《线性代数（第3版）》课件 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

03矩阵的初等变换与线性方程组概念矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩应用线性方程组解的判定及求解方法目录01

矩阵的初等变换03矩阵的秩04线性方程组的解02

初等矩阵线性代数矩阵的初等变换第3.1节

矩阵的初等变换

二、一、矩阵初等变换的定义二、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵线性代数矩阵的初等变换定义1

下面3种变换称为矩阵的初等行变换：（1）交换矩阵的两行（交换两行，记作）；（2）将矩阵某一行的所有元素乘以非零数（第行乘以记作)；（3）将矩阵某一行各元素的倍加到另一行对应元素上去.（第行的倍加到第行上，记作）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵初等列变换的定义（所用记号是把“”换成“”）.一、矩阵初等变换的定义

矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在求逆矩阵、求矩阵的秩、解线性方程组（矩阵方程）、求向量组极大线性无关组及矩阵理论的探讨中，都起着非常重要的作用.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.线性代数矩阵的初等变换

矩阵的3种初等变换均可逆，且其逆变换与原变换是同类型的初等变换.逆变换初等变换

如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与矩阵等价，记作~行等价，记作若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，则称矩阵与矩阵~若矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，则称矩阵与矩阵

列等价，记作~矩阵之间的等价关系具有自反性、对称性和传递性.线性代数矩阵的初等变换例如

利用矩阵的初等行变换可以将一个矩阵化简.何为简？

线性代数矩阵的初等变换

定义

非零矩阵若满足（1）非零行在零行的上面；（2）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面,则称此矩阵为行阶梯形矩阵.

为

行阶梯形矩阵

，它的特点是：可以画一条以每一个非零行（元素不全为0的行）为一个台阶的阶梯线，使得阶梯线左下方的元素全为0.线性代数矩阵的初等变换

为行最简形矩阵，它的特点是：首先为行阶梯形矩阵，且每个非零行的首非零元为1，首非零元所在列的其他元素都为0.

定义

若

是行阶梯形矩阵，并且还满足（1）非零行的首非零元为1；（2）首非零元所在列的其他元素均为0，则称此矩阵

为行最简形矩阵.对

进一步施行初等行变换，可得线性代数矩阵的初等变换

例如这里矩阵称为矩阵的标准形，其特点是：全为0.左上角是一个单位矩阵，其余元素对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形式更简单的矩阵.

利用归纳法不难证明，任何非零矩阵总可经有限次初等行变换化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.利用矩阵的初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算.线性代数矩阵的初等变换对任何矩阵总可经过有限次初等变换化为标准形

一个矩阵的标准形中左上角的单位阵的阶数是唯一的，所以任何一个矩阵都有唯一的标准形.等价的矩阵具有相同的标准形.此标准形由

三个数完全确定，其中

为矩阵

的行阶梯形矩阵中非零行的行数，是一个不变量(不随

的行阶梯形矩阵的变换而变化).所有与矩阵

等价的矩阵组成一个集合，称为一个等价类，

的标准形是这个等价类中形式最简单的矩阵.线性代数矩阵的初等变换例3.1

设把

化成行最简形.解线性代数矩阵的初等变换即得

的行最简形.

所以该题做法也是求逆矩阵的一种有效方法，这将在下一节给出证明.该例题中，若记

的行最简形矩阵为

，则

的行最简形为

，即

，并可验证

，即线性代数矩阵的初等变换小结（1）（2）矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形.初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同.初等行（列）变换：线性代数初等矩阵第3.2节

初等矩阵

二、一、矩阵初等的概念二、初等矩阵相关结论二、三、矩阵初等变换的初步应用线性代数初等矩阵一、初等矩阵的概念

定义3

由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应三种形式的初等矩阵：对应的初等矩阵对

施行的初等变换

为探讨矩阵初等变换的应用，需借助初等矩阵研究初等变换的性质.例如

（举例低阶的初等矩阵）线性代数探讨：

初等矩阵与初等变换之间有什么联系？用二阶初等矩阵左乘，得类似地，用

左乘矩阵A,其结果?一般结论呢？二、初等矩阵相关结论初等矩阵线性代数用三阶初等矩阵右乘，得类似地，用其它类型的初等矩阵右乘矩阵A,其结果?一般结论呢？初等矩阵线性代数阵，则对施行一次初等行变换，相当于在

的左边乘相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在

的右边乘相应的

阶初等矩阵.

初等矩阵均可逆，其逆矩阵是对应初等变换的逆变换所对应的初等矩阵，即定理1（初等变换与初等矩阵之间关系）设

是一个

矩初等矩阵线性代数

定理2

方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵使

证先证充分性.再证必要性.

可逆矩阵的标准形是单位矩阵.设阶方阵可逆，

的标准形为

，由于

与

等价，所以

经过有限次初等变换可化

，于是又定理1知，存在在有限个初等矩阵

使得因为

均可逆，故

可逆，又

为标准形，所以

从而设

，因初等矩阵可逆，且有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故

可逆.初等矩阵线性代数推论1

方阵可逆可逆证或存在有限个初等矩阵

使

，即或或推论2

矩阵

与

等价可逆矩阵使得存在阶可逆矩阵及阶事实上，

存在有限个初等矩阵

及

使得

存在可逆矩阵

和

，使得

初等矩阵线性代数推论3

对于方阵，若

，则

可逆，且证因为

，所以由定理1知，存在初等矩阵

使得即于是由逆矩阵的定义，知

可逆，且

推论4

对于阶矩阵和

矩阵

，若

，则

可逆，且特别地，对于线性方程组

若增广矩阵，则

可逆，且

为方程组唯一的解.证法类似推论3.初等矩阵线性代数三、矩阵初等变换的初步应用应用一

求逆矩阵初等变换法求逆矩阵的方法：可逆，且例3.2

设求解初等矩阵线性代数所以初等矩阵线性代数对于矩阵方程

应用二

解矩阵方程当可逆时，可解得

初等变化解矩阵方程

的方法：例3.3

求解矩阵方程

其中初等矩阵线性代数解所以

可逆，且初等矩阵线性代数例3.4

求解矩阵方程

，其中解矩阵方程变形为由于初等矩阵线性代数所以

可逆，且初等矩阵第3.3节

矩

阵

的

秩

二、一、矩阵的秩的定义三、矩阵的秩的性质二、二、矩阵的秩与矩阵的初等变换线性代数3.3节

矩阵的秩一、矩阵的秩的定义1、矩阵子式的定义定义3

在矩阵中，任取行列

位于这些行列交叉处的个元素按原来的次序所构成的

阶行列式，称为矩阵的阶子式.矩阵共有

个

阶子式.

上一节指出，给定一个

矩阵

，它的标准形

由左上角单位阵的阶数

完全确定.这个数

为

的行阶梯形矩阵中非零行的行数，它便是矩阵

的秩.但这个数的唯一性尚未说明.本节以另一种方式给出矩阵的秩的定义.线性代数3.3节

矩阵的秩例如

为的一个三阶子式.

为的一个二阶子式.显然，

的每一个元素都是

的一阶子式.

当

为方阵时，

为

的最高阶子式.线性代数3.3节

矩阵的秩2、矩阵秩的定义

定义4

设在矩阵中有一个不等于0的

阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于0，那么

称为矩阵的最高阶非零子式.数称为矩阵的秩，记作规定零矩阵的秩等于0.

为非零矩阵时，

的秩

就是

的非零子式的最高阶数.基本性质：（1）若矩阵中存在某个阶子式不等于0，则（2）若矩阵中所有阶子式全等于0，则（3）对任意的矩阵，有（4）对任意的矩阵，有线性代数3.3节

矩阵的秩可见，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.对于阶方阵，若则

若

则

例3.5

求下列矩阵的秩：解易看出，矩阵

中有一个二阶子式

而

的三阶子式只有一个

且

所以.线性代数3.3节

矩阵的秩上例是按定义求秩，但当行数与列数较高时，按定义求矩阵的秩是非常麻烦的.注意到行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数，而任何一个矩阵经过有限次初等行变换都可以化为行阶梯形矩阵.问题矩阵在初等变换过程中，秩会保持不变吗保持不变是一个行阶梯形矩阵，其非零行的行数为3，因此

的所有4阶子式全为0.而在

中以3个非零行的首非零元为对角线的三阶子式是一个上三角形行列式，它显然不等于0，因此线性代数3.3节

矩阵的秩定理3

若

，则当

A

B

或A

B

时，在B中取与D有相同序号的行和列所构成的子式，则或或，因此，从而．先证明：

A

经一次初等行变换变为B

，有．设，则

A

中必存在某个r阶子式．证线性代数3.3节

矩阵的秩线性代数3.3节

矩阵的秩分三种情形讨论：（1）A

的r阶非零子式D

不包含A

的第1行，这时D也是B的r阶非零子式，（2）D

包含A

的第1行也包含A

的第2行

，在

中取与D有相同序号的行和列组当A

B

时，A

B

由于对于变换时结论成立，因此只需考虑（3）D包含A的第1行，但不包含A的第2行，在

中取与D有相同序号的行和列其中

也是B

的r阶子式.

由于

故

与不同时为0.这一特殊情形．故.所以B

中存在r阶非零子式或，B

成

阶子式

，则由行列式的性质知故.rB

组成r阶子式

，则故线性代数3.3节

矩阵的秩例如线性代数3.3节

矩阵的秩线性代数3.3节

矩阵的秩以上证明了若A

经一次初等行变换变为B，则由于B也可经一次初等行变换变为A

，故也有经一次初等行变换矩阵的秩不变，可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.因此．设A

经初等列变换变为B

，则

经初等行变换变为

，所以又因为因此综上，若A经有限次初等变换变为B，即

，则推论

若存在可逆矩阵

和

，使得

则线性代数3.3节

矩阵的秩将矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即所求矩阵的秩.(当然低阶的矩阵可用定义法）求矩阵秩的方法：例3.6

设求矩阵

的秩，并求

的一个最高阶非零子式.线性代数3.3节

矩阵的秩解因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以R(A

)=3.线性代数3.3节

矩阵的秩易知A的子矩阵所以故

中必存在一个3阶非零子式，它也是矩阵A的一个3阶非零子式.而

中子式因此这个子式就是矩阵A的一个最高阶非零子式.线性代数3.3节

矩阵的秩例3.7设解问为何值时，可使因此（1）当

时，（2）当

时，（3）当

时，

线性代数3.2节

矩阵的秩三、矩阵秩的性质（1）（2）（4）若

P、Q

可逆，则(5)(6)(7)(8)

（3）若

，则

若

，则

最基本的性质常用的性质线性代数3.3节

矩阵的秩特别地，当

为非零列向量时，有证同理有．两式合起来，即为设，．和，则把和分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵性质（5）因为

A

的最高阶非零子式总是的非零子式，所以.线性代数3.3节

矩阵的秩性质（6）注意到

证

不妨设

都为矩阵，对矩阵

作初等列变换即得于是线性代数3.3节

矩阵的秩例8设A为n阶矩阵，证明证由性质6，有因，而，所以第3.4节

线性方程组的解

二、一、消元法解线性方程组三、齐次线性方程组解的判定及求解二、二、非齐次线性方程组解的判定及求解线性代数3.4线性方程组的解该方程组可以写成以向量为未知元的形式其中设有

个未知数

个方程的非齐次线性方程组若方程组有解，则称它是相容的；若无解，则称它不相容.线性代数一、消元法解线性方程组

消元法的基本思路是通过方程组的

消元变形，将方程组化为容易求解的方程组.例3.9

求解线性方程组解3.4线性方程组的解线性代数阶梯形

该阶梯形方程组是有4个未知数3个有效方程的方程组，应有一个未知数可以任意取值，称之为自由未知数.

由于方程组呈阶梯状，而每个有效方程第一个未知数前面的系数为1，所以可以把每个台阶上的第一个未知数作为非自由未知数，剩下的作为自由未知数.3.4线性方程组的解线性代数3.4线性方程组的解由最后一个方程开始回代，可以得到方程组的解其中

可以任意取值，令

（

为任意常数

），方程组的解可表示为线性代数分析发现：1．在消元过程中，始终把方程组看作一个整体来进行变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于0的数乘某个方程；（3）一个方程的

k倍加到另一个方程上．2．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．最后求得的解是原方程组的全部解.

3.在消元过程中，只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算（未知数只起了标记位置的作用）．即消元的过程相当于对方程组的增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵、回代的过程相当于化行阶梯形矩阵为行最简形矩阵.

这种思想在我国古代《九章算术》中就有体现.《九章算术》中“方程”部分，针对线性方程组提出了分离系数的表示方法，就体现了现代的矩阵思想.3.4线性方程组的解线性代数用初等变换法

求解线性方程组解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换：3.4线性方程组的解线性代数3.4线性方程组的解令,得方程组的解为取

为自由未知数，行最简形矩阵对应的方程组为不会有矛盾方程，但会有自由未知量，所以有无穷多解.此例发现：线性代数3.4线性方程组的解例3.10

求解线性方程组解对线性方程组的增广矩阵

作初等行变换：即得线性代数3.4线性方程组的解则方程组的解为此例发现：不会有矛盾方程，也不会有自由未知量，所以有唯一解.线性代数3.4线性方程组的解例3.11

求解线性方程组解对线性方程组的增广矩阵

作初等行变换：该行阶梯形矩阵对应的方程组中第3个方程“0=1”为矛盾方程，故原方程组无解.此例发现：会有矛盾方程，从而方程组无解.线性代数3.4线性方程组的解二、非齐次线性方程组解的判定及求解

利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系，可以方便地讨论线性方程组解的情况.定理4

元非齐次线性方程组

（1）无解的充分必要条件是（2）有唯一解的充分必要条件是（3）有无穷多解的充分必要条件是下面只解释充分性，必要性可采用反证，结合余下两条的充分性说明.

线性代数3.4线性方程组的解设的行最简形矩阵为的末列上有首非零元1有矛盾方程，从而无解有解有唯一解有解无穷多解的末列上无首非零元的末列上无首非零元有效方程个数=未知量个数有效方程个数<未知量个数线性代数3.4线性方程组的解推论

非齐次线性方程组有解的充分必要条件是由定理4，可知解线性方程组

只需对增广矩阵

施行初等

行变

换化为行阶梯形矩阵，然后根据与的之间的关系,判定方程组是否有解；在有解时，继续对增广矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵，行最简形矩阵对应的方程组就是同解的线性方程组，直接写出同解的线性方程组的解，也即求出了原线性方程组的解.例3.12

求解线性方程组解对线性方程组的增广矩阵

作初等行变换：线性代数3.4线性方程组的解可见

，故方程组无解.例3.13

求解非齐次线性方程组解

对增广矩阵施行初等行变换线性代数3.4线性方程组的解因

，故方程组有无穷多解.与原方程组同解的方程组为线性代数3.4线性方程组的解取为自由未知量，令

便得方程组的通解为要自由先非自由即线性代数3.4线性方程组的解例3.14

设有非齐次线性方程组问取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解．解法1对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有

线性代数3.4线性方程组的解(1)当且时，方程组有唯一解；(2)当时，(3)当时，方程组有无穷多个解,这时所以

故方程组无解；线性代数3.4线性方程组的解由此便得同解的线性方程组取

为自由未知量，令

，,得方程组的通解为解法2因系数矩阵A为方阵，故由克莱姆法则，知方程有唯一解的充分必要而条件是系数行列式.线性代数3.4线性方程组的解因此，当

且

时，方程组有唯一解.当

时

，可见，

故方程组无解.线性代数3.4线性方程组的解当

时，可见，

故方程组有无限多解，且通解为

对含参数的矩阵作初等行变换不方便，因此如果系数矩阵是阶数不高的方阵，可以考虑解法2.线性代数3.4线性方程组的解定理5矩阵方程

有解的充分必要条件是证

设

为

矩阵，

为

矩阵，则

为

矩阵.把

和

按列分块，记为则矩阵方程

等价于

个线性方程组先证充分性.把定理4推广到矩阵方程，有设