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文档简介

第

五

节

曲

率

二、二、二、三、曲率圆与曲率半径一、曲率的定义二、曲率的计算高等数学第3.5节曲率

描述曲线弯曲程度的量就是曲率.曲率与我们的生活息息相关，如道路的弯道，建筑物的拱形结构、自然界的山脉等.了解曲率的概念和计算方法，对于工程设计、自然科学研究以及艺术创作等领域具有重要的实际意义.

例如，船体结构中的钢梁、机床的转轴等，它们在荷载作用下要产生弯曲变形，在设计时对它们的弯曲必须有一定的限制，这就要定量地研究它们的弯曲程度.

在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度.高等数学第3.5节曲率一、曲率的定义

弧段弯曲程度越大，切线转过的角度越大切线转过的角度相同，弧段越短弯曲程度越大几何观察：高等数学第3.5节曲率

通过几何观察发现：曲线的弯曲程度与切线换过的角度和弧段的长度有关.

显然弧函数

是单调增加函数.设

点出切线的倾角为

，

点对应弧

，

为

，当动点从

移动到

时切线转过的角度为

叫作曲线C在点

处的曲率.高等数学第3.5节曲率二、曲率的计算设曲线方程为

且

具有二阶导数.曲率定义式为(1)求高等数学第3.5节曲率(2)求

即

即

于是又弧函数

单调增，故（ds称为弧微分）高等数学第3.5节曲率于是曲率K的计算公式为例1

求直线上任一点的曲率.解设直线方程为

则所以

，即直线的“弯曲程度”为

0.高等数学第3.5节曲率例2

求半径为的圆上任意点的的曲率.解

设圆的方程为

，用隐函数求导法,求得说明：

圆上各点处的曲率相等，其值等于半径的倒数.高等数学第3.5节曲率例3

计算双曲线

在点

处的曲率.解由

求导，得因此把它们代入公式,可得在曲线在

处的曲率为高等数学第3.5节曲率曲线由参数方程给出，则可利用由参数方程所确定的函数的导数公式,求出代入公式可得高等数学第3.5节曲率例4

求曲线

在

相应点处的曲率.解故曲线在

相应点处的曲率为高等数学第3.5节曲率三、曲率圆与曲率半径高等数学第3.5节曲率1）曲线上一点处的曲率半径（曲率圆的半径）与曲线在该点处的曲率互为倒数.说明：2）曲线上一点处的曲率半径越

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