平面解析几何必考题型分类训练（原卷版）

专题12平面解析几何必考题型分类训练

G1三年高考真题练】

一.选择题（共2小题）

2°

1.（2020•上海）已知椭圆工一+y=1,作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点,作垂直于y轴的垂线交

2

椭圆于C、。两点，且AB=C£>,两垂线相交于点P,则点P的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线

2.（2022•上海）设集合Q={（x,y）|（x-k）2+（y-户）？=4|用，在Z}

①存在直线/，使得集合。中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/,使得集合。中存在无数点在/上；（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

填空题（共9小题）

2

3.（2022•上海）双曲线2―-f=1的实轴长为

9

4.（2021•上海）若f+y2-2x-4y=0,求圆心坐标为.

5.（2022•上海）若关于x,y的方程组[x4111y=2有无穷多解，则实数相的值为_______.

lmx+16y=8

6.（2021•上海）直线x=-2与直线«尤-y+l=0的夹角为.

7.（2020•上海）已知直线/i：x+ay—1,h：ax+y—1,若li〃h,则/1与/2的距离为.

8.（2021•上海）已知抛物线/=20无（p>0）,若第一象限的A,8在抛物线上，焦点为R|AF|=2,\BF]

=4,\AB\=3,求直线AB的斜率为.

9.（2020•上海）已知椭圆C：心21的右焦点为F,直线1经过椭圆右焦点F,交椭圆C于P、。两

43

点（点P在第二象限）,若点。关于X轴对称点为。,，且满足，求直线/的方程是.

2

10.（2021•上海）已知椭圆/+工-=1（0<6<1）的左、右焦点为尸1、F1,以。为顶点，R为焦点作抛

b2

物线交椭圆于P，且/2为/2=45°,则抛物线的准线方程是

11.（2022•上海）已知尸1（xi,yi）,Pi（X2,丝）两点均在双曲线「：2万-y=1（°>0）的右支上，若

xix2>yiy2恒成立，则实数a的取值范围为.

三.解答题（共6小题）

12.（2021•上海）（1）团队在。点西侧、东侧20千米处设有A、8两站点，测量距离发现一点P满足|融|

-|尸8|=20千米，可知尸在A、2为焦点的双曲线上，以。点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴

正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和尸点坐标.

（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、。两站点，测量距离发现|。川-|。8|=30千米，\QC\-\QD\

=10千米，求|。。|（精确到1米）和。点位置（精确到1米，1°）

13.（2022•上海）设有椭圆方程「：支上=1（a>6>0）,直线/：x+y-472=0,「下端点为A,M

在/上，左、右焦点分别为人（-V2，0）、尸2（加，0）.

（1）a=2,AM中点在X轴上，求点M的坐标；

（2）直线/与y轴交于2,直线AM经过右焦点尸2,在△A8M中有一内角余弦值为工，求b；

5

（3）在椭圆「上存在一点尸到/距离为d,使|PFi|+|P乃|+d=6,随a的变化，求d的最小值.

2

14.（2022•上海）已知椭圆「："+y=1（〃>1）,A、3两点分别为P的左顶点、下顶点，C、。两点

2

a

均在直线/：x=a±.,且C在第一象限.

（1）设厂是椭圆「的右焦点，且工，求「的标准方程；

6

（2）若C、。两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AO与直线8C的交点是否在椭圆「上，并说明理由;

（3）设直线A。、BC分别交椭圆「于点P、点Q,若P、。关于原点对称，求|CD|的最小值.

2

15.（2021•上海）已知「：三一+/=1,为，/2是其左、右焦点，直线/过点P（祖，0）（根W-、历），

2

交椭圆于A,8两点，且A,8在x轴上方，点A在线段3P上.

（1）若B是上顶点，IBF；=IPF；'求根的值；

（2）若•记下=工，且原点。到直线/的距离为生医，求直线/的方程；

r1Ar2AQ15

（3）证明：对于任意用V

16.(2020•上海)已知双曲线「1：幺-工_=1与圆「2：/+丫2=4+必(6>0)交于点ACXA,YA)(第

4b2

一象限)，曲线「为「1、「2上取满足X>|XA|的部分.

(1)若XA=&,求6的值；

(2)当6=隗，「2与X轴交点记作点尸1、尸2,尸是曲线「上一点，且在第一象限，且|PB|=8,求/

F1PF2；

2_

(3)过点。(0,为_+2)斜率为-上的直线/与曲线「只有两个交点，记为M、N,用6表示丽•加，

22

并求而•示的取值范围.

17.(2020•上海)已知抛物线>2=苫上的动点M(刈，yo),过M分别作两条直线交抛物线于P、。两点,

交直线x=/于A、8两点.

(1)若点/纵坐标为近，求/与焦点的距离；

(2)若f=-1,P(1,1),Q(1,-1),求证：为常数；

(3)是否存在K使得％・yB=l且冲为常数？若存在，求出/的所有可能值，若不存在，请说明理

由.

【三年自主招生练】

选择题（共6小题）

1.（2020•上海自主招生）已知直线加：y=xcos”和〃：3x+y=c,则有（）

A.加与〃可能重合

B.m与几不可能垂直

C.直线机上存在一点P,使得直线〃以尸为中心旋转后与加重合

D.以上都不对

2.（2020•上海自主招生）已知直线加：y=xcosa和〃：3x+y=c,则（）

A.相和〃可能重合

B.加和〃不可能垂直

C.存在直线加上一点P,以尸为中心旋转后与〃重合

D.以上都不对

3.（2022•上海自主招生）。01,。。2与丁=丘，次轴正半轴均相切，门卷=2,交点尸（2,2）,贝廉=（）

A.1B.AC.gD.A

342

4.（2020•上海自主招生）若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+^=0将平面划分成6个部分，则上可能的取

值情况是（）

A.只有唯一值B.有两个不同的值

C.有三个不同的值D.无穷多个值

2

5.（2022•上海自主招生）椭圆工一+y2=］的焦点为为，放，点尸在x+蓊y-4f=0上，当/尸1尸尸2最

4

PFi

大时，则__L=()

PF2

A.运

BC._5

3-i§

22

xy

6.（2022•上海自主招生）椭圆C：——P,A,B在椭圆。上，ZAP，毡P为相反数（女与-女），

44b

则履B与（）

A.b,左有关，与尸点无关B.P点、,b,女有关

C.P,k有美,与b无关D.P,6有关，与k无关

二.填空题（共8小题）

7.（2020•上海自主招生）设抛物线/=2p无，过焦点下作直线，交抛物线于A,8两点，满足AF=3FB.过

点A作抛物线准线的垂线，垂足记为点4,准线交x轴于点C,若S-=12炳，则。=_______.

CrAj

8.（2020•上海自主招生）若%>4,直线fcc-2y-2Z+8=0与2%+庐y-4M-4=0和坐标轴围成的四边形面

积的取值范围是.

9.（2020•上海自主招生）已知边长为a的正三角形ABC,D,E分别在边AB,8C上，满足AO=BE=3,

3

联结AE,CD,则AE和CD的夹角为.

10.（2020•上海自主招生）过抛物线b=2px（p>0）的焦点尸作直线机交抛物线于A,8两点，若A,B

横坐标之和为5,则直线m的条数为.

11.（2020•上海自主招生）ZiABC的顶点坐标分别为A（3,4）,B（6,0）,C（-5,-2）,则角A的

平分线所在的直线方程为.

12.（2020•上海自主招生）当实数x、y满足7+/=1时，|尤+2>-a|+|a+6-x-2y|的取值与x、y均无关，

则实数a的取值范围是.

13.（2020•上海自主招生）如图所示，抛物线3y2=》的焦点为尸，A在抛物线上，A点处的切线与A尸夹

角为30度，则A点横坐标为.

14.（2020•上海自主招生）抛物线3y=x的焦点为尸，A在抛物线上，A点处的切线与夹角为30°,

则A点的横坐标为

三.解答题（共8小题）

22

15.（2022•上海自主招生）椭圆式4^—=1（2>3），弦AB中垂线过（-包，0），求离心率e的取值范

a295

围.

16.（2022•上海自主招生）双曲线式_工匕=1，焦点为A,B,点C在双曲线上，cos/ACB萼，求

4125

的周长.

17.（2022•上海自主招生）Fi,尸2为双曲线两焦点（焦点在x轴），直线经过为且与双曲线左右两支

交于点A,B,2AFi=AB,ZFIAF2=120°,求双曲线的离心率.

18.（2021•上海自主招生）已知为，尸2分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上一点，延长厂28到点A,满

足BFi=BA.A乃的中点为H,则下列两个结论是否正确：

结论1：AF1J.BH；

结论2：为椭圆的切线.

19.（2021•上海自主招生）确定曲线|x+y|=W（x-3）2+（y+6）2的类型，

C..

20.（2020•上海自主招生）抛物线F=2px,过焦点尸作直线交抛物线于A,8两点，满足AF=3FB，过A

作抛物线准线的垂线，垂足记为A,准线交X轴于C点，若无，=1273）求。・

21.（2020•上海自主招生）抛物线/=2力，过焦点下作直线交抛物线于A、B两点，满足AF=3FB，过A

作抛物线准线的垂线，垂足记为A,。为顶点，若.皿，=1273）求。・

22.（2021•上海自主招生）2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线最多分平面为

几份?

【最新模拟练】

一.选择题（共7小题）

1.（2022•普陀区二模）已知点M（2,2）,直线/：1=0,若动点尸到/的距离等于|PM|，则点尸

的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线

2.（2022•浦东新区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1,0）、8（1,1）、C（0,1）,变

换T将xOy平面上的点尸（x,y）对应到另一个平面直角坐标系彳矽歹上的点P（2孙，/-/）,则当点p

沿折线段A-8-C运动时，在变换T作用下，动点P的轨迹是（）

一点，若|「乃|+|巴切=6。，/尸为尼是△尸为乃的最小内角，且/尸为/2=30°,则双曲线C的渐近线方程是

（）

A.x±V^y=OB.-\[2x±y—0C.x+2y—0D.2x±y=0

22

4.（2022•杨浦区模拟）椭圆C：?4_=]的左、右顶点分别为4、42,点尸在C上且直线以2斜率的

取值范围是[-2,-1],那么直线E41斜率的取值范围是（）

A-亭B.亭C.[1,1]D.亭1]

5.（2022•浦东新区校级二模）已知直线/：y=m（x-2）+2与圆C：/+y=9交于A,2两点，则使弦长

|AB|为整数的直线/共有（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

2222

6.（2022•黄浦区二模）将曲线——=1（尤20）与曲线——=i（尤W0）合成的曲线记作C.设左

16979

为实数，斜率为左的直线与C交于A,8两点，尸为线段A8的中点，有下列两个结论：①存在总使得点尸

的轨迹总落在某个椭圆上；②存在左，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（）

A.①②均正确B.①②均错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

7.（2022•闵行区二模）已知直线1：至十=1与圆f+y2=100有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，

则满足W5a2+5b2）|ab|的/有（）

A.40条B.46条C.52条D.54条

填空题（共10小题）

8.（2022•杨浦区模拟）若直线A：2x+my+l=0与勿y=3x-l垂直，则实数机=.

9.（2022•上海模拟）已知双曲线/+优y=1的一条渐近线方程为＞=2X，则该双曲线的焦距为.

10.（2022•黄浦区校级模拟）设有直线/：kx+y-3=0,/的倾斜角为a.若在直线I上存在点A满足|赢|=2,

且tana＜0,则k的取值范围是.

11.（2022•徐汇区二模）已知圆的方程为-2x-4y+4=0,则圆心到直线/：3x+4y+4=0的距离d

12.（2022•徐汇区二模）已知加GR,若直线/1：mx+y+l=0与直线fa：9x+my+2m+3=0平行，则m=.

22

13.（2022•浦东新区校级模拟）如图，尸为双曲线2-工-=1。＞。＞0）的右焦点，过p作直线/与圆

2,2

ab

/+、2=庐切于点/，与双曲线交于点P,且M恰为线段尸尸的中点，则双曲线的渐近线方程是.

14.（2022•上海模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在

平面上给定两点4、B,动点尸满足抬|=人|尸8|（其中人是正常数，且入W1）,则P的轨迹是一个圆，这个

圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点M（-1,0）、N（2,1）,P是圆。：x2+y=3上的动点，则

F|PM+|PN的最小值为.

15.（2022•宝山区二模）已知P是双曲线号_普=1上的点，过点尸作双曲线两渐近线的平行线A,12,

直线/1,/2分别交X轴于N两点，则|OM,|CW]=.

16.（2022•青浦区校级模拟）曲线C：A£=1（6>0）与直线/：fcc-y+A+2=0恒有公共点，则b的

4b2

取值范围是.

17.（2022•虹口区二模）设a€R,kER,三条直线A：ax-y-2a+5=0,fa：x+ay-3a-4=0,h：y=kx,

则h与h的交点M到73的距离的最大值为.

三.解答题（共20小题）

22

18.（2022•嘉定区二模）已知双曲线C：2__工_=]（«>0,6>0）的一条渐近线的方程为X_=Q,

a2b21V13

它的右顶点与抛物线y2=4«x的焦点重合，经过点A（-9,0）且不垂直于X轴的直线与双曲线C

交于M、N两点.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；

（3）设P、。是直线x=-9上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线火=」上.

3

19.（2022•崇明区二模）已知双曲线「：/-，=4,双曲线「的右焦点为尸，圆C的圆心在y轴正半轴上,

且经过坐标原点。，圆C与双曲线「的右支交于A、2两点.

(1)当△。朋是以尸为直角顶点的直角三角形，求△。胡的面积;

(2)若点A的坐标是(遍，1),求直线AB的方程；

(3)求证：直线AB与圆尤2+『=2相切.

22r~

20.(2022•徐汇区三模)己知椭圆砧W=i(a>b>0)焦距为K回，过点(后，—)-斜率为

a2b23

4的直线/与椭圆有两个不同的交点A、B.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若左=1,|AB|的最大值;

(3)设尸(-2,0),直线公与椭圆M的另一个交点为C,直线P8与椭圆〃的另一个交点为D若C、

。和点Q(q,')共线，求实数左的值.

22

21.(2022•浦东新区校级二模)已知椭圆C：号+X^=i(a>b>0)的左、右焦点分别是为，尸2,其长

轴长是短轴长的2倍，过人且垂直于无轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点尸为椭圆C上的动点，点。为圆N：/+(,+1)2=4上的动点，求线段尸。长的最大值.

22r~

22.(2022•闵行区校级模拟)已知椭圆£：上二+2_=1(°>6>0).焦距为2c,义=乂2,左、右焦点

2,29

abaa乙

分别为Fl,Fi.在椭圆E上任取一点P,△QPR的周长为4(A/2+I).

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设点尸关于原点的对称点为0.过右焦点敢作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A,B两点，求泡对

IPQI

的取值

范围；

(3)若过点R(-1,0)的直线x+y+l=0与椭圆E交于C,。两点，求的值.

IRCI|RDI

22

23.(2022•金山区二模)已知椭圆二，!_=1的左、右焦点分别为乃、F2,设尸是第一象限内椭圆

43

「上一点，PF1、尸尸2的延长线分别交椭圆「于点Q1、02,直线。汨2与。2乃交于点R.

(1)求△尸。1放的周长；

(2)当Pb2垂直于X轴时，求直线。1。2的方程；

(3)记△为。庆与△b2。2H的面积分别为Si、S2,求S2-S1的最大值.

2c

24.(2022•闵行区二模)已知点为、尸2分别为椭圆T：=-+y2=i的左、右焦点，直线/：>=丘+/与椭

圆「有且仅有一个公共点，直线尸FiN±l,垂足分别为点M、N.(1)求证：?=2^+1；

(2)求证：ji1为定值，并求出该定值；

⑶求I而i+而51•IOM-015I的最大值.

25.(2022•杨浦区二模)如图，中心在原点。的椭圆「的右焦点为F(2A行，0),长轴长为8.椭圆「上

有两点P，Q，连结。P,OQ,记它们的斜率为左OP,koQ,且满足kop・koQ=1.

(1)求椭圆『的标准方程；

(2)求证：|OP『+|OQ|2为一定值，并求出这个定值；

（3）设直线。。与椭圆「的另一个交点为R,直线RP和尸。分别与直线x=4炳交于点加，N,若△PQR

和△PMN的面积相等，求点p的横坐标.

26.（2022•奉贤区模拟）设G是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）,C2是以直线2x-J5y=0与

=0为渐近线，以（0,±V7）为焦点的双曲线.G与C2在第一象限有两个公共点A、B.

（1）求双曲线C2的标准方程；

（2）求瓦•强的最大值；

（3）是否存在正数p,使得此时△阴8的重心G恰好在双曲线C2的渐近线上？若存在，求出p的值；若不

存在，请说明理由.

27.（2022•徐汇区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（0,V2）>B（0,-&）,动点C（无，y）关

于直线y=x的对称点为。，且说.而h/x?，动点C的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）已知动点P在曲线E上，点Q在直线y=W^上，且而・而=0，求线段尸0长的最小值；

（3）过点（—技，0）且不垂直于x轴的直线交曲线E于M、N两点，点〃关于x轴的对称点为试问：

在无轴上是否存在一定点T,使得M1、N、T三点共线？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由.

28.（2022•闵行区校级二模）双曲线C：]b>0）经过点（我，1）,且渐近线方程

2,2

ab

为y=+x.

（.1）求a,b的值；

（2）点A,B,。是双曲线C上不同的三点，且8,。两点关于y轴对称，△A3。的外接圆经过原点O.求

证：点A与点2的纵坐标互为倒数；

（3）在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由.

29.（2022•静安区模拟）已知椭圆C：工_+匚=1（a>b>0）的左，右焦点分别为乃，F1,上，下顶点

2,2

ab

分别为A，B,四边形的面积和周长分别为2和4、历.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线/：y=%（x+l）（20）与椭圆C交于E,尸两点，线段所的中垂线交y轴于M点，且

为直角三角形，求直线/的方程.

22

30.(2022•普陀区二模)设为，尸2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右两焦点，过

abz

点尸2的直线/：x-my-Z=0(m,?GR)与「的右支交于M,N两点,「过点(-2,3),且它的虚轴的端

点与焦点的距离为

(1)求双曲线「的方程；

(2)当阿人|=|尸2nl时，求实数机的值；

(3)设点M关于坐标原点。的对称点为尸，当画卷彳时，求△「阿面积S的值.

31.(2022•奉贤区二模)椭圆x2+4/=68上有两点A(8,明)和T(门，-4),班>0,XT<0.点A关

于椭圆中心。的对称点为点8,点、P(t,-2力在椭圆内部，f=0.H是椭圆的左焦点，放是椭圆的右焦

点.

(1)若点尸在直线AT上，求点尸坐标；

(2)是否存在一个点P,满足|pp^|-|PF'|=2^3)若满足求出点尸坐标，若不存在请说明理由；

(3)设△AOP的面积为Si,△8TP的面积为S2,求」的取值范围.

$2

2-

32.（2022•黄浦区校级模拟）已知双曲线二_y2=i,FF9是其左、右两个焦点.尸是位于双曲

212

线「右支上一点，平面内还存在。满足PF；二入9.9（入〉0〉

（1）若。的坐标为（W§,一依），求人的值；

（2）若切＞0,入=3,且可.而上，试判断。是否位于双曲线上，并说明理由;

3

（3）若。位于双曲线上，试用人表示pF；♦丽，并求出入=7时pF；,丽的值,

22

33.（2022•青浦区校级模拟）已知椭圆C：幺工=1,过动点M（0,机）（机＞0）的直线/交x轴于

42

点N,交C于点A、P（尸在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作无轴的垂线交C于另一点。，

延长QM交C于点艮

（1）求椭圆C的焦距和短轴长；

（2）设直线的斜率为左，Q