概念与性质性质２

函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差),即性质１

被积函数的常数因子可以提到积分号前面,即四、定积分的性质这一结论可推广到任意有限多个函数代数和的情况.设a＜c＜b,则性质3由几何意义易知该结论.定积分对积分区间具有可加性不论a,b,c的相对位置如何，总有等式高等数学第5.1节定积分的概念与性质性质4

如果在区间[a,b]上f(x)≡1,则性质5

如果在区间[a,b]上,则推论1

如果在区间[a,b]上

，则推论2证即高等数学第5.1节定积分的概念与性质性质6设M,m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则性质7（积分中值定理）

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点

使得积分中值公式的几何解释高等数学第5.1节定积分的概念与性质证则即高等数