《高等数学(第4版)》课件第二章 导数与微分

第二章

导数与微分导数与微分的概念及计算方法微分学基本概念是导数与微分导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度目录第一节

导数的概念第四节

隐函数和由参数方程确定的函数的导数第二节

求导法则第五节

微分第三节

高阶导数第

一

节

导数的概念

二、一、导数的定义二、二、导数的几何意义二、三、单侧导数二、四、可导与连续的关系高等数学第2.1节导数的概念一、导数的定义引例1

瞬时速度问题设一质点作变速直线运动，位置函数为

，求质点在某时刻的瞬时速度.

O

S

从

到

这段时间内的平均速度为越小，近似程度越好.当

很小时，高等数学第2.1节导数的概念引例2切线斜率问题求平面曲线

在点

处的切线的斜率.

如图，割线

的斜率为

P沿曲线LP0,

即

x→0,

切线

的斜率为

割线P0P

极限位置P0T有高等数学第2.1节导数的概念类似问题还有:加速度角速度线密度变化率问题……所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.瞬时速度切线斜率两个问题的共性:

高等数学第2.1节导数的概念函数在某点的导数的定义

定义1

设函数

在点

的某个邻域内有定义,如果极限

存在,则称函数

在点

处可导,并称该极限为函数

在点

处的导数,记为,即

也可记作高等数学第2.1节导数的概念故导数

也称函数

在点

处的

如果极限不存在(包括∞),则称

函数

在点

处不可导或没有导数.但当极限为∞时,为方便起见，也常说函数

在

处的导数为无穷大．导数定义式可以写成其他形式反映的是自变量

从

变到

时，函数

的平均变化率.（瞬时）变化率.讨论函数在一点是否可导常用这种形式的定义式高等数学第2.1节导数的概念例1

假定

存在，求下列极限：(1)(3)解

(2)(1)(2)若,求

高等数学第2.1节导数的概念(3)高等数学第2.1节导数的概念显然，

如果函数

在区间

内每一点都可导,则称函数

在区间

内可导.此时对

内的每一个确定的

，都对应一个确定的导数值，这就定义了一个新函数，称为

在

内的导函数(简称导数),记作

或即导函数的定义高等数学第2.1节导数的概念

求导数的一般步骤:

例2解

高等数学第2.1节导数的概念例3解求函数

的导数.由于所以后面证高等数学第2.1节导数的概念例4解求函数

的导数.同理，可求得高等数学第2.1节导数的概念例5解求函数

的导数.特别地，高等数学第2.1节导数的概念二、导数的几何意义(α为切线的倾斜角).处的切线的斜率.表示曲线

在点

切线方程为

法线方程为

导数为无穷大时，切线为垂直于x轴的直线.高等数学第2.1节导数的概念例6求曲线在

点(1,1)处的切线方程和法线方程.

根据导数的几何意义,所求切线的斜率为解从而得切线方程为即于是所求法线方程为即所求法线的斜率为高等数学第2.1节导数的概念三、单侧导数（1）左导数（2）右导数左导数和右导数统称为单侧导数.显然，有

讨论分段函数在分段点是否可导，需考虑左右导数.高等数学第2.1节导数的概念例7判断函数

在点

处是否可导.解因为故即所以函数

在点

处不可导.高等数学第2.1节导数的概念解因为

存在，所以

与

都存在且相等.故于是

从而例8设函数

确定

的值，使

在处可导.又由于所以

且.高等数学第2.1节导数的概念四、可导与连续的关系根据函数极限与无穷小的关系,得从而，有故设函数

在点

处可导,即有所以函数

在点

处连续.

定理

如果函数

在点

处可导，则它在

处必连续.

连续不一定可导第

二

节

求导法则

二、一、函数四则运算的求导法则二、二、反函数的求导法则二、三、复合函数的求导法则二、四、基本求导法则与导数公式高等数学第2.2节求导法则一、函数四则运算的求导法则

可用导数定义及极限运算法则来证明.(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形.特别地，有

高等数学第2.2节求导法则

证

高等数学第2.2节求导法则证

高等数学第2.2节求导法则解例2解例3

设求解例1设求高等数学第2.2节求导法则例4

解

同理可得例5

解

同理可得高等数学第2.2节求导法则二、反函数的求导法则

或

反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

高等数学第2.2节求导法则例6

解

即

高等数学第2.2节求导法则例7

解

同理可得

即

高等数学第2.2节求导法则例8

解

同理可得即

高等数学第2.2节求导法则三、复合函数的求导法则

证

于是高等数学第2.2节求导法则链式法则

推广

复合函数中因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.

高等数学第2.2节求导法则关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.例9

解

例10

解

因此

熟练后,可不写出中间变量高等数学第2.2节求导法则解特别地，有即例11设

为实数,求幂函数的导数.高等数学第2.2节求导法则例12

求

的导数.解高等数学第2.2节求导法则四、基本求导法则与导数公式1.函数四则运算的求导法则

高等数学第2.2节求导法则3.复合函数的求导法则

或

2.反函数的求导法则

或

高等数学第2.2节求导法则4.

常数和基本初等函数的导数公式-熟练记忆

第

三

节

高阶导数

二、二、一、高阶导数的概念二、高阶导数求导举例高等数学第2.3节高阶导数一、高阶导数的概念引例：变速直线运动的加速度质点作变速直线运动时，位置函数

s=s(t)

加速度

记作

s′′(t)记作

或叫作s对t的二阶导数（位置函数s对时间t的二阶导数）高等数学第2.3节高阶导数

记作

即同时称

二阶可导.二阶导数的导数称为三阶导数,记为

高等数学第2.3节高阶导数

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

三阶导数的导数称为四阶导数,记为高等数学第2.3节高阶导数二、高阶导数求导举例例1

解高等数学第2.3节高阶导数例2

解

同理可得

……

高等数学第2.3节高阶导数

例3解

例4解

高等数学第2.3节高阶导数求高阶导数常用公式

莱布尼茨公式

高等数学第2.3节高阶导数例5求解

设

则

于是由莱布尼兹公式可得第

四

节

隐函数和由参数方程确定的函数的导数

二、二、一、隐函数的导数二、由参数方程所确定函数的导数高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数一、隐函数的导数

可确定显函数

将一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化.

隐函数不易显化或不能显化时如何求导呢？隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数例1求方程

所确定的隐函数的导数

．例2所以注意

解

对方程两边关于

求导，得解

对方程两边关于

求导，得故高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数所确定的隐函数在

处的导数例3

求由方程将代入原方程,得再将它们代入上式,得解

方程两边对

求导，得高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数例4

求由方程所确定的隐函数的二阶导数于是解

方程两边对

求导，得再对

求导，得将

代入，可得高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.——对数求导法

对数求导法方法:

然后用复合函数求导法.高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数例5

求

的导数．解两边取对数，得所以上式两边对

求导，得高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数例6

求函数的导数.解

所以

两边取对数,得上式两边对

求导，得高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数

消去参数

例如

消参困难或无法消参时如何求导呢？高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数

即

由复合函数及反函数的求导法则得

高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数

（也应写成参数方程形式，但通常为了方便起见，把

省去了）

高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数例7

解

故所求切线方程为

高等数学第2.4节隐函数和由参数方程所确定函数的导数解例8所确定的函数的二阶导求由参数方程数第

五

节

微

分

二、二、三、微分的运算法则二、二、微分的几何意义二、一、微分的概念四、微分在近似计算中的应用高等数学第2.5节微分一、微分的定义引例正方形金属薄片受热后面积的改变量.

既容易计算又是较好的近似值.

是否所有函数的改变量都能写成自变量增量的线性函数加无穷小呢？自变量增量的线性函数是什么？如何求？

问题：高等数学第2.5节微分

高等数学第2.5节微分讨论可微的条件设函数

在点

可微，则于是两边取极限，得若函数

在点

可导，则存在于是其中因而故函数

在点

可微.即

在点

可导，且线性主部高阶无穷小高等数学第2.5节微分

它不仅依赖于

，而且也依赖于.通常把自变量

的增量

称为自变量的微分，记作

，即特别地，当

时，由

，可得

故高等数学第2.5节微分函数

的微分可记为

于是，有故导数也称为微商.解

例1高等数学第2.5节微分二、微分的几何意义设