河北省石家庄市2022-2023学年高二年级上册期末数学试题（解析版）

河北省石家庄市2022-2023学年

高二上学期期末数学试题

第I卷（选择题，共60分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1.已知直线/的方程则直线/的倾斜角为（）

兀兀5兀2兀

A.6B.3C.6D,3

【答案】C

tana二一

【解析】设直线/的倾斜角为0，则耳一行,

5兀

a=—

又因为04。＜兀，因此，6.

故选：C.

2.用火柴棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，第10个

A.20B.21C.22D.23

【答案】B

【解析】结合图形，发现：搭第九个图形，需要3+2（〃—1）=2"+1,

则搭第10个图形需要21根火柴棒,

故选：B.

3.已知圆的圆心为（-2,1）,其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是

（）

Ax2+y2+4%-2y—5=0px2+y2—4x+2y—5=0

犬2+y2+4%-2y=0Jr?+y2_4%+2y=0

D.

【答案】c

【解析】设直径的两个端点分别A(〃，0)、B(0,b),圆心。为点(-2,1),

Q+00+b

-------=—2,--------=1

由中点坐标公式得22解得斫一4,b=2.

...半径-「2+1+(1—0)2=下,

圆的方程是：(x+2)2+(y-1)2=5,BPx2+y2+4x-2y=0.

故选C.

AB+-(BD+BC)

2、’等于

4.已知空间四边形A2C£＞中,G为C。的中点，则

A.AG.CGc.BCD.

B2

【答案】A

【解析】如图:

BG=-(Bb+BC)

由平行四边形法则可得：2

AB+^(BD+BC)=AB+BG=AG

故选：A.

5.已知圆C"2+y2—4x=0与直线/切于点网1，9,则直线/的方程为()

Ax—yfiy+2—0口x—+4=0

A.D.

Cx+y/3y—4=0口％+-2=0

【答案】A

【解析】圆UJ+V_4x=o可化为(x-2)+丁=4,

0—A/3_A/3

所以点尸与圆心连线所在直线的斜率为2-1,则所求直线的斜率为3,

y-#>=%”,整理得彳_6>+2=0

由点斜式方程，可得

故选：A.

2

C：x2--=1

6.设耳，鸟是双曲线3的两个焦点，°为坐标原点，点尸在C上且10尸=2,

则△尸可工的面积为

()

75

A.2B.3C.2D.2

【答案】B

【解析】由己知,不妨设耳（一2,°），居（2,0）

\OP\=2=^\FlF2\

则a=l，c=2,因为

所以点尸在以月鸟为直径的圆上,

即△与鸟「是以尸为直角顶点的直角三角形,

故1mF+|pg|2=w&F,即|p£F+|pK|2=i6,又||尸耳|_|尸工||=20=2,

所以4=||P7"—|P月『=|PK|2+|PK|2—2|PFJ|PFJ=16—2|PG||PEI,

|PFJI1=3

解得|PFJ|PF21=6,所以^=1牝

故选：B.

7.如图，在棱长为“的正方体ABC。—A4CR中，尸为A2的中点，。为A用上任意

一点，E,歹为8上两个动点，且所的长为定值，则点Q到平面。石尸的距离（）

B.和所的长度有关

C.等于3D.和点Q的位置有关

【答案】A

【解析】取的中点G,连接PG,CG,DP,则PG//CD,所以点。到平面PEF的距

离即点Q到平面PGCD的距离，与匹的长度无关，B错.又4耳〃平面PGCD,所以点

司到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点

0的位置无关，D错.

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，则12人

―.—.=||

.DC=（O,cz,O）DA,=（a,O,a）（2）

••，，，

a„

一%+QZ=U,

n-DP=Q,2

<

设〃=（x,y,z）是平面尸GCO的法向量，则由［冗，。。二。，得ay=0,

令z=l,则x=_2，y=0,所以"=（-2,0，1）是平面PGCD的一个法向量.

D\-n—+a45a

d二

\n\5,A对，C错.

设点。到平面正切的距离为d,则6

222

沙—）与双曲线

71

ZFMF=—

的公共焦点，M是它们的一个公共点，且123,02分别为曲线G,。2的离心

率，则，否2的最小值为（）

A.2B.6C.1D.2

【答案】A

22f2

rpCt:—+-^-=1(0,>b｝>0)C2:——-^-=l(a2>0,b2>0)

【解析】由题知，i,2为椭圆A"b-与双曲线%b2

71

=-「r

的公共焦点，/是它们的一个公共点，且3,。，分别为曲线G,5的离

心率，

MR+MF2=2%fMR=%+o,

假设“4>MF],所以由椭圆，双曲线定义得IM—摩=2/，解得=6-4，

所以中，F用=2c,

jr

F.F,2=ME2+MF,2-2MF,MF,-COS-

由余弦定理得3,

4c2=(%+)一+(4一火)一2Gj+6Zj)•£Z1—tZj)cos一

即一3

化简得4°2=+3的2,因为4c2=aj+3a2?>2g,

二到1=Bee)g厂

所以弓。242,即""一2,当且仅当时，取等号,

故选：A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知等差数列｛""｝的前w项和为凡下6<3,且邑>1,则()

A.在数列｛%｝中，%最大

B.在数列｛%｝中，%或%最大

QS3=Sl0

D.当“28时，a„<0

【答案】AD

S<5

【解析】MJ为等差数列，V67,且S,X,

...S7—S6=ciy>0,Sg-S7=cig<0,%>%,即dv0,

二｛斯｝是递减等差数列，的最大，当〃<7时，当〃28时，4<°,

故AD正确，B错误，

§10-S3=々io+为+〃8+%+。6+。5+〃4=7%〉0,则Si。WS3,故c错误，

故选：AD.

10.已知直线/：("+"+1)无—"1=°,其中aeR,下列说法正确的是()

A.当。=-1时，直线/与直线兀+y二。垂直

B.若直线/与直线x—'=°平行，则。=°

C.直线/过定点(。」)

D.当a=°时，直线/在两坐标轴上的截距相等

【答案】AC

【解析】对于A,当。=-1时，直线/的方程为了一丁+1=°,故/的斜率为1,直线%+>=°

的斜率为T,因为1x(—1)=—1,所以两直线垂直，所以A正确；

1-10

------------W-

对于B,若直线/与直线x—丁=°平行，则6+。+1-11,解得。=0或a=T,所

以B错误；

对于c,当％=°时，则y=i,所以直线过定点(°」)，所以C正确；

对于D,当"=°时，直线/的方程为"―V+1=0,易得在x轴、y轴上的截距分别是一1，1,

所以D错误.

故选：AC.

11.已知直线后一〉一退二°过抛物线C：V=2px焦点R且与抛物线C交于A,B

两点，过A,B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M,N,则下列说法正确的是()

8

A.抛物线的方程为V=4xB.线段A5的中点到y轴的距离为§

16

C.线段A3的长度为3D.ZMFN=90°

【答案】ACD

【解析】显然抛物线C：/=2px的焦点F在x轴上，

£=1

直线/:b-y-6=0与x轴交于点(1,0),即尸(L0),则2,解得P=2,

抛物线°的方程为V=4x,准线方程为x=-1,A正确；

A/3X—y—^/3=0

<■

由y-4x消去丁并整理得：3%2—10x+3=0,设，

1015

Xj+%2-9二］一

则有3，线段A3中点横坐标为3,

5

因此线段A3的中点到y轴的距离为B错误；

|AB|=|AF\+\BF\=xl+l+x,+l=—+2=——

33,因此线段A5的长度为3,c正确；

显然点M(-1,必),N(—l,%),由二(-2,X),而=(-2,%),

FM-FN=4+%%=4+3(玉一1)(%-1)=7+3/々-3(%+J;)=7+3X1-3X—=0

则23

即的■,和，因此/MFN=90。，D正确.

故选：ACD.

12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符

号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，

曲线C：x?+y2=|x|+|y|就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结

论正确的有()

A.曲线C围成的图形的面积是2+兀

B.曲线C围成的图形的周长是2&兀

C.曲线C上的任意两点间的距离不超过2

17-5&

D若P（九〃）是曲线c上任意一点，则13机+4〃—12|的最小值是2

【答案】ABD

［解析］对于曲线。：/+丁2=m+1川上任一点尸（办"），则/+/+

点尸（%〃）关于y轴对称的点为片（一八〃），

则（-m）2+zi2=m2+n2=］m|+1n|=|-m|+1川

即点片（一“'“）在曲线c上，故曲线c关于y轴对称；

点尸（机〃）关于x轴对称的点为8（利一"），

22

则加2+（一〃）2=m,|_nm|_|_|^|=|m|_|_||

即点6（一加，〃）在曲线C上，故曲线c关于X轴对称；

点尸（也〃）关于原点对称的点为片（一”一小，

22

贝I」（-mJ+（一〃J=m+n=|m|+1n|=|-m|+1一川

即点鸟（一枢一“）在曲线C上，故曲线C关于原点对称；

综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称.

对于方程“+V=1xI+1y1=x+y,

令y=°,则V=lx|,解得％=。或*=±1,

即曲线c与x轴的交点坐标为

同理可得：曲线c与，轴的交点坐标为3（°J），°（°，°），D（°，T）,

当xNO,y»O时，则尤2+V=|幻+|）|=x+y,

f_iYf.lYi

整理得lx2；+<y2）=2,且NAOB=90°,

故曲线C在第一象限内为以122J为圆心，半径2的半圆，

由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点,

、2

5=4-xlxl+-^x=2+71

22

对A：曲线C围成的图形的面积7，A正确;

也=2缶

£=4X」X2TIX

对B：曲线C围成的图形的周长是22,B正确;

14x=0x=l

对C：联立方程解得［y=o或B=i,

即曲线c与直线丁=%在第一象限内的交点坐标为“（I1）,

由对称可知曲线C与直线y=x在第三象限内的交点坐标为N（—I'T）,

则|阿|=河万百=2应＞2,0错误;

对D：由图结合对称性可知：当P（mM在第一象限时，点P（m』）到直线,：3x+4y-12=°

713m+4n-12113m+4n-121

d=—-=-----------------

的距离打+425相对较小，

0M^_|3X1+4X|-12|_17

...（22）到直线/:3x+4y-12=0的距离1510,

d>d-r=H-^

则点到直线/:3x+4y-12=0的距离1102,

._..._17-5^/2

13加+4〃-12|=5dz>-----------

••2,

17-5后

故|3m+4〃-12|的最小值是2,D正确.

第n卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

2£_匚［

2_A4一1

13.抛物线'=4”的焦点到双曲线3的渐近线的距离是.

V3

【答案】2

2.£1厂_2_

【解析】双曲线X3=的渐近线为J3x—y=°V=4x的焦点（1,0）到渐近线距离为

W

2.

14.设瑞丁eR,向量62=（3,2,l）,5=（l,x,l）,c=（y,4,2）,且q_）_石,£〃£,则忸+。|=

【答案】痘

【解析】因为力人所以3+2x+l=0,解得％=-2,则）=（1，-2,1）

因为£〃"，所以327,解得y=6,则c=（6,4,2）.

/.&+c=（7,2,3）,|^+c|=^62

故答案为:疯.

15.已知各项不为。的等差数列｛"/满足°6一蜡+。8=0,数列也｝是等比数列，且&=。7,

则以3,8仇0=.

【答案】8

【解析】因为"6一4+"8=0,所以（%-"Ad+（%+。）=。,

即-a；+2%=0,因为。产°,所以%=2,则伪=2.

b

b3bBo―•b^q•bnq=Z?7=8

q

故答案为：8.

16.已知A5为圆C：（xT）+>2=1的直径，点尸为直线x->+2=°上的任意一点，贝ij

西•丽的最小值为.

7_

【答案】2

【解析】圆心C(L°),半径为1,且点°为线段A3的中点，

PAPfi=(PC+G4)(PC+Cfi)=(PC+G4)(PC-G4)=PC2-G42=|PC|2-1

，

,3372

Z7---------------------

圆心C到直线x—y+2=°的距离为V22,

当pc与直线“一丁+2=。垂直时，1Pq取最小值，即℃§=因t取最小值，

(PAPB)=(|PC|2-1)=d2-l=-

且'，minX1/min2

7

故答案为：2.

四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.设等差数列｛4｝的前〃项和为S",%+52=-5,=-15

(1)求数列｛“/的通项公式；

(2)若％=(T),求数列也｝的前2。项和.,

解：⑴设等差数列｛叫的公差为"，由%+$2=3%+2d=-5,

S5—5q+10d——15即％+2d——3

3q+2d=-5=—1

所以2d=_3,解得［"=—1,

所以%=T-(〃T)=f.

⑵因为包=(T%,

所以(0=4+4+4+。4+…+49+%

=(_q+a?)+(-/+%)+.••+(-%9+〃20)

=d+d+…+d

=10t/=10（-1）=-10

18.在平面直角坐标系中，曲线>=/-61+1与坐标轴的交点都在圆C上.

（1）求圆C的方程；

⑵若圆。与圆，：（“—4）+（，-3）=4相交于A、B两点，求AB弦长.

解：（1）曲线丁=/-6%+1与y轴的交点为91）,

与x轴的交点为（3+2修。），（3-2佟0）.

可知圆心在直线％=3上，故可设该圆的圆心C为©J）,

则有乎+（-1）2=（2衣2+/,解得:1,

故圆C的半径为r=j32+«_l）2=3,所以圆C的方程为（％-3y+（y-1）?=9.

2

（2）C的方程为（x-3）2+（y-l）2=9,gpX+/-6x-2y+l=0；

圆£）.（x-4）2+（y—3）2=4,即x?+>2—8x—6y+21=0,

两圆方程相减，得相交弦A8所在直线方程为*+2丁-10=°,

,|3+2-10|「

d-----『----=A/5

圆C的圆心（3，D到直线％+2yT°=°距离为05,

所以AB=2,J-d°-2,9-5=4

19.如图，四棱锥。―ABC"的底面为菱形且的。=60°,底面4BCDAB=2,

PA=26E为PC的中点.

（1）求直线。E与平面以C所成角的大小;

（2）求二面角E—AD一0平面角的正切值.

解：（1）连结对角线AC、相交于点。，连结。E、OE,

CFATnr尸入EO=-PA=«

••・〃色分别为AC/C的中点，EO//PA,2,

且R4_L平面ABC。，则■平面48C£）,

・•,底面是菱形ABC。，/B4Z）=60°,AB=2,PA=26,则即=2,AC=2百,

以。为原点，OA、OB、OE所在直线分别为无，y,z轴建立空间直角坐标系，

则有。（。卜百

0,0,0）,A（"o,o）,a。），z）（o,-i,o）；^（o,o,V3）

可得诙=（0,1,6），AD=（-V3,-l,0）

:

UUIU

...平面R1C的法向量为。°=（°，T°）,

1———1ODDE1_1|1

cos（OZ>,DE〉=————=口=-

11西n诙1x22

町则sin6,

设直线DE与平面PAC所成的角°€

故直线£>E与平面B4c所成的角为30°.

（2）设二面角£一A。一。的平面角为‘ze（0°,90°）

平面ADC的法向量为°"=仅‘°'、"），

AD-ri=-yfix-y=0

<

设平面EAD的法向量为无=（/%z）,见DE•力=y+JJz=0

令％=1,则k-"z=l,得到"=。，-6」）

ruun\OE-nk/36

cos（n,OE>=r.uun——t=—广=-

.\n\\OEV3XV55

V5r...........-2y[5

cosa=——sma=vl-cosa=------

即5,贝ij5,.-.tana=2,

故二面角E-AD-C的平面角的正切值是2.

20.已知O为坐标原点，点G（-2,0）和点"（2,0）,动点「满足|PG|-|PH|=2.

（1）求动点尸的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；

（2）若抛物线z：y2=2°x（p>0）的焦点厂恰为曲线卬的顶点，过点尸的直线,与抛

物线Z交于M,N两点，|MN|=8,求直线/的方程.

解：（1）•••动点尸满足IPG|-|PH|=2VG4|,

点P的轨迹曲线卬为双曲线的一支，

由双曲线的定义有。=1,c=2,：.b=6

2

2

x-2L—]）

，曲线W的方程为3.

（2）由（1）可知曲线卬的顶点/在°）,

,2，:.P=2,

所以抛物线z的方程为y2=4x.

由题意，直线’的倾斜角不能为0,

设直线/的方程为x=My+i,设"（网,乂），N5,%）,

代入到V=4%消去X得：r-4mj-4=0；

2；•%+%加

••.J=16m+16>0，=4，，

・••IMN\="再一尤2）2+（必一%『=Jw+1•+%）2-4%必

=4>+T♦416帆2+16=4m2+4=8,

...171—1或m=—lf

二直线/的方程为x—yT=°或％+yT=°.

=，i(“eN*)

21.已知数列MJ满足4+2Q]=1

1

<--->

T）证明：数列〔“"J为等差数列，并求数列｛""｝的通项公式；

fiY」1丫0心也［

,|一|<%W—|（“eN）1----

（2）若记”,为满足不等式12/的正整数上的个数，数列的

前〃项和为s〃，求关于〃的不等式S”<2023的最大正整数解.

/人9一

（1）证明：由4+22取倒数得4%%%2,即%«„2

1111n-1〃

<>1-------1-----+12

2

所以为公差为5的等差数列，则为42，所以，"〃—"+1.

门丫C1Y-1