解三角形（解析）

专题02解三角形

1.在①ac=V5,②csinA=3,③c=旧6这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角

形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AABC,它的内角的对边分别为a,b,c,且sin4=gsinB,C=g___________?

6

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】详见解析

【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系,

设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理

由sinA=百sinB可得：:=V3,不妨设a=73m,b=m(m>0),

则：c2=a2+b2-2abcosC=3m2+m2-2xV3mxmx，=m?,即c=m.

若选择条件①：

据此可得：ac=V3mxm=V3m2=V3,m=1,此时c=m=1.

若选择条件②：

据此可得：cosA=^km2+m2-3m21

2bc2m22

贝!J：sinA=11—=*此时：csinA=mxf=3,贝！I：c=m=2百.

若选择条件③:

可得2=2=1,=b,与条件c=V5b矛盾，则问题中的三角形不存在.

bmc

［方法二］:正弦定理

由C=—,A+B+C=IT,得A=----B.

66

由sinA=V3sinB,得sin(詈-B)=V3sinB,即］cosB+fsinB=V3sinB,

得tanB=—.由于0VB<m得B=所以b=c,A=—.

363

若选择条件①:

由肃1=品‘得品=看'得2=百口

36

解得c=b=l,a=V5.所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=l.

若选择条件②:

由csinA=3,得csinT=3,解得c=2百，贝！Jb=c=2

由~^7=告，得一^€=二，得a=V5c=6.

sinAsmCsin—sm-

36

所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2百.

若选择条件③：

由于c=V^b与b=c矛盾，所以，问题中的三角形不存在.

【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得a,b,c的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题

的通性通法,也是最优解；

方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A,可求出角B,从而可得b=c,A=字,B=C=g

再根据选择条件即可解出.

2.在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsinA-ga=0.

(I)求角B的大小；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.

【答案】⑴B==；(II)(等,|］

【分析】(D方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；

(II)方法二：结合(I)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角

形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA+cosB+cosC的取值范围.

【详解】(I)

［方法一］:余弦定理

由2bsinA=8a,得sin2A=(空)=三，即1—cos2A二号\

结合余弦定cosA=b,

即4b2c2—b4—c4—a4—2b2c?+2b2a2+2c2a?=3a2c2,

即a4+b4+c4+a2c2—2a2b2—2b2c2=0,

即+b4+c4+2a2c2—2a2b2—2b2c?=a2c2,

即(a2+c2—b2)2=(ac)2,

•・・△ABC为锐角三角形，・•・a2+c2-b2>0,

.*.a2+c2—b2=ac,

所以cosB='-b=

又B为△ABC的一个内角，故B=］

［方法二］【最优解】：正弦定理边化角

由2bsinA=V3a,结合正弦定理可得：2sinBsinA=V3sinA,sinB=/

△ABC为锐角三角形，故B=g.

(II)［方法一］：余弦定理基本不等式

因为B=］并利用余弦定理整理得b2=a?+c2—ac,

即3ac=(a+c)2—b2.

结合ac<(等丫，得等W2.

由临界状态(不妨取A=］)可知.=

而AABC为锐角三角形,所以誓>,.

由余弦定理得cosA+cosB+cosC=『++皆,

b2=a2+c2—ac,代入化简得cosA+cosB+cosC=1（呼+1）

故cosA+cosB+cosC的取值范围是三二

［方法二］【最优解】：恒等变换三角函数性质

结合(1)的结论有:

1

cosA+cosB+cosC=cosA+-4-cos

.1.,V3.,1V3..,1.,1

=cosA——cosAd——sinA+-=——sinA+-cosA+-

222222

=sin（A+§+[

（0<-n-A<-仃

37T

由1r2可得：2<A<3-<A+-<—,

6

0<A<-2363

2

则sin（A+qC（今4,sin（A+=）+|e（等

即cosA+cosB+cosC的取值范围是C?,I].

【整体点评】(I)的方法一,根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得a2+c2-b2=ac,

运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；(ID的三

种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形,

简洁明快，确定为最优解.

3.在平面四边形4BC。中，^ADC=90°,Nd=45。，AB=2,BD=5.

(1)求COSNADB；

(2)若DC=2V2,求BC.

【答案】⑴~(2)5.

【分析】(1)方法一：根据正弦定理得到求得sin/ADB=g结合角的范围，利用同角三

smZAsinZADB5

角函数关系式，求得cosNADB=J1-捻=¥；

(2)方法一：根据第一问的结论可以求得cos/BDC=sinNADB=?,在ABCD中，根据余弦定理即可求出.

【详解】(1)［方法1］：正弦定理+平方关系

在AABD中，由正弦定理得柴代入数值并解得sin/ADB=£又因为BD>AB,所以

ZA>ZADB,即NADB为锐角，所以cos/ADB=，.

［方法2］：余弦定理

在AABD中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos45°,BP25=4+AD2-2x2xADxy,解得：AD=V2+V23，所以,

(V2+V23)2+25-4_V23

cosZADB=2x(V2+V23)x55

［方法3］：【最优解】利用平面几何知识

如图，过B点作BEJ.AD,垂足为E,BF1CD,垂足为F.在RtzXAEB中，因为NA=45。，AB=2,所以

AE=BE=V2.在RtABED中，因为BD=5,则DE=VBD2-BE2=

所以cos/ADB=

［方法4］：坐标法

以D为坐标原点，玩为x轴，位为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略).

设NBDC=a,则B(5cosa,5sina).因为NA=45°,所以A(0,5sina+近).

从而AB=J(0-5cosa)2+(5sina+V5-5sina)2=2,又a是锐角，所以cosa=f,cosZADB=sina=-\/l-cos2a=.

(2)［方法1］：【通性通法】余弦定理

在ABCD,由(1)得，cos/ADB=W，BC2=BD2+DC2-2BD-DCcos(90°-ZADB)

=52+(2V2)-2x5x2V2sinZADB=25,所以BC=5.

［方法2］：【最优解】利用平面几何知识

作BF1DC,垂足为F,易求，BF=V23，FC=VX由勾股定理得BC=5.

【整体点评】(1)方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于

通性通法；

方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；

方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算.

方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现.

(2)方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法.

方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算.

n2

4.AA3C的内角2、B、C的对边分别为a、6、c,已知AABC的面积为

3sin?l

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.

【答案】(l)sinBsinC=|(2)3+V33.

【详解】试题分析：(1)由三角形面积公式建立等式;acsinB=】J,再利用正弦定理将边化成角，从而

23sinA

得出sinBsinC的值；(2)由cosBcosC=工和sinBsinC=白计算出cos(B+C)=-工，从而求出角A,根据题设

632

和余弦定理可以求出be和b+c的值，从而求出4ABC的周长为3+V33.

试题解析：(1)由题设得工acsinB=三，ipicsinB=^-.

23sinA23smA

由正弦定理得工sinCsinB=

23smA

故sinBsinC=

3

(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=一右，即cos(B+C)=—/

所以B+C=与，故A=］

12

由题设得-bcsinA=—a—，即be=8.

23smA

由余弦定理得b?+c2—be=9,即(b+c)2—3bc=9,得b+c=V33.

故4ABC的周长为3+V33.

点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公

式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见

的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者"已知一条边的长度和它所

对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值“，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立

函数关系式，如丫=Asin(3x+(p)+b,从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体

的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

5.在A4BC中，内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足=asinb

⑴求A;

(2)若a=VH,BA-AC=3,A。是△ABC的中线，求A。的长.

【答案】(1)A=等

【分析】(1)由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.

(2)由嬴•丽=3可得be=6,根据崩="而+而)以及余弦定理即可求出|而

【详解】(1)=cos(]—：)=sin?

所以bsin&=asinB,

2

由正弦定理得：sinBsin^=sinAsinB,

A

sinBW0,・•・sin-=sinA,

2

sin-=2sin-cos-,,:AG(0,n),-G(0,-)sin-H0,

222k72k272

得COS2=工，即A=2,

2223

・•・AA=—211.

3

(2)vBA.AC=3,

・•・bccos(n—A)=3,得be=6,

由余弦定理得：b2+c2=a2+2bccosA=13,

AD=1(AB+AC),

___>1___»_»i7

|AD|2=-(AB+AC)2=-(c2+b2+2bccosA)=-

所以I而I=1,

即AD的长为子.

6.在△ABC中，角4SC所对的边分别为a,b,c.已知a=2鱼/=5,c=g.

(I)求角C的大小；

(II)求sin/的值；

(III)求sin(2/+J的值.

【答案】(I)c=:(II)sinA=^；(III)sinf2A+=)=—.

413\4/26

【分析】(I)直接利用余弦定理运算即可；

(II)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先计算出sinA,cosA,进一步求出sin2A,cos2A,再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】(I)在△ABC中，由a=2V2,b=5,c=g及余弦定理得

「a2+b2-c28+25-13\[2

cosC—■—产=,

2ab2X2V2X52

又因为ce所以c=?；

(II)在^ABC中，由C=U,a=2y[2,c=及正弦定理，可得sinA=竺处=二?—红亘；

4cV1313

(III)由a<c知角A为锐角，由sinA=哈可得cosA=V1—sin2A=带3

进而sin2A=2sinAcosA=―,cos2A=2cos2A—1=—,

1313

所以sin(2A+-)=sin2Acos-+cos2Asin-=-x—+—x—=

v474413213226

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学

运算能力，是一道容易题.

7.在锐角三角形中，角的对边分别为a,b,c,而为85在荏方向上的投影向量，且满足2csinB=

V5|GD|.

(1)求cosC的值；

(2)若b=V3,a=3ccosB,求Z8C的周长.

【答案】⑴1

(2)273+V2

【分析】（1）依题意可得|而|=bcosC,即可得到2csinB=V^bcosC,利用正弦定理将边化角，即可得到

2sinC=V5cosC,再由平方关系计算可得；

（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到sinB=V^cosB,从而求出sinB、cosB,

再由正弦定理求出c,即可求出a,从而得解.

【详解】⑴由而为正在而方向上的投影向量，则|E|=bcosC,

又2csinB=V5|CD|,即2csinB=V5bcosC,

根据正弦定理，2sinCsinB=V5sinBcosC,

在锐角ABC中，Be（0^）,则sinB>0,即2sinC=V^cosC,

由CE（04），则cos2c+si112c=1,整理可得COS?C+[cos2c=1,解得cosC=1（负值舍去）.

(2)由a=3ccosB,根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在^ABC中，A+B+C=ir,则sin(B+C)=3sinCcosB,

所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB,所以sinBcosC=2sinCcosB,

由(1)可知cosC=|,sinC=「1—cos2c=贝！JsinB=\/^cosB,

JcosDB=一

由si/B+cos2B=1,则5cos2B+cos2B=1,解得〈®(负值舍去)，

.DV30

sinB=——

I6

根据正弦定理，可得上=白，则c=^b=V^,a==V3,

smBsmCsmB2

故^ABC的周长C^ABC=a+b+c=2^/3+V2.

8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,点。在边AB上，乙4=二BD=CD,AD=2.

4

⑴若BD=争,求c；

(2)若a=2A/2,求4ABC的面积.

【答案】(l)c=2+VIU或c=2+半

(2)4或3-V3.

【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得b,从而求得BD,即可得到结果;

（2）根据题意，由正弦定理化简得cos。=sin（乎-2。），再由正弦定理即可得到c,结合三角形的面积公

式即可得到结果.

在AACD中NA=」AD=2,CD=BD=—b,由余弦定理得，

43

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosA=22+b2-4bcos-=4+b2-2迎b

4

A(yb)2=4+b2-2V2b,化简得2b2-90+18=0,

解得b=3/，或b=券.

.­.BD=^b=^x3V2=V10,或BD=隹b=^x^=®.

333322

C=AB=AD+BD=2+Vio,或c=AB=AD+BD=2+手，

综上可得c=2+VI^,或c=2+等.

(2)在ABCD中BD=CD,设NB=NBCD=e,则NBDC=TT-2。，

；a=2或，由正弦定理得福=黑，'CD=焉.

在AACD中，ZADC-20,ZACD=—-20,

4

V2

ADCD2cose

由正弦定理得~9即"―：5T

sinzACDsinAsin-

sin(詈28)4

化简得cosB=sin(于—2。)

sing-e)=sin(y-2e),VO<0<^.,.0<|-0<|,-J<y-20<y.

e=y-2。或;-04-^-20=11,解得e=(或e=春

当e=N时，ZACB=AC=BC=2V2,...△ABC为等腰直角三角形,

42

得到△ABC的面积为SAABC=Tx2&x2证=4；

当。/ZACB—)2TT

3

在4ABC中由正弦定理得'y=

sinzACB，

.a.厂2金

••c=^―--sinC=-f=-f=2百

smAV2

2

；.△ABC的面积为SAABC=-x2V2x2V3xsin—=2遥x正追=3-旧,

2124

综上可得4ABC的面积为4或3-百.

9.已知/(无)=sinwc(3>0),其图象相邻对称轴间的距离为忘若将其图象向左平移居个单位得到函数y=

g(x)的图象.

(1)求函数y=g(x)的解析式及图象的对称中心；

(2)在钝角AaBC中，内角4B,C的对边分别是a,6,c,若/住)=。0求干+烹的取值范围.

【答案】(l)g(x)=sin(2x+有，对称中心为(—工+7,0)(keZ)

(2)[4V3,5V2)

【分析】(1)根据f(x)的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出3,再根据图像平移得到y=g(x),由对

称中心公式求得结果；

(2)由1|)=8《-9得出人田,(：三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简年+意，再利用导数求函

数单调区间得出结果.

【详解】(1)已知f(x)的图象相邻对称轴间的距离为泉则T=TT.

由周期公式得，1=含=!1,3>0,

心|

所以0)=2,f(x)=sin2x,

g(x)=sin[2(x+„=sin(2x+

令2x+—=ku,所以x=——+

6122

故函数y=g(x)的对称中心为(—工+?,0)(kEZ)

(2)由题意得，f(|)=sinB,g(q-力=sin[2(U+U=sin(A+；),

所以sinB=sin(A+]).

所以B=A+：或A+B=](舍)，

所以C=；—2A.

因为在钝角△ABC中，所以0<A<],0<C<]

所以0<A<巴，

4

EH2c,52sinC,5

则--1------=--------1------

bcosAsinBcosA

2cos2A52(2COS2A—1)+53

=-------—I-------=-------------------------=4cosAH--------

cosAcosAcosAcosA

令t=cosA,(p(t)=4t+|,tG(今1)，(P'(t)=4一1，

当日VxV中时，q/(t)>0；当/<x<l时，(pz(t)>0；

可得隼(t)在住片)单调递减，在惇1)单调递增.

所以当t=f,即A='时，隼①有最小值48；

cp(y)=5VXq>⑴=7,所以(p(t)<5V2

故,+ms\e[4"乃,5V2).

10.在锐角△28C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=6,2sin(X+C)+2bsin(F+C)=7旧.

(1)求角B的大小；

(2)若前=3DC,BD=V37,求c的值.

【答案】(1)B=g

⑵9

【分析】(1)由sin(A+C)=sinB,sin(B+C)=sinA,代入2sin(A+C)+2bsin(B+C)=7遮得2sinB+

2bsinA=7A/3,再由正弦定理得出bsinA=6sinB,即可求出sinB,结合△ABC是锐角三角形即可得出角B的

大小；

(2)由前=3玩得AD=2DC,设4BDA=。，CD=x,贝！JAD=2x,AC=3x,由余弦定理得出cos4BDA,

cos/BDC和coszJVBC,整理得出关于c的方程，求解即可得出c的值.

【详解】(1)在4ABC中，因为sin(A+C)=sinB,sin(B+C)=sinA,

所以2sinB+2bsinA=7A/3,

由正弦定理，知」T=一N，且a=6,则bsinA=6sinB,

sinAsinB

所以2sinB+12sinB=74,解得sinB=如,

又因为△ABC为锐角三角形，故B=g.

(2)因为通=3玩，所以点D在线段AC上，且AD=2DC,

设NBDA=。，CD=x,则AD=2x,AC=3x,

在4BDA中，由余弦定理，知COSNBDA=cos0=经笑W①，

4V37x

在ABDC中，由余弦定理，知COSNBDC=cos(n-e)=—cos。=爷0②，

'J2V37X

由①+②，整理得6x2+39-c2=0,即x2=3③，

6

在AABC中，coszABC=­—c2~9—=即36+c2-9x2=6c④，

12c2

将③代入④，整理得c2+12c-189=0,解得c=9或c=-21(舍去)，

故c=9.

11.如图，在△ABC中，4B=4C=曰BC,点。在AB延长线上，且力。=|皿

J._p,sinz.i4CD

⑴求际F；

(2)若AABC面积为旧，求CD.

【答案】⑴言

【分析】(I)设BC=gt(t>0),利用余弦定理求得A=亨，再在AACD和△BCD中两次利用正弦定理即

可求出比值.

(2)利用三角形面积公式即可求出(I)问的t值，再利用余弦定理即可.

【详解】(I)因为AB=AC=9BC,设BC=gt(t>0),则AB=AC=t,

由余弦定理得cosA=AB?黑［Be?=冬萨=_i因为人(0,K),

ZAD-ACIX.z

所以A=—,ZABC=ZBCA=",ZCBD=—

366

CDsinz.ACDCDsinz.ACD

在小ACD中,由正弦定理得AD==^CDsinzACD,

sinA~~21F

sinT

CDsinz.BCDCDsinzBCD

在4BCD中,由正弦定理得BD=：~5TT=2CDsinZ.BCD,

sinz.CBDsin—

6

5广一，।孚CDsinziACD5

因为AD=5BD,所以；CDSMBCD2

5V3

整理得sinzACD

sinzBCD21

(2)由AD=|BD得AB=|BD,

由⑴得：t2sin*=祗所以t=2,

在4BCD中,BC=Bt=2V3,BD=-AB=ZCBD=—,

336

由余弦定理得

CD=7BC2+BD2-2BC-BDcoszCBD

=J(2A/3)2+g)2-4V3xx(-f

12.在①(2b—c)cos力=acosC,②asinB=43bcosA,③acosC+V3csin4=b+c,这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，并完成解答.

问题：锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知.

⑴求A;

(2)若b=2,。为AB的中点，求CD的取值范围.

【答案】(l)A=g

⑵河,2)

【分析】(1)由正弦定理及三角函数恒等变换化简即可；

(2)利用向量的几何意义与数量积，通过条件先计算得c6(1,4),再得而2=((c—2尸+3,由二次函数

的单调性计算即可得出结果.

【详解】(1)若选①，(2b—c)cosA=acosC=>2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC

2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

,:A、B>C£(0,0,sinB70ncosA=[nA=：；

若选②,asinB=V3bcosA=>sinAsinB=V3sinBcosA,

•:A、B>C6(。，1)，•••sinBH0=>sinA=V3cosA=>tanA=V3=>A=^；

若选③acosC+V3csinA=b+c=>sinAcosC+V3sinCsinA=sinB+sinC

=sinAcosC+V3sinCsinA=sin(A+C)+sinC=>V3sinCsinA=sinC(cosA+1)

,:A、B、CE(0/)，・•・sinCW0=V5sinA-cosA=1=2sin(A-J

1717c.71

fffiA--6=>A—=-=A=-.

6663

如图所示，设熊=己前=b,则前=b—乙|c|=c,|b|=b,b-c=c,

AB-BC=c-(b—c)=c—c2<0

「△ABC是锐角三角形,=cC(1,4),

ACBC=b(b-c)^4-c>0

CD-|c-b^CD2=Jc2-b-c+b2=i(c-2)2+3e[3,4),当c=2时取得最小值，故|而|G[V3,2).

13.在△力BC中，内角4,B,C对应的边分别为a,b,c,44；,sinC+sin(B-4)=&sin2a.

(1)求角a的取值范围；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并求6的值.

①sinC=今c=2g；②B=4+:,c=V^；③sinA=1,C>B,4C边上的中线长为遮+1；

注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(i)Ae(0用

(2)答案见解析

【分析】(1)应用两角和差公式结合正弦定理可求得正弦值范围，最后求出角的范围；

(2)由正弦定理结合余弦定理边角转化求出边长即可.

【详解】(1)在△ABC中，C=F—(A+B),所以，sin(A+B)+sin(B-A)=V2sin2A.即，2sinBcosA=

2V2sinAcosA.

又因为AK]所以COSAWO,所以sinB=V^sinAG(0,l],由正弦定理得，b=V2a,所以A为锐角，所以sinAG

(。，苧,所以Ae(0,

(2)选①因为sinC=¥，Ce(0,ir),所以C=：或拳

当C=(时，A=TT—：—B=手—B,sinB=/sinA=V^sinG—B)=cosB+sinB,所以cosB=0,即B=g,

所以由正弦定理得噜=3,所以b=2逐；

0sin-

2z

当C=亨时，A=n—午一B=；—B,sinB=V2sinA=V2sin（；—B）=cosB—sinB,所以cosB=2sinB,

所以sinB=g,所以由正弦定理得等=强所以b=等；

25

选②B=A+%sinB=V2sinA=V2sin（B—2）=sinB—cosB,所以cosB=0,

即B=；,所以由正弦定理得《=2，所以b=^；

2V2sin-

22

选③因为sinA=],由（1）知Ae（0，H，所以A=]sinB=&sinA=',所以B=:或B=乎，且C>B

所以B=N,C=TC—二―二=空，

46412

又因为b=&a,由余弦定理得：

（V3+I）2=a24--a2—2xax—ax-娓,解得a=2,所以b=V2a=2V2.

14.记△力的内角4,8,C的对边分别为a,hc,已知△48C的面积为S=亨（a2+一。2）,c=2四.

（1）若求Q;

4

（2）。为4B上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值.

条件①：CD为NC的角平分线；条件②：CD为边4B上的中线.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴伤+夜

⑵3

【分析】（1）根据题意，由余弦定理即可三角形的面积公式即可得到C=%再由正弦定理即可得到结果;

（2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由2而=鬲+而，再结合余弦定理与

基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）因为S=f（a2+b2—c2）,

4

由余弦定理可得：a2+b2—c2=2abcosC,所以S=3•2abcosC,

4

由三角形的面积公式可得S=-absinC,所以立-2abcosC=工absinC,

242

所以tanC=®又C6（0,TT）,故C=g.

由正弦定理得，瘾=金

.71n,TI.nV2+V6

且sinA=sin(B+C)=sin]=sin-cos-+cos-sin-=-------

43434

a2V3

所以•V2+V6-V3，故有a=A/6+V2.

F-T

（2）选择条件①:

在^ABC中，由余弦定理a24-b2—c2=2abcosC,得a2+b2-12=ab,

2

2

即(a+b)=12+3ab<12+3(个)，故a+b<4V3,

当且仅当a=b=2次时，等号成立,

又因为S/kCDA+S^CDB=S^ABC

所以CD=倜3=V3((a+b)2-12)

a+b3(a+b)

V3/12V3

=至(a+b)-<=3

a+b3

故CD的最大值为3.

选择条件②:

由题2而-CA+CB,平方得4|而r=以2+屈2+2区.而=b2+a2+2abcosC=a2+b2+ab,

在△ABC中，由余弦定理得a?+b2-12=ab,

即(a+b)2=12+3ab<12+3(军)；所以(a+b)2<48.

当且仅当a=b=2次时，等号成立，

2222

故有4|CD|2=a+b+ab=(a+b)—ab=(a+b)—⑦吗=|(a_(_b)2+4<36,

从而|CD|<3,故CD的最大值为3.

15.在△ABC中，B丰C,sinB+sinC=cosB+cosC.

⑴求A;

(2)若在△ABC内(不包括边界)有一点满足CM=2M4=2MB,且41MC=90。，求tan/ACB.

【答案】(1)A=：

【分析】（1）运用辅助角公式化简后解方程即可.

（2）在△MBC中运用正弦定理得9与＜p关系式，在RtAMBC中求得sin。与cos。的值，两者联立求解即可.

【详解】（1）因为sinB+sinC=cosB+cosC,

所以sinB—cosB=cosC—sinC,

所以V^sin(B—：)=V^sing—C),即sin(B—()=sing—C),

又0<B,CVm则一乙VB-?V史，一巴<N-C<N,

,444444

故BW-C或(B-3+e-c)=n,

又因为B—-+--C=B—C=it不合题意，

44

故B—2=U—C,

44

所以B+C=；,

所以A=]

(2)由(1)知，A=-,

2

设NACM=e,又MA=MB,则NMAB=NMBA=e,

设NACB=<p,则NABC=；-(p,如图，

在AMBC中，由正弦定理得二

sinQ-(p-0jsm((p-0)

又因为MC=2MB,

所以2sin((p-0)=cos((p+0),

BP2(sin(pcos0—coscpsinQ)=coscpcosO—sin(psin0@,

由MC=2AM,ZAMC=90。得，sin6=看cos6=意

代入①式整理得，V5sin(p=专coscp,则tancp=

故tanZ_ACB=

16.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinB+cosC=%也，cosB+sinC=渔龙纪

44

⑴求A;

(2)若a=W,求三角形ABC的周长.

【答案】（l）A=g

V6+2V3+3V2

()2

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式求解;

(2)利用两角差的正弦、余弦公式可解得sinB="，sinC=在警，进而利用正弦定理即可求周长.

24

【详解】(1)由sinB+cosC=比且，cosB+sinC=恒包^

44

可得siMB+cos2C+2sinBcosC==|+$①,

COS2B+sin2C+2cosBsinC=2f。=|+乎②，

加②可得，

sin2B+COS2B+cos2C+sin2C+2(sinBcosC+cosBsinC)=2+V3,

即2+2sin(B+C)=2+但所以sin(B+C)=y,

所以sin(B+C)=sin(n—A)=sinA='，

因为A«0f,所以A=g.

(2)因为sinB+cosC=^^,B+C=n-A=y,

所以sinB+cosC=sinB+cos(g—B)=方R

BP(V3+2)sinB-cosB=③;

又因为cosB+sinC=^*，B+C=n-A=y,

所以cosB+sinC=cosB+sing-B)=丑詈

即(b+2)cosB+sinB=渔等生④;

联立③④解得，sinB=cosB=y,

zi>>-DirV6+V2..6V6+3V2

KAsinB+cosC=-------，cosBo+sinC=--------，

44

解得sinC=匹，cosC=三

44

又因为a=g,人苦’所以导=2R=2,

所以b=2RsinB=42,c=2RsinC=

2

所以三角形ABC的周长为a+b+c=V3+V2+"返=加打血

17.在锐角A4BC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,且2c2=(a2+c?=b2)(taiM+tanB).

(1)求角a的大小；

(2)若边a=&,边BC的中点为D,求中线力。长的取值范围.

【答案】(l)A=g

4

rVio2+V2-.

(2)(W，一

【分析】(1)由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角;

(2)El3|AD|2=i(AB+AC)2,结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围,即可应用三

角函数值域求出范围

【详解】(1)由余弦定理得2c2=2accosB(tanA+tanB),

BPc=acosB(tanA+tanB),

由正弦定理得sinC=sinAcosB(tanA+tanB)=sinAcosB

sin(A+B)sinAsinC

=sinAcosB

cosAcosBcosA

vsinCH0,•••sinA=cosA,即tanA=l,

VAe(0,0,.-,A=J

(2)由余弦定理得：2=b?+c2-夜be,则b2+c2=2+&bc.

111

|AD|2=-(AB+AC)2=-(c2+b2+V2bc)=-(1+V2bc)

由正弦定理得二=c_a

sinCsinA

所以b=2sinB,c=2sinC,

be=4sinBsinC=4sinBsin一B)=(sinBcosB+sin2B)=V2(-cos2B+sin2B)+V2

=2sin(2B—

9+企

0<B<-

因为△ABC是锐角三角形，所以31r2即已<B<N,

0<--B<-42

42

则汴2B-汴:，曰＜si£2B-J)<1,.-.bee(2V2,2+V2].

中线AD长的取值范围是(产,警].

18.在AaBC中，内角4B,C的对边分别为a,hc,且a?—匕2=口或0$8—3bc

⑴求力；

(2)若a=6,2'BD=DC,求线段4D长的最大值.

【答案】⑴：

(2)273+2

【分析】(1)根据余弦定理，化简可得b2+c2-a?=be,即可得出cosA=|,再根据A的范围，即可得出答

案；

(2)解法一：由已知可得出前=2通+3而，平方整理可得说2="b2+4c2+2bc),再结合条件，根

339

据基本不等式，即可得出答案；

解法二：设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得R=2百.作出△ABC的外接圆，结合图象，可得出AD

过圆心。时，AD的长取得最大值.作0E1BC,构造直角三角形，求出0D=2,即可得出答案.

【详解】(1)因为a?—b?=accosB—[be,

所以根据余弦定理，可得a?-b2=ac•立产-；be,

2ac2

所以b2+c2—a2=be,所以COsA=b+：a—2

2bc2

因为Ae(0,n),所以A=g.

(2)解法一：因为2前=玩，所以2(而一品)=近一丽,

所以而通+工而，

33

22